( ) ( θ( n) 1. Ett kausalt tidskontinuerligt filter F har tillståndsekvationen

Transkript

1 gamla eor maem me E, fk, del B () CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder fk, del B, TMA98, -8-, kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: Rolf Liljedal, el 7-59 OBS: Fyll i all på skrivigsomslage Age am och persor på varje iläma blad E kausal idskoiuerlig filer F har illsådsekvaioe y + y + y = x a) Moivera varför F är e sabil LTI-filer Age äve F :s impulssvar och F :s ampliudkarakerisik b) Visa a E( F ( x) ) E( x) då x är e isigal med ädlig = oaleergi E ( x) x d c) Besäm F ( si ) d) Besäm F ( si θ ) e) Besäm F e θ( ) e θ ( ) Fukioe f har periode och, < < f =, < < a) Uveckla f i Fourierserie b) Besäm e periodisk parikulärlösig ill y + y + y = f [uppg!] a Beräka b ( θ ) θ!!, a, b IR (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) I de idsdiskrea filre F bildas usigales värde som de arimeiska medelvärde av isigales re sease värde, dvs x a y = x + x + x F : ( ) a) Moivera varför F är e kausal, sabil LTI-filer Age äve F :s impulssvar och F :s ampliudkarakerisik F si b) Besäm ( ( )) c) Besäm ( si( ) θ ) F d) Besäm e isigal som ger usigale 7 θ δ δ( ) (p) (p) (p) (p) 5 Lös probleme u(,) = u(,) = u( x,) =, u ( x,) = u för < x <, < för = för x (6p) Fourier 6 a) Defiiera disribuio och visa a δ Fourier j b) Visa e f f ( ω Ω) ( Ω IR ) Ω ˆ zrasform c) Visa a x( N ) N z X ( z) ( N ) för diskrea sigaler x (p) (p) (p)

2 gamla eor maem me E, fk, del B () CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder fk, del B, TMA98, --8, kl 5-85 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: Erik Svesso, el 7-59 OBS: Fyll i all på skrivigsomslage Age am och persor på varje iläma blad E idskoiuerlig kausal filer har illsådsekvaioe y + y + y + y = x a) Är filre sabil? b) Besäm usigale då isigale är si c) Besäm usigale då isigale är ( + ) e θ E y E x då x är e isigal med ädlig d) Visa a = oaleergi E ( x) x d och y är svare på x Fukioe f är jäm, har periode 8 och för är, < f =, < < Beräka f för < < och, < uveckla f och med hjälp härav f i Fourierserie på cosius-siusform τ Visa a ekvaioe y + y + e e y( τ) dτ = e θ faligsekvaio är e (p) (p) (p) (p) y k = f (age kära k) och besäm e lösig y 6z E kausal idsdiskre LTI-filer har överförigsfukio H ( z) = 6z a) Visa a filre är sabil och besäm filres impulssvar b) Age filres illsådsekvaio och ampliudkarakerisik x = cos c) Besäm usigale då isigale är 5 Besäm e följd a : IR som saisfierar a = då, = a + = a + a då a och (p) (p) (p) 6 Lös värmeledigsprobleme u x = u, < x <, < (, ) = u (, ) =, u( x,) = δ( x ) x (6p) 7 a) Defiiera disribuio och svag koverges b) Visa a för e sabil idsdiskre LTI-filer F med impulssvare h jα jα jα gäller a F e = H e e c) Visa a xn = x δn ( N ) för diskrea sigaler x (p) (p) (p)

3 gamla eor maem me E, fk, del B () CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder fk, del B, TMA98, --5, kl 5-85 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: Mari Adiels, el 7-59 OBS: Fyll i all på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa! E idskoiuerlig LTI-filer har segsvare J = e cos( ) θ a) Besäm filres impulssvar, moivera varför filre är kausal och sabil, age filres illsådsekvaio och besäm filres ampliudkarakerisik b) Besäm svare på si ( ) E y E x då x är e isigal med ädlig c) Visa a = oaleergi E ( x) x d och y är svare på x (6p) (p) (p) τ Visa a ekvaioe y + y ( τ) e dτ = y ( τ) e är e faligsekvaio τ dτ + e y k = f och besäm e lösig y (6p) E kausal idsdiskre filer har illsådsekvaioe y y( ) = x( ) + x( ) a) Visa a filre är sabil b) Besäm filres ampliudkarakerisik x = si c) Besäm usigale då isigale är d) Besäm usigale då isigale är x ( ) = θ (p) (p) (p) Lös probleme y( + ) y( + ) + y =,, y =, <, y = y = ( ) (p) 5 Lös probleme u (, y) = u (, y) = u ( x,) u y + u yy =, ( x,) = δ( x ) < x <, < = y < (6p) 6 a) Visa a θ = δ b) Visa a för e sabil idskoiuerlig LTI-filer F med jα jα impulssvare h gäller a F ( e ) h( α) e b Laplace b s + b c) Visa a si = ˆ (p) (p) (p)

4 gamla eor maem me E, fk, del B () CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder, fk, delb, TMA98, , kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige)bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa! a) Beräka ( cosh θ ) ( cos θ ) ( ) b) Beräka a θ b θ,,b IR a \{ } Svare skall ges ua -ecke E LTI-filer har ampliudkarakerisike A ( ω) = + ω och faskarakerisike Φ( ω) = arca ω a) Besäm filres impulssvar och visa a filre är kausal och sabil Age filres illsådsekvaio b) Besäm svare på cos c) Besäm svare på cos θ d) Besäm svare på ( + ) e θ( ) (p) (p) (6p) (p) (p) (p) a) Visa a filre är kausal och sabil Age filres illsådsekvaio b) Besäm svare på cos E diskre LTI-filer har impulssvare h = θ c) Besäm svare på θ cos (p) (p) Lös probleme u = u + u, < x <, < (,) = u(,) = u( x, ) =, u ( x, ) = x (7p) Fourier 5 a) Visa δ b) Härled Placherels formler Laplace c) Visa f F ( s) d) Vad meas med a e filer är idsivaria? (p) (p) (p) (p)

5 gamla eor maem me E, fk, del B () 5 Maemaik CTH&GU Teame i maemaiska meoder E, fk, del B, TMA98, , kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, skall lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa!!! Lös för > fukioera x( ), y( ), z( ) ur syseme x + y + z = x y z = x + y + z =, x =, y =, z = (6p) E kausal filer har illsådsekvaioe y + y + y = x a) Är filre sabil? b) Visa a A( ω) och ria A ( ω ):s graf [ A( ω ) är filres ampliudkarakerisik ] c) Hur sor del av impulssvares oala eergi ligger i bade ω? d) Besäm usigale, då isigale är cos, resp θ cos, resp θ( ) e ( e θ ) cos [p+p+p] e) Besäm e isigal, då usigale är (p) (p) (p) (8p) (p) Beräka e e ( ) θ (p) Lös probleme u = u, < x <, < u u u x x x (, ) = (, ) =, (, ) = δ( ) + δ ( ) (7p) 5 a) Visa a e lijär, idsivaria filer är e faligsfiler x a x h b) Visa a f = f δ (p) 6 Defiiera disribuio och svag koverges (p)

6 gamla eor maem me E, fk, del B () 6 ma me E, fk, del B, gamla eor, svar () -8- a) ω e θ( ), + ω + k = a) cos( ( k ) ) b) c) si d) ( e ) θ si e) e k + k k+ cos ( + ) arca + k+ k k + k = k ) a+ b θ a) h ) = ( δ( ) + δ( ) + δ ), A ( α) = + ( cosα + cosα + cosα) ( b) si cos = y c) för,, si cos = y = y = y för = d) x = θ 5) u( x, ) = si( ( + ) )si( ( + ) x) a) ja b) ( si + cos) c) e θ ) f = δ( + ) δ( ) δ( ), < <, k = 5 si ( k + ) f = si( ( k + ) ) si( ( k + ) ), f = + ( k + ) cos( ( k + ) ) ) e si θ k= 6 m a) h = 6 då = m +, m, h = aars b) y ( ) 6y = 6x( ), 6 6 A ( α) = c) 57cos α 7 si 5) a = si θ 6) u ( x, ) = ( ) e cos( x) --5 a) h = δ ( e cos + e si ) θ b) 6 si + cos ) y = e b) ( ) θ ) cos θ d) ( ) a) ( sih + si ) θ a) h = e θ 5) b) ( ) a θ + om b ω +, A ( ω) = ω ω + 6ω cos α 7+ 8cos α ( + ) cosh ( + ) = =! c) ( si cos + ) 5 sih( ( + ) y) si( ( + ) x) + + a b a =, θ a b om a b, illsekv: y + y + y = x b) si c) ( si e ) θ( ) d) + y = x b) ( 9cos si ) c) 9 cos si + ( ) a) y( ) + ( ) e si( ) si( x) ) u( x, ) = = ) x =, y( ) = e, z = e ( > ), a) ja c) ( arca ) 88% e) ( e e sg ), b) d) ( si, e e + si θ, si θ( ) ( e e ) θ k k k ) + θ ) si e e k= k ( si ) e k ( x) si e θ A 5 5