2. Ange dimensionen (enheten) hos följande storheter (använd SI-enheter): spänning, töjning, kraft, moment, förskjutning, deformation, vinkeländring.

Transkript

1 Tekniska Högskolan i inköping, IKP DE 1 - (Teoridel uan hjälpmedel) ÖSNINGAR 1. (a) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e jämvikssamband? (b) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e kompaibiliessamband? (c) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e maerialsamband? Med fysikaliska sorheer menas här, spänningar, öjningar, krafer, momen, förskjuningar, deformaioner, vinkeländringar. (a) Spänningar, krafer, momen (b) Töjningar, deformaioner, förskjuningar, vinkeländringar (c) Samband mellan spänningar och öjningar, alernaiv samband mellan krafer och deformaioner/förskjuningar, alernaiv samband mellan momen och vinkeländringar (roaioner) 2. Ange dimensionen (enheen) hos följande sorheer (använd SI-enheer): spänning, öjning, kraf, momen, förskjuning, deformaion, vinkeländring. spänning: N/m 2 öjning: dimensionslös (eller m/m) kraf: N momen: Nm förskjuning: m deformaion: m (vid drag/ryck, böjning mm. Kan även var vinkeländring, i radianer, vid vridning och/eller böjning.) vinkeländring: dimensionslös (d v s radianer) 7

2 Tekniska Högskolan i inköping, IKP DE 1 - (Teoridel uan hjälpmedel) 3. En konsolbalk AB (längd 2, böjsyvhe 2EI) belasas vid sin fria ände B med en kraf P (N), A 2, 2EI P B, EI C D Elemenarfall: Konsolbalk P, EI x z w(x) se figur. Man finner a yerändens förskjuning blir för sor, varför man södjer yeränden med yerligare en kosolbalk CD (längd, böjsyvhe EI). Besäm hur sor del av lasen P som bärs av balken AB och hur sor del som bärs av balken CD. w(x)= P3 6EI w()= P3 3EI 3 x 2 x w ()= P2 2EI 0 (N/m) w(x)= EI x x x 2 2 z, EI w(x) x w()= 0 4 8EI w ()= 0 3 6EI Ana a krafen R förs över ill balken CD. asen på balken AB blir då P R. Samma förskjuning av balken AB vid B och balken CD vid C ger (P R)(2) 3 = R3 3 2EI 3EI vilke ger R =4P / 5. Således bär balken AB P / 5 och CD bär 4P / En cirkulär, jämnjock skiva (innerradie a, b a yerradie b) är monerad på en sel axel (radie a). Yerradien är fri. Anordningen roerar med sel axel vinkelhasigheen ω. Ange randvillkoren för skivan. På innerranden är förskjuningen u(a) = 0 (på grund av sel axel). På yerranden är den radiella spänningskomponenen σ r (b) = 0 (p g a fri ya). 8

3 Tekniska Högskolan i inköping, IKP DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) A 5. En konsolbalk (längd 2, böjsyvhe EI) anas a A, E vara för vek för den las den ska bära, så man södjer (hänger upp) yeränden B med en lina (längd a, area A, E-modul E). Balken BC B EI C (a) belasas sedan på halva sin längd med en jämn ubredd las (N/m), se figur. Besäm dragkrafen i linan på grund av lasen. (b) Tips: asen på konsolbalken BC kan behandlas som summan av laserna på balkarna i figur (b) (c) och (c). Snia mellan linan och balken och för in linkrafen S i snie. Använd elemenarfall och superposiion. Förskjuningen vid balkände B kan ecknas på vå sä: linans förlängning δ lina är lika med balkändens B uböjning δ B. Man får δ B =δ 1 δ 2 δ 3 = (2)4 8 EI δ lina = Sa EA 4 8 EI EI S(2)3 = S3 3 EI 24 EI 3 EI där δ 1 är balkens uböjning enlig figur (b), δ 2 är uböjningen enlig figur (c) och δ 3 är uböjningen på grund av punkkrafen S från linan. Sä δ lina = δ B. De ger lina B S S varur löses S a EA = EI 8 S 3 3EI 41 A 4 S = 8 (3aI + 8A 3 ) 9

4 Tekniska Högskolan i inköping, IKP/TD DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 6. 2a x a 2a Mv a Förvridningsvinkeln Θ fås ur Här är värsni: y Insa i (a) fås Θ= 0 M v dx Gy 3 = M v G y K v (x)= 4A 2 0 ds En unnväggig axel, längd, är fas inspänd i ena änden och belasas med e vridande momen M v i den andra. Axeln är konisk, d v s axelns värsni varierar längs axeln, men varje värsni är kvadraisk med sidlängd y = y(x) och godsjocklek, se figur (sidlängden y varierar linjär med x). Besäm axelns förvridning Θ på grund av lasen M v (skjuvmodul G). Θ= 0 M v dx GK v (x) = 4y 4 4 y = y 3 där y = 2a x a dx (2a xa / ) 3 = M v Ga x 2 = 0 (a) = 3 8 M v Ga 3 10

5 Tekniska Högskolan i inköping, IKP DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 7. En balksekion är sammansvesad av vå ideniska plajärn enlig figur. Plajärnens må = 1 m är 100 mm gånger 20 mm och de båda 20 svesarnas a-må är a. Balken är fri upplagd och belasas med en jämn ubredd las =20 a 100 mm kn/m. Besäm erforderlig a-må hos svesarna om illåen skjuvspänningen i svesmaeriale är MPa. Besäm förs läge för värsnies yngdpunk. Man får a yngdpunken är belägen 80 mm från värsnies överkan. Skjuvspänningen i svesen blir τ= TS Ib där T = Q / 2 = N S = zda = mm 3 = m 3 Afläns I = = 5, mm 4 = 5, m 4 b = 2a Med illåen skjuvspänning τ = 15 MPa erhålls τ= = TS Ib = , a varur a = 0,00375 m = 3,75 mm (= 4 mm) löses. 11

6 Tekniska Högskolan i inköping, IKP R p DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 8. Två (kora) unnväggiga hylsor av olika maerial passar exak i varandra. Hylsornas gemensamma radie är R och båda hylsorna har samma godsjocklek, där << R. Den inre hylsan har E-modul E i och den yre E y. Den inre hylsan belasas med e inre överryck p. Besäm hylsornas radieökning u på grund av lasen. (Endas ringspänning uppkommer i hylsorna.) Ana a konakrycke uppkommer mellan de vå hylsorna. Ringspänningen σ ϕ i yerhylsan blir då (enlig "ångpanneformlerna") σ ϕy = R / och i innerhylsan fås σ ϕi =(p )R /. Hylsornas radieökning u fås ur sambande ε ϕ = u / r. Här är ε ϕ = σ ϕ / E (efersom vi bara har en spänningskomponen). Man får för innerhylsan ( φ = ϕ) och för yerhylsan E E i y p u i = R ε φi = R σ φi R (p )R = E i E i u y = R ε φy = R σ φy = RR E y E y Men hylsorna har samma radieökning, d v s u i = u y, vilke ger ( u i =) R (p )R E i = RR E y (=u y ) som ger = E y E i + E y p (Man ser a om E i, d v s innerhylsan är sel, kommer a bli noll, vilke innebär a all las bärs av den sela innerhylsan. Om däremo E i 0,dvs innerhylsan är mycke vek eller saknas hel, blir = p och all las bärs av yerhylsan, som sig bör.) Radieökningen fås nu som u = rε φ = R σ φy E y = R E y R = R 2 E y p = R 2 p E y E i + E y 1 E i + E y 12