Betongkonstruktion Facit Övningstal del 2 Asaad Almssad i samarbete med Göran Lindberg

Transkript

1 Pelare ÖVNING 7 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc 33 γ cc 1, 7,5GGG Armering f yy f k MMM γ s 1,15 ε yy f yy , E s l o l 3 6 m Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE β M EE (β 1) 1 + M N 0,EE B N 1 EE M O,EE M + N EE e i M O.EE 0+N EE e i 850 0,015 1,75 kkk e i l mm 400 N B π. EE l 0 Antag β 1,0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1

2 N B π EE l 0 π 6, kk 1 M Ed 1 + 1,75 1,9 1,75 4,5 kn Momentkapacitet M RR vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter x N EE f cc 0,8 b ,8 0,35 0,15m Kontroll av ε s och ε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,3 0,15 3, , > ε 0,15 syd,17 ok! 0,15 0,05 3,5 10 3, > ε 0,15 syd,17 ok! M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd f cc 0,8 x b (d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd ,8 0,15 0,35(0,3 0,4 0,15) (0,3 0,05) (0,3 0,175) 139,1 knm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Svar: M RR 139,1 knm < M EE 4,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

3 ÖVNING 8 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc 33 7,5 GGG γ cc 1, Armering f yy f k MMM γ s 1,15 ε yy f yy , E s l o 0,77 l 3,85 m Antar att armering flyter ε s>εss σ f yy 1. Dimensioneringsvillkor M RR M EE. Bestämning av M EE M O,EE M EE + N EE e i e i l ,65 mm 400 M O,EE q d l 8 +N EE e i 3 5, , ,175kkk FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3

4 β M EE 1 + M N 0,EE B 1 N EE Antag β 1,0 N B π. EE l 0 N B π, , kk M EE 1 + 1, ,175 1,517 14,175 1,5 kkk Bestämning av momentkapacitet M RR Antar att armering flyter ε s>εss σ f yy F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed 0,8x b f cc N EE x N EE ,8 b f cc 0,8 0, ,078m M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) f cc 0,8 b (d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) + N Ed (d h/) M Rd ,4 0,8 0,078(0,35 0,4 0,078) (0,35 0,05) (0,35 0,) 136,6 knm M RR 111, 6 kkk > M EE, 5 kkk oo! Kontroll av ε s och ε s ε s ε cu(d x) x 0,35 0,078 3, < ε 0,078 syd ok! FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4

5 ε s ε cu(x d ) x σ 00 1,56 51,MPa 0,078 0,05 3, , > ε 0,078 syd ej ok! M Rd ,4 0,8 0,078(0,35 0,4 0,078) + 51, (0,35 0,05) (0,35 0,) 114,4 knm Svar: M RR 114,4 knm > M EE 1,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5

6 ÖVNING 9 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C0/5 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc γ cc 33 1, 7,5GGG Armering f yy f k MMM γ s 1, 11 ε yy f yy , E s. 119 l o l 3, 0 6 m Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE β M EE (β 1) 1 + M N 0,EE B 1 N EE M O,EE M + N EE e i M O.EE q EE l +N EE e i,0 3,0 e i (förrrrrrrr fffffff) l mm 400 N B π. EE l ,015 17,5 kkk FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6

7 Antag β 1,0 N B π. EE l 0 π 3, kk 1 1 M EE , ,5 3 17,5 5 kk 8 Momentkapacitet M RR vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed f cc b 0,8x N EE x N EE f cc 0,8 b ,8 13, ,13 m 0,4 Kontroll av ε s och ε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,355 0,13 3, , > ε 0,13 syd,17 ok! 0,13 0,045 3,5 10 3, > ε 0,13 syd,17 ok! M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd f cc 0,8 b (d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 13, ,8 0,13 0,4(0,355 0,4 0,13) (0,355 0,045) (0,355 0,) 136,6 knm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Svar: M RR 136,6 knm < M EE 5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7

8 ÖVNING 30 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C5/30 f cc f cc 30 0 MMM γ c 1,5 E cc E cc γ cc 31 1, 5,8GGG Armering f yy f k MMM γ s 1,15 ε yy f yy , E s l o l 4,5 m d mm d 45 mm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE β M EE (β 1) 1 + M N 0Ed B N 1 Ed M O,EE M + N EE e i M O.EE 0+N EE e i 700 0,0113 7,9 kkk e i (förrrrrrrr fffffff) l ,5 mm 400 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8

9 N B π. EE l 0 N B π 1, ,5 96 kk 1 M EE 1 + 7,9 4,1 7,9 3,4 kk Momentkapacitet M RR vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed f cd b 0,8x N Ed x N EE f cc 0,8 b , ,15 m 0,35 Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,305 0,15 3, , > ε 0,15 syd,17 ok! 0,15 0,045 3,5 10 3, > ε 0,15 syd,17 ok! M RR F c (d 0, 44) + F s (d d`) N EE (d h/) M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd ,8 0,15 0,35(0,35 0,4 0,15) (0,305 0,045) ,305 0,35 164,5 knm Dimensioneringsvillkor M RR M EE Svar: M RR 164,5 knm > M EE 3,4 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9

10 ÖVNING 31 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 f cc f cc 35 3,3 MMM γ c 1,5 E cc E cc γ cc 33 1, 7,5GGG Armering f yy f k MMM γ s 1,15 ε yy f yy , E s l o l 6 m Dimensioneringsvillkor M RR M EE Bestämning av M EE M O,EE M EE + N EE e i e i l mm 400 M O,EE q d l 1 6 +N 8 EE e i ,015 65,5kkk 8 β M EE 1 + M N 0,EE B N 1 EE N B π EE l 0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 10

11 N B π 1, ,5kk 1 M EE ,5 1,9 65,5 15,3 kkk 493, Bestämning av momentkapacitet M RR Antar att armering flyter x N EE ,8 b f cc 0,8 0,30 3, ,134m M Rd F c (d 0,4x) + F ś (d d`) N Ed (d h/) f cc b 0,8x(d 0,4x) + f yd. A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 3, ,30 0,8 0,134(0,6 0,4 0,134) (0,6 0,04) (0,6 0,5 0,30) 13,3 knm M RR 111, 3 kkk > M EE 111, 3 kkk oo! Kontroll av ε s och ε s ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,6 0,134 3, , < ε 0,134 syd ok! 0,134 0,04 3,5 10 3, < ε 0,134 syd ok! Svar: M RR 13,3 knm > M EE 15,3 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 11

12 ÖVNING 3 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong CCC/33 f cc f cc 33 MMM γ c 1, 5 E cc E cc 33, 5555 γ cc 1, Armering f yd f k MPa γ s 1,15 ε yd f yd , E s φ ee 1,6 l 0 0,77 l 0,77 5 4,9 m Effektiv höjd d h C mm. t d 34 mm. Imperfektionen för pelare e i l ,75 mm :a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0,EE M EE + N EE e i M 0,EE 0 + N EE e i ,01 8 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1

13 Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λ λ mmm Med slankhetstalet vi definierat tidigt som λ l 0 i l 0 3,9 48,3 h 0, A B C λ mmm n n A N EE A c f cc 0,8 0, , , φ ef 1 + 0, 1,6 0,76 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,76 1,1 0,7 λ min 16,4 0,51 λ 48,3 > λ min 16,4 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M O.Ed 1,5 8 1 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n m ω 0 N EE A c f cc 0,8 0, ,51 M Ed b h f cd 0,8 0, ,03 Välj minimiarmering d.v.s. FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 13

14 A s 0,000 A c 0,00 0,8 0,8 156, Välj ϕ 1 på varje sida. Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0.Ed B 1 N Ed N B π EE l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ ,0058 > 0,00 0,8 0,8 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 30(Mpa) 0 1, 48,3 0,51 0,15 0, ok 170 1, 0,15 (1 + 1,6) 0,07 I I 0 + A a a betong d h betong EI 0,07 7, ,8. 0, ,88 MNm ,46 0,8 N B π EE l 0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 14

15 N B π 10,88 3,9 7,06 MN 1 M Ed , knm 7,06 0,8 1 Enligt interaktionsdiagrammet n m N EE A c f cc 0,8 0, ,51 ω 1 0 M Ed b h f cd 0,8 0, ,0 Välj minimiarmering d.v.s. A s 0,000 A c 0,00 0,8 0,8 156, Välj ϕ 1 på varje sida. Svar: + ϕ1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 15

16 ÖVNING 33 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cd f ck 30 0 MPa γ c 1,5 E cd E cm γ ce 33 1, 7,5GPa Armering f yd f k MPa γ s 1,15 ε yd f yd , E s φ ee,1 Effektiv höjd dh-c min-δc dur-ϕ/ ,535,5 mm. d c min+δc dur+ϕ/5+10+1,547,5 mm. Imperfektionen för pelare l 0 0,77 l 0,77 7 5,4m e i l , ,0135 m 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0.EE M EE + N EE e i M 0.EE q EEl 8 + N 30 7 EE e i , ,6 knm 8 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 16

17 Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λ λ min Med slankhetstalet vi definierat tidigt som λ l 0 i och 0 A B C λ mmm n där n A N EE A c f cc 0,4 0, , , φ ef 1 + 0,,7 0,65 B 1 + ω 1,1 (okänd) 0 0,65 1,1 0,7 λ min 3,6 0,18 λ l 0 i l 0 5,4 46,8 h 0,4 1 1 λ 46,8 > λ min 3,6 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M O,Ed 1,5 191,6 87,4 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n m N EE A c f cc 0,4 0, ,18 M Ed 87, b h f cd 0,4 0, ,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 17

18 ω 0, 33 A s ω b. h f cd ,39 0,4 0,4 f yd m Välj 6ϕ 5 på varje sida > (6ϕ ) Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0,Ed B N 1 Ed N B π EE l 0 där EI nominella styvheten enligt nedan EI K c E cd I c + K s E s I s ρ ,4 0,4 0,019 > 0,01 För ρ 0, 00 får följande faktorer användas K s 0 k c 0,3 0, ,5φ ef (1 + 0,5,7) 0,18 EI 0, ,4. 0,43 1 5,46 MNm N B π EI l 0 π 5,46 5,4 1,85 MN β π c 0 π 9,6 1,03 M Ed 1 + β N B N Ed 1 Enligt interaktionsdiagrammet n M 0,Ed 1 + 1,03 N EE A c f cc 0,4 0, ,18 191,6 1,47 191,6 81,7kNm 1,85 0,58 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 18

19 m M Ed 81, b h f cd 0,4 0, , ω 1 0, 33 A s ω b h f cd ,38 0,4 0,4 f yd m Väll 6φ5 på varje sida med A s 945 mm Svar: ϕ5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 19

20 ÖVNING 34 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong CCC/44 f cd f ck 35 3,3 MPa γ c 1,5 E cd E cm γ ce 34 1, 8,3GPa Armering f yd f k MPa γ s 1,15 ε yd f yd , E s l 0 0,7 6,5 4,55 m Imperfektionen för pelare e i l , ,0114 m 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0EE M EE + N EE e i , ,13kNm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λ λ min λ l 0 i 0 A B C λ mmm n n N EE b h f cc 0,40 0,45 3, ,11 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 0

21 A , φ ef 1 + 0,, 0,7 B 1 + ω 1,1 (okänd) ω f yd A s f cd A c C 1,7 r m 0,7 (okänd) 0 0,7 1,1 0,7 λ min 3,5 0,11 λ l 0 i l 0 4,55 35 h 0, λ 35 > λ min 3,5 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M O.Ed 1,5 15, knm Använd iteraktionsdiagrammet. n m N Ed b h f cd 0,40 0,45 3, ,11 M Ed b h f cd 0,40 0,45 3, ,1 ω 0, 11 A s ω b h f cd 3, ,1 0,40 0,45 f yd m Välj 6ϕ 16 på varje sida > ( 6ϕ ) Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0,Ed B N 1 Ed FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1

22 N B π EE l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ ,40 0,45 0,0067 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 1,3 0,03 (1 +,) I I 0 + A a 35(Mpa) 0 1,3 35 0,11 0,03 0, ok 170 0,01 a betong d h betong EI K c E cd I c + K s E s I s EI 0,01 8, ,40. 0, ,5 MNm ,4 0,45 N B π EE l 0 N B π 8,5 4,55 3,93 MN 1 M 0,Ed ,13 1,13 15,13 141,4 knm 3,93 0,45 1 Enligt interaktionsdiagrammet FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

23 n m N Ed b h f cd 0,40 0,45 3, ,11 M Ed 141, b h f cd 0,40 0,45 3, ,075 ω 1 0, 00 A s ω b h f cd 3, ,07 0,40 0,45 f yd m Väll 4φ16 på var sida med A s A s 804 mm Svar: 4 + 4ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3

24 ÖVNING 35 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C33/44 f cd f ck 35 3,3 MPa γ c 1,5 E cd E cm 34 8,3 GPa γ ce 1, Armering f yd f k MPa γ s 1,15 ε yd f yd , E s φ ee 1,4 l 0 0,77 5 3,9 m Imperfektionen för pelare e i l ,01 m 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner M 0.EE M EE + N EE e i M 0.EE 0 + N EE e i +00 0,01 knm Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λ λ min λ l 0 i FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4

25 0 A B C λ mmm n n A N EE A c f cc 0,30 0,35 3, , , φ ef 1 + 0, 1,4 0,78 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,78 1,1 0,7 λ min 1,7 0,9 λ l 0 i l 0 3,9 38,5 h 0, λ 38,5 > λ min 1,7 Andra ordningens effekt ska beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M Ed 1,5 M 0.Ed 1,5 33 knm Använd interaktionsdiagrammet. n m N EE A c f cc 0,30 0,35 3, ,9 M Ed b h f cd 0,30 0,35 3, ,04 ω 0, 000 A s A ś ω b h f cd 3, ,05 0,30 0,35 f yd m MMMMMMMMMMMMMM 0,00 0,3 0, Välj ϕ 0 på varje sida > ( 4ϕ ) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5

26 Kontrollera tvärsnitt β M Ed 1 + M N 0.Ed B 1 N Ed N B π EI l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ ,30 0,35 0,01 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 35(MPa) 0 1,3 38,5 0,9 0,0 ok! 170 1,3 0, (1 + 1,4) 0,11 I I 0 + A a a betong d h betong EI 0,11 8, ,30 0, ,3 MNm ,316 0,35 N B π EE l 0 π 8,3 3,9 5,4 MN M Ed 1 + β N B N Ed 1 M 0.Ed ,69 37, knm 5,4, 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6

27 Enligt interaktionsdiagrammet n m N EE A c f cc 0,30 0,35 3, ,9 M Ed 37, 10 3 b h f cd 0,30 0,35 3, ,043 ω 0, 000 A s A ś ω b h f cd 3, ,05 0,30 0,35 f yd m MMMMMMMMMMMMMM 0,00 0,3 0, Välj ϕ 0 på varje sida > ( 4ϕ ) Svar: + ϕ0 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7

28 ÖVNING 36 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 f cc 0 MMM E cc E cc γ c 33 1, 7,5GGG Armering f yy 444 MMM ε yy, l o l 6 11m Skall Andra ordningens moment beaktas? λ λ min 0 A B C λ mmm n n A N EE A c f cc 0,45 0, , , φ ef 1 + 0,,6 0,66 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,66 1,1 0,7 λ min 1 0,35 λ l 0 i l 0 1 9,38 h 0, FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8

29 λ 9,38 > λ min 1 Andra ordningens effekt ska beaktas M O,EE M EE + N EE (e i + e) Initiallutning e i l mm 400 M O,EE 950(0,03 + e) (8, e) kkk Andra ordningens moment N B π EE l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ ,45 0,45 0,093 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 1,3 0,18 (1 +,6) 30(MPa) 0 0,35 9, ,044 1,3 0,18 0, ok I I 0 + A a a betong d h betong FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9

30 EI 0,044 7, ,45 0, ,67 MNm ,4 0,45 N B π EE l 0 π 15,67 1 1,07 MN β π c 0 π 8 1,3 β M Ed 1 + M N 0.Ed 1 + 1,3 (8, e) B 1,07 1 N Ed 0,95 1 M Ed 10,74 (8, e) 306, e knm Momentkapacitet M RR Antag att all armering flyter F c + F s F s + N EE ; mmm F s F s F c N Ed f cd b 0,8x N Ed x N Ed f cd 0,8 b , ,45 0,13 m Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,40 0,13 3, , > ε 0,13 syd,17 ok! 0,13 0,05 3,5 10 3, ε 0,13 syd,17 ok! M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd ,45 0,8 0,13(0,4 0,4 0,13) (0,4 0,05) ,4 0,45 307,15 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 30

31 Dimensioneringsvillkor M RR M EE 307,15 306, e e 1, m Svar: Största tillåtna lastexcentriteten (inkluderar ev. oavsiktlig excentricitet) e 0,1 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 31

32 ÖVNING 37 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong CCC/33 f cd f ck 5 16,7 MPa γ c 1,5 E cd E cm 31 5,8 GPa γ ce 1, Armering f yd f k MPa γ s 1,15 ε yd f yd , E s φ ef 1,8 Imperfektionen för pelare l 0 l 6m e i l mm 400 Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λ λ min med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l 0 i och λ min 0 A B C n FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3

33 n A N Ed A c f cd 0,3 0,5 16, , , φ ef 1 + 0, 1,8 0,74 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,74 1,1 0,7 λ min,35 0,6 λ l 0 i l ,4 h 0, λ 59,4 > λ min,35 Andra ordningens effekt ska beaktas M 0.Ed M Ed + N Ed e i M 0,Ed P Ed ab l + N Ed e i P Ed 1,5 4, ,015 6 (1,15P Ed + 9,75) knm Andra ordningens moment N B π EI l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ ,3 0,5 0,008 > 0,00 För ρ 0, 000 får följande faktorer användas K s 1 k c k 1 k (1 + φ ef ) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 33

34 k 1 f ck(mpa) 0 k n λ 170 k c 5(MPa) 0 1,11 59,4 0,6 0,09 0, ok 170 1,11 0,09 (1 + 1,8) 0,036 I I 0 + A a a betong d h betong EI 0,036 5, ,3 0, ,455 0,5 1 13,04 MNm N B π EI l 0 π 13,04 6 3,58MN β 1 M Ed 1 + M N 0,Ed 1 + (3,15q B 3,58 Ed + 7,5) 1 N Ed 0,65 1 M Ed 1, (1,15P Ed + 9,75) (1,37P Ed + 11,9)kNm Momentkapacitet M RR Antag att all armering flyter x N Ed 0,8 f cd b ,8 16, ,3 0,16 m Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,455 0,16 3, , > ε 0,16 syd,17 ok! 0,16 0,045 3,5 10 3, > ε 0,16 syd,17 ok! M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd A ś (d d`) N Ed (d h/) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 34

35 M Rd 16, ,3 0,8 0,16(0,455 0,4 0,16) (0,455 0,045) ,455 0,5 5kNm Dimensioneringsvillkor M Rd M Ed 5 1,37P Ed + 11,9 Svar: 155,5 kn FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 35

36 ÖVNING 38 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 f cd f ck 0 13,3 MPa γ c 1,5 E cd E cm 34 8,3 GPa γ ce 1, Armering f yd f k MPa γ s 1,15 ε yd f yd , E s φ ef 1,4 Imperfektionen för pelare l 0 l 5m e i l ,5 mm 400 Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λ λ min med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l 0 i λ min 0 A B C n n N Ed A c f cd 0,35 0,35 13, ,356 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 36

37 A , φ ef 1 + 0, 1,4 0,78 B 1 + ω 1,1 C 1,7 r m 0,7 (okänd) (okänd) 0 0,78 1,1 0,7 λ min 0,13 0,356 λ l 0 i l ,5 h 0, λ 49,5 > λ min 0,13 Andra ordningens effekt ska beaktas M 0.Ed M Ed + N Ed e i M 0.Ed q Edl 8 + N Ed e i q Ed ,015 (3,15q 8 Ed + 7,5) knm Andra ordningens moment N B π EI l 0 EI K c E cd I c + K s E s I s ρ 0,0103 > 0,01 0,35 0,35 För ρ 0, 00 får följande faktorer användas K s 0 k c 0,3 (1 + 0,5φ ef ) 0,3 (1 + 0,5 1,4) 0,177 EI 0,177 8, ,35 0, ,6 MNm N B π EI l 0 π 6,6 5,47MN β 1 M Ed 1 + M N 0,Ed 1 + (3,15q B,47 Ed + 7,5) N 1 Ed 0,58 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 37

38 M Ed 1,31 (3,15q Ed + 7,5) (4,1q Ed + 95)kNm Momentkapacitet M RR Antag att all armering flyter F c + F ś F s + N Ed ; men F ś F s F c N Ed f cd b 0,8x N Ed x N Ed 0,8 f cd b ,8 13, ,35 0,16 m Kontroll av ε s ochε s: ε s d x ε x cu ε s x d ε x cu 0,30 0,16 3, , > ε 0,16 syd,17 ok! 0,16 0,05 3,5 10 3, > ε 0,16 syd,17 ok! M Rd f cd b 0,8x(d 0,4x) + f yd A ś (d d`) N Ed (d h/) M Rd 13, ,35 0,8 0,16(0,30 0,4 0,16) (0,30 0,05) ,30 0,35 136,4 knm Dimensioneringsvillkor M Rd M Ed 136,4 4,1q Ed + 95 q Ed 10,1kN/m Svar: 10,1 kn/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 38

39 Brukgränstillstånd ÖVNING 39 LÖSNING Material egenskaper Betong C5/30 f ctm,6 Mpa E c31 Gpa Armering E s00gpa Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I (EE) I Kvasi-permanent lastkombination (EI) I E c,eff bh3 1 E cm E c,eff 1 + φ (,t0 ) 8, ,30 0, ,88 GPa 1 +,5 7,7 MNm Bestäm böjstyvheten i sprucket stadiumii (EE) II Kvasi-permanent lastkombination Läget på neutrallagret ges av (EI) II 0,5 b d 3 ξ E c,eff 1 ξ 3 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 α e E s 00 E c,eff 8,88,5 Armeringsandelen(ρ) A s A s ,0058 < 0,0 ok! A c bd 0,300 0,465 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1,5 0, ,401,5 0,0058 (EI) II 0,5 0,30 0, ,401 8, ,401 18,7MNm 3 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 39

40 Nedböjning för fritt upplagad balk v mitt 5 q l4 384 EI Vi kontrollera om balken dimensionerad klarar i brukgränsdimensioneringen. Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av ξ 1 β M cr M y tot ξv II + (1 ξ)v I Kvasi-permanent lastkombination y I 5 q l , (EI) I 384 7, , m y II 5 q l4 384(EI) II , , , m ξ 1 β M cr M M cr f ctm I I z β0,5 vid långtidslast M d,kv q Ed,kv l 8,6. 0, , ,5 knm 0, ,4 8 ξ 1 0,5 3,5 105,7 0, ,7kNm y tot 0,999 19, (1 0,999) 11, ,9 Svar: y tot 9,9 mm < l ,6 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 40

41 ÖVNING 40 LÖSNING Material egenskaper Betong C5/30 f ctm,6 Mpa E c31 Gpa Armering E s00gpa Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i osprucket stadium I (EI) I E c,eff bh3 1 E cm E c,eff 1 + φ (,t0 ) 7, ,5 0, ,75 Gpa Nedböjning för fritt upplagad balk 14,7 MNm y mmm L 500 I y mmmm 5 q l EI I 500 q d I , ,41 kn/m Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i sprucket stadiumii (EI) II 0,5 b d 3 ξ E c,eff 1 ξ 3 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 α e E s E c,eff 00 7,75 5,8 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 41

42 Armeringsandelen(ρ) A s A s ,0078 < 0,0 ok! A c bd 0,5 0,415 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 5,8 0, ,464 5,8 0,0078 (EI) II 0,5 0,5 0, ,464 7, ,464 1,6 MNm 3 Nedböjning för fritt upplagad balk y mmm L 500 II y mmmm 5 q l EI II 500 q d II , ,78 kn/m Svar: a) q d I 4,41 kn/m b) q d II 3,78 kn m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4

43 ÖVNING 41 LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper i brukgränstillstånd Betong C0/5 E cm 30 GPa f ccc, MPa Armering E s 00 GPa α e (korttidslast) E s E cm ,66 Tyngdpunktsavståndet från underarmeringslagret blir c 1 45 mm c mm c tp Effektiva höjden blir 60 mm d h c tt mm Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I (EE) I (EE) I E cm bh ,35 0,603 1 Bestäm böjstyvheten i sprucket stadium II (EE) II Läget på neutrallagret ges av 189 MMm (EI) II 0,5 b d 3 ξ E cm 1 ξ 3 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 43

44 α e E s E cm ,66 ρ A s A s ,01 < 0,0 ok! A c bb 0,35 0,54 ξ α e ρ 1 + α e ρ 1 6,66 0, ,3 6,66 0,01 (EE) II 0,5 0,35 0,54 3 0, ,3 66,7 MMm 3 Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av y ttt ζy II + (1 ζ)y I ζ 1 β M cc M M P d L 10 4, 504 kkk M cc f ccc I I x tt x tp bh h + (α e 1) A s d bh + (α e 1) A s x tp 0,35 0,6 0,6 + (6,66 1) ,54 0,35 0,6 + (6,66 1) ,31 m Ideella tröghetsmomentet I I blir då: I I I I b h3 1 + bh x tp h + (α e 1) A s d x tp 0,35 0, ,35 0,6 0,31 0,6 + (6,66 1) (0,54 0,31) 6, m 4 M cc f ccc I I x tt β 1 vid korttidslast, 106 6, ,31 48,65 kkk FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 44

45 ζ 1 1,0 48, ,99 y II P dl 3 0,1 4,3 3(EE) II 3 66,7 44, m y I P dl 3 0,1 4,3 3(EE) I , m y ttt ζy II + (1 ζ)y I 0,99 44, (1 0,99) 15, ,1 mm Svar: y ttt 44,1, y max ,8 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 45

46 ÖVNING 4 LÖSNING Material egenskaper Armering A s mm E s 00GGG Betong E cc 33GGG E cc E c,eee 1 + φ (.t0 ) α e Täckande betongskikt GGG 1 +,3 C40 mm c mm c / 101 mm c tp mm d h c tt mm Vid referenslinje x tt A I z A I x tt b h 0,5h + (α e 1) A s d bh + (α e 1) A s (0 1) (0 1) mm 0,33 m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 46

47 I I b h3 1 + bh x tp h + (α e 1) A s d x tp 0,35 0, ,35 0,6 (0,33 0,3) (0,537 0,33) 0,0076 m 4 Momentet ger följande maxpåkänningar Största betongtryckpåkänningen (i överkant) σ c,ö (z) M EE z ( 0,33) 3,47MMM I I 0,0076 Största betongdragpåkänningen (i underkant) σ c,u (z) M EE (h x I tt ) (0,600 0,33),84MMM I 0,0076 Största dragarmeringspåkänningen σ s α e M (d x I tt ) 0 (0,537 0,33) 43,6MMM I 0,0076 Svar:σ,ö (z) 3,47MMM, σ c,u (z),84mmm, σ s 43,6MMM FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 47

48 Betongplattor ÖVNING 43 LÖSNING Dimensionerande lastvärde i brottgränstillståndet Egentyngden G k 3,5 kn/m Nyttig last hotell Q k 3,0 kn/m ψ 0 0,7, γ 1 Väggarnas tjocklek 180 mm Säkerhetsklass 3 γ d 1,0 q Ed 1,35γ d G k + 1,5γ d ψ 0,1 Q k,1 + 1,5γ d i>1 ψ 0,i Q k,i q Ed 1,35 1 3,5 + 1,5 1 0,7 3,0 7,875kN/m q Ed 0,89 1,35γ d G k + 1,5γ d Q k,1 + 1,5γ d i>1 ψ 0,i Q k,i q Ed 0,89 1,35 1 3,5 + 1,5 1 3,0 8,71kN/m Välj q d 8,71 kn/m Effektiva höjderna vid stöd och fält är följande d aa d bb h C mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 48

49 d aa h C mm d bb h C mm Platta A b mm a mm a b ,5 < qq 8,705 13, kkk/m Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa A s,aa A s,bb Platta B m aa 7,9 0,9 d aa f yy 0,9 0, mm /m m aa 38,9 0,9 d aa f yy 0,9 0, mm /m m bb 35, 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m b mm a mm a b ,96 < qq 8,705 5,73 86 kkk/m Interpolering Elementfall 4 för 1,96 a s 470 1,96 1,9 a f ( )( 1,9 ) 168, b s (94 887) 0,6 909, FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 49

50 b f ( ) 0,6 553, Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa A s,bb A s,aa A s,bb Platta C m aa 13,44 0,9 d aa f yy 0,9 0, mm /m m bb 6 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m m aa 4,8 0,9 d aa f yy 0,9 0, mm /m m bb 15,8 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m b mm a mm a b ,63 < qq 8,705 4, kkk/m Interpolering Elementfall 4 för 1,63 a s 470 1,63 1,6 a f 16 + (03 16) ( 1,7 1,6 ) 1 b s (81 770) 0,3 78,6 b f (55 510) 0,3 514,5 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa m aa 9,17 0,9 d as f yy 0,9 0, mm /m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 50

51 A s,bb A s,aa A s,bb Platta D m bb 15,3 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m m aa 4,13 0,9 d aa f yy 0,9 0, ,3 mm /m m bb 10 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m b mm a mm a b , < qq 8,705 6,3 348 kkk/m Interpolering Elementfall 8 för 1, 1, 1, a s 43 + (44 43) 434 1,3 1, a f 10 + (196 10) 0, 07, b s ( ) 0, 466, b f 89 + (38 89) 0, 97 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm. A s,aa A s,bb A s,aa A s,bb m aa 15,1 0,9 d aa f yy 0,9 0, mm /m m bb 16, 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m m aa 7, 0,9 d aa f yy 0,9 0, mm /m m bb 10,34 0,9 d bb f yy 0,9 0, mm /m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 51

52 Platta a/b A 0,5 B 1,96 C 1,63 D 1, Riktning Momentendex Elementfall qb [kkk/m] α 11 4 Delmoment ααb [kkk/m] d m Armering A s mm /m s (A-B) 450 7, a f , b f 17 35, s (B-C,D) , a f 168 4, s (B-A) b f , s (C-D) 470 9, a f 1 4, , s (C-B) 78,6 15, b f 514, s (D-C) , a f 07, 7, s (D-B) 466, 16, b f 97 10, FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5

53 ÖVNING 44 Lastkombinationer Egentyngd G k,1 + 0,18 X 5 6,6 kn/m Nyttig last Q k 3,0 kn/m Ψ 0 0,7 Säkerhetsklass 3 γ d 1,0 q EE 1,35 1,0 6,6 + 1,5 1,0 0,7 3,0 1,06 kk/m eller q EE 0,89 1,35 1,0 6,6 + 1,5 1,0 3,0 1,43 kn/m Välj q Ed 1,43kN/m Platta A(fyrsidig upplagd platta) a mm b 4500 mm a b 11,44 > Långsträckt platta dela upp plattan i tre delplattor 4,5 qq q EE b 1,43 X 4,5 51,7 kkk/m Platta B (tresidig upplagd platta) a mm b 4500 mm a b 11,15 4,5,47 qb q Ed b 1,43 4,5 51,7 knm/m Platta C (tresidig upplagd platta) a 5000 mm b 4500 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 53

54 a b 5 4,5 1,1 qb q Ed b 1,43 4,5 51,7 knm/m Platta a/b Riktning Moment-endex Elementfall qb [kkk/m] α 11 4 Delmoment ααb [kkk/m] A(I`) A(II`) A(III`) B(I`) B(II`) C 1,1 a b b a b a b b a b f 163 4,1 s (A-B) 51, , f ,8 s (A-B) ,5 51,7 f ,7 f 163 4,1 s (A-B) 51, , f ,8 f 90,7 s(b-a,b-c) 13 51, ,4 f s(b-a,b-c) ,5 51,7 f ,7 s (C-D,C-B) 307 7,7 f 98, ,7 s (C-E) 5 13,13 f 90 7,3 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 54