K-uppgifter. K 12 En träregel med tvärsnittsmåtten 45 mm 70 mm är belastad med en normalkraft. i regeln och illustrera spänningen i en figur.

Transkript

1 K-uppgifter K 12 En träregel med tvärsnittsmåtten 45 mm 70 mm är belastad med en normalkraft på 28 kn som angriper i tvärsnittets tngdpunkt. Bestäm normalspänningen i regeln och illustrera spänningen i en figur. N = 28 kn K 13 En stålprofil HEA 200 är utsatt för en konstant normalspänning på 180 MPa över hela tvärsnittstan. Hur stor är normalkraften i tvärsnittet? Se Appendix C för tvärsnittsdata. K 14 Figuren visar ett fundament till en pelare i en bggnad. Fundamentet är kvadratiskt med sidlängden 2 m och belastas med 280 kn från pelaren. Fundamentets egentngd är 35 kn. Bestäm trckspänningen mellan fundament och markta. Antag att spänningen är jämnt fördelad. 280 kn fundament 35 kn markta 2 m

2 K 15 Figuren visar en beräkningsmodell för en konsol till en trählla. Stängerna i konsolen skall ha kvadratiskt tvärsnitt och alla skall ha samma dimension. Bestäm minsta möjliga dimension om trckspänningen i träet högst får uppgå till 21 MPa och dragspänningen högst får uppgå till 14 MPa m A B 10 kn 0.35 m C K 16 Ett stag av aluminium belastas av en dragkraft enligt figuren. Staget är 3.8 m långt och har en diameter på 2 mm. Elasticitetsmodulen är 75 GPa. Om spänningen inte får överskrida 60 MPa och största tillåtna förlängning av staget är 4 mm, hur stor kan då lasten P vara? P P K 17 En 14 m lång balk i en bro har tvärsnittsarean A = mm 2, längdutvidgningskoefficienten α = C 1 och elasticitetsmodulen E = 210 GPa. Bron är utförd med rörelsefogar för att kunna ta upp längdändringar p.g.a. temperaturändringar. Detta betder att bron kan längdändras helt fritt. Antag att balken har monterats vid en temperatur på +5 C. (a) Bestäm töjningen i balken om temperaturen minskar till 25 C. (b) Bestäm töjningen i balken om temperaturen ökar till 40 C. (c) Bestäm balkens längdändring vid en temperaturändring från 5 till 40 C (d) Om balken hade monterats med perfekt passning och rörelsefogar inte hade funnits (d.v.s. antag att balken är fullständigt förhindrad att röra sig), vilken spänning hade då uppstått i balken vid 40 C? (e) Vilken normalkraft motsvarar detta?

3 K 18 En räl har tvärsnittsarean A = 63.7 cm 2, längdutvidgningskoefficienten α = C 1 och elasticitetsmodulen E = 210 GPa. Antag att rälen är förhindrad att röra sig p.g.a. att den sitter fast i slipers samt att den är spänningsfri vid en temperatur på +5 C. (a) Bestäm spänningen i rälen om temperaturen minskar till 25 C. (b) Bestäm spänningen i rälen om temperaturen ökar till 40 C. (c) Bestäm normalkraften i rälen vid 40 C. (d) Vilken längdändring skulle en temperaturändring från 5 till 40 C ge för 1 km räl som var fri att röra sig? K 19 Figuren visar en sliper som belastas av ett tågs hjulaxel. Antag att trcket q från ballasten mot slipern är jämnt fördelat. (a) Bestäm genom jämvikt hur stort trcket från ballasten på slipern är uttrckt i N/m. (b) Bestäm tvärkrafts- och momentdiagram för slipern. 110 kn 110 kn q [mm] 2500

4 K 20 I figuren visas två fall där en balk utsätts för en last som ger upphov till böjning. (a) Skissa hur balkarna kommer att deformeras. (b) Ange neutrala lagrets läge. Vad gäller för spänningen i neutrala lagret? (c) Blir det drag- eller trckspänning vid balkens övre ta? (hitre ta i b) Illustrera spänningens riktning i en figur. (d) Blir det drag- eller trckspänning vid balkens undre ta? (bortre ta i b) Illustrera spänningens riktning i en figur. (e) Skissa balkens momentdiagram och bestäm maxmomentet för fall a) med hjälp av appendix B (f) I de undre figurerna har balkarna snittats omedelbart före lasten och frilagts. Upplagskraft och tvärkraft har ritats in i den riktning de verkar. Rita in det obekanta momentet i snittet i positiv riktning, använd högerhandsregeln. Kring vilken axel böjer momentet? Vilket index skall momentet ha? (g) Bestäm momentet genom momentjämvikt kring z-axeln respektive - axeln. a) P b) P P/2 L/2 z L P/2 x z x L/2 P/2 z L x P/2 z x

5 K 21 En fritt upplagd balk belastas med jämnt utbredd last enligt figuren. Vilken HEA-profil krävs om normalspänningen högst får vara 235 MPa? Balken bär i stva riktningen. 15 kn/m 3.6 m K 22 En fast inspänd tvåvåningspelare i betong är belastad med en centrisk last på 400kNipelartoppsamtmedenexcentrisklastpå300kNvidförstabjälklaget. Pelarens tvärsnitt är rektangulärt med måtten 0.3 m 0.5 m. (a) Bestäm normalkraft och böjmoment i pelarens inspänningssnitt. (b) Bestäm normalspänningens fördelning vid inspänningssnittet och visa resultatet i figur. 400 kn 3 m 300 kn 0.5 m 3 m 0.5 m

6 K 23 En betongmur utsätts för vattentrck på ena sidan. Betongen har densitet 2400 kg/m 3 och vattnet har densitet 1000 kg/m 3. (a) Bestäm största drag- och trckspänning vid murens inspänningssnitt då vattnet når till ovankanten av muren, d.v.s. d = 1.8 m. (b) Vilket vattendjup d kan tillåtas utan att det uppstår dragspänning i inspänningssnittet? 0.3 m 1.8 m d K 24 Enpelaremedkvadratiskttvärsnitt mm 2 belastasmedenexcentrisk last P = 15 kn. (a) Beräkna spänningen längs kant 1 och 2 om e = 25 mm. (b) Beräkna maximal excentricitet e så att ingen del av tvärsnittet blir dragen. Hur stor blir maximal trckspänning för detta värde på e? (c) Inom vilket område i tvärsnittet kan man placera en axiell last på en pelare eller vägg om man vill undvika dragspänning, t.ex. för att materialet har låg draghållfasthet? e 1 P =15 kn 2

7 K 25 Ett balktvärsnitt har måtten 45 mm 145 mm. (a) Tvärsnittet utsätts för en tvärkraft V = 5 kn. Bestäm skjuvspänningen vid snitt 1, 2 och 3. (b) TvärsnittetutsättsförentvärkraftV z = 1.5kN.Bestämskjuvspänningen vid snitt 1. z a) b) z mm 45 K 26 En fritt upplagd balk belastas med en jämnt utbredd last på 10 kn/m. Balken är utförd i limträ med tvärsnittsmåtten 90 mm 315 mm. Hur stor kan spännvidden L maximalt vara om normalspänningen högst får uppgå till 15 MPa och skjuvspänningen högst får uppgå till 1.7 MPa. 10 kn/m L

8 K 27 Ett rektangulärt balktvärsnitt har bredden b och höjden h. Största tillåtna skjuvspänningärτ till.visaattdenstörstatvärkrafttvärsnittetklararär Aτ till 1.5, där A är tvärsnittsarean. h b K 28 Ett balktvärsnitt enligt figuren utsätts för en tvärkraft på 300 kn. (a) För att bestämma skjuvspänningen vid neutrala lagret behövs det statiska momentet. Beräkna det statiska momentet på två sätt: 1) Betrakta övre halvan av tvärsnittet som avskjuvad area och bestäm tngdpunktens läge för denna ta. 2) Bestäm istället statiska momentet genom att lägga ihop det statiska momentet för två enkla deltor; övre flänsen samt övre halvan av livet. (b) För att bestämma skjuvspänningen behövs tvärsnittets ttröghetsmoment.bestämävendettapå tvåsätt.1)delaupptvärsnittetienkladeltor och använd Steiners sats. 2) Beräkna tröghetsmomentet genom att ta tröghetsmomentet för ett rektangulärt tvärsnitt med måtten och dra ifrån tröghetsmomentet för de två rektanglar som består av luft. (c) Bestäm den maximala skjuvspänningen i tvärsnittet. (d) Bestäm ett approximativt värde på maximala skjuvspänningen genom att använda τ = V/A liv mm

9 K 29 En HEA 220-balk är upplagd och belastad enligt figuren. Materialet är elastisktidealplastiskt med fltspänning σ s = 355 MPa. (a) Bestäm hur stor lasten P kan vara om ingen plasticering tillåts i balken. Utnttja appendix B. (b) Bestäm hur stor lasten P kan vara om fltleder accepteras. Antag här ett moment-krökningssamband enligt figur P 5 m 2.75 m K 30 En konsolbalk är belastad med en punktlast i konsolspetsen enligt figuren. Balken är en HEA300-profil med elasticitetsmodul 210 GPa. Bestäm med hjälp av appendix B utböjningen i konsolspetsen samt 1.0 m från infästningen. 50 kn 2.5 m K 31 En fritt upplagd balk belastas med en jämnt utbredd last samt ett punktmoment i vardera balkänden enligt figuren. Balken har I = m 4 och E = 13 GPa. (a) Bestäm balkens momentdiagram. (b) Bestäm balkens mittnedböjning. 13 kn/m 5 knm 10 knm 4.8 m

10 K 32 Vid skruvprovtagning skruvas ett rör ner i marken. När röret dras upp följer jorden med och man kan undersöka dess egenskaper inför ett bgge på platsen. Ett rör i en skruvprovtagare med tterdiameter 100 mm och innerdiameter 84 mm utsätts för ett vridmoment på 1500 Nm. Bestäm skjuvspänningen vid utsidan och insidan på röret [mm] K 33 Ett rör som överför vridmoment består av två delar som är sammanfogade med 50 nitar med diameter 4 mm. Radien vid nitförbandet är 100 mm. Bestäm det största vridmoment som kan överföras mellan rören om största tillåtna skjuvspänning i nitarna är 180 MPa. T T K 34 Det cirkulära tvärsnittet i delfigur a) med diameter 30 mm är utsatt för en tvärkraft V = 25 kn och ett vridmoment T = 0.3 knm, riktade enligt figuren. Bestäm den största skjuvspänningen i tvärsnittet och visa i figur dess läge och riktning. Delfigur b) visar läget för tngdpunkten för en halvcirkelformad ta. a) b) z V T tp = 4r 3p

11 K 35 Bestäm spänningstillståndet (normalspänningar och skjuvspänning) i de markerade punkterna i konstruktionerna nedan. Visa resultatet i figur. a) 35 kn b) 3 knm 20 kn 5 mm 35 kn 50 mm 20 kn 3 knm 50 mm diameter c) 50 mm 20 kn 1 m 50 mm d) p = 3 MN/m 2 A B 100 mm r i = 1 m t = 15 mm 2 m K 36 Bestäm den kritiska lasten för en 4 m lång HEB 160-profil som är ledat infäst upptill och nedtill för följande två fall. (a) Pelaren är stagad i veka riktningen. Detta innebär att utböjning och därmed knäckning är förhindrad i veka riktningen. Stagning i veka riktningen illustreras smboliskt i den högra delfiguren och kan i praktiken uppnås t.ex. genom att pelaren är inbggd i en vägg som förhindrar knäckning i väggens plan. (b) Pelaren är inte stagad i någon riktning.

12 K 37 Pelare som avses vara raka och vertikala blir ibland inte det. Dessa imperfektioner orsakar extra belastningar. (a) Studera pelarna i delfigur a och b. Uppstår moment i pelarna? Bestäm isåfall det största momentet och var det uppstår. (b) Studera pelarna i delfigur c och d. Uppstår moment i pelarna? Bestäm isåfall det största momentet och var det uppstår. (c) Studera pelarna i delfigur c och e. Uppstår det horisontella upplagskrafter i A och B? Bestäm isåfall deras storlek, t.ex. genom att frilägga pelaren och ställa upp en momentjämvikt kring A. Andra ordningens teori beaktas ej och vinkeln α antas vara liten.

13 Svar till K-uppgifter K 12 s = 8.9 MPa K 13 N = 969 kn (A = 5383 mm 2 ) K 14 σ = 78.7 kpa K mm (N AB = N AC = 10 kn, N BC = 14.1 kn drag: 26.7 mm, trck: 25.9 mm) K 16 P 188 N (σ: P 188 N, δ: P 248 N) K 17 (a) ǫ = ( <0 krmpning) (b) ǫ = ( >0 utvidgning) (c) δ = 5.9 mm (d) σ = 88.2 MPa (e) N = 1570 kn (trck) K 18 (a) σ = 75.6 MPa (b) σ = 88.2 MPa (c) N = 562 kn (trck) (d) δ = 0.42 m

14 K 19 (a) q = 88 kn/m (b) knm knm knm x [m] M [knm] K 20 (a) Neutrala lagret trck drag drag trck (b) σ = 0 i neutrala lagret (c) Trckspänning i balkens längsriktning (d) Dragspänning i balkens längsriktning (e) x M PL 4

15 (f) P/2 L/2 z M z = 4 PL x L/2 P/2 z M = - 4 PL x (g) M z = PL 4 M = PL 4 K 21 HEA 120 (W el m 3 ) K 22 (a) N = 700 kn, M = 150 knm, drag till vänster (b) 0.5 m 7.33 MPa MPa K 23 (a) σ drag = 593 kpa (på vattensidan) σ trck = 678 kpa (b) d = 0.73 m K 24 (a) σ 1 = 0.75 MPa (N = 15 kn, M = knm) σ 2 = 3.75 MPa (b) e = 16.7 mm σ 2 = 3.00 MPa (c) Lasten kan placeras inom den mellersta tredjedelen av tvärsnittet, den s.k. kärntan. K 25 (a) snitt 1: τ = 1.15 MPa snitt 2: τ = 0.86 MPa snitt 3: τ = 0 MPa (b) τ = 0.34 MPa K 26 L 4.22 m Skjuvspänning: L 6.42 m

16 K 28 (a) Aȳ = mm 3 (b) I = mm 4 (c) τ = 169 MPa (d) τ 176 MPa K 29 (a) P kn M A = 0.96P, M B = 0.71P, M e = 182.8kNm (b) P kn K 30 v B = 6.8 mm (v B < 0 utböjning nedåt) v 1 = 1.4 mm K 31 (a) M p = knm, första fltled vid P = kn M(x) [knm] M mitt = 29.9 knm x [m] (b) v mitt = m K 32 τ utsida = 15.2 MPa (I p = m 4 ) τ insida = 12.8 MPa K 33 T = knm (A = m 2, V till = 113 kn) K 34 τ max = MPa, riktad uppåt, i punkten (,z)=(0,-15 mm) (Tvärkraft ger τ = 47 MPa, Vridmoment ger τ = 56.6 MPa) K 35 a) b) [MPa] [MPa] c) d) 100 A B 240 [MPa] [MPa] [MPa] 100

17 K 36 (a) 3228 kn (b) 1152 kn K 37 (a) b) M = PαL vid A (b) d) M = Pe på mitten (c) e) R Ax = R Bx = Pα