Formelsamling i Hållfasthetslära för F

Transkript

1 Formelsamling i Hållfasthetslära för F Avd. för Hållfasthetslära Lunds Universitet Oktober 017

2 1 Spänningar τ σ Normalspänning: σ = spänningskomponent vinkelrät mot snittta Skjuvspänning: τ = spänningskomponent tangentiellt till snittta Spänningstillstånd i ett plan, vinkelrätt mot en huvudspänning σ σ τ τ τ τ σ σ τ τ ϕ τ(ϕ) π ϕ σ(ϕ) ϕ σ σ σ ϕ = σ cos ϕ+σ sin ϕ+τ sinϕcosϕ τ ϕ = σ σ sinϕ+τ cosϕ Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar σ α α 1 σ 1 σ 1 σ } = σ +σ ± (σ σ ) +τ σ 1 σ tanα 1 = σ 1 σ τ tanα = σ σ τ σ 1 +σ = σ +σ

3 Maimala skjuvspänningen i planet är (τ ma ) planet = σ 1 σ Maimala skjuvspänningen är ( σ1 σ τ ma = ma ; σ 1 ; σ ; ) Töjningar Normaltöjning: ε = relativ ländändring = L L o L o där L o =ursprunglig längd, L=n längd Skjuvtöjning: γ = minskning av ursprunglig rät vinkel (orsakad av deformation) Deformationstillståndet i ett plan, vinkelrätt mot en huvudspänningsriktning η ξ ϕ där ε ξ = ε cos ϕ+ε sin ϕ+γ sinϕcosϕ γ ξη = (ε ε )sinϕ+γ cosϕ ε är töjningen av ett linjeelement i -riktningen ε ε ξ är töjningen av ett linjeelement i -riktningen är töjningen av ett linjeelement i ξ-riktningen γ är skjuvningen av aelkorset, dvs. minskningen av den räta vinkeln mellan - och -riktningen γ ξη är skjuvningen av aelkorset ξη, dvs. minskningen av den räta vinkeln mellan ξ- och η-riktningen

4 3 Huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar ε α α 1 ε 1 ε 1 ε } = ε +ε tanα 1 = (ε 1 ε ) γ tanα = (ε ε ) γ (ε ) ε ± + ( γ ) ε 1 +ε = ε +ε Maimala skjuvningen i planet är (γ ma ) planet = ε 1 ε Samband mellan spänningar och töjningar Enalig belastning F A,E F σ = F A ε = σ E σ = σ = τ = τ = τ = 0 ε = ε = νε ; γ = γ = γ = 0 Termisk belastning ε T = α T Vridning För en roterande ael gäller M v = P ω

5 4 där M v är vridmomentet i en ael som överför effekten P vid vinkelhastigheten ω För maimal vridskjuvspänning τ vma gäller τ vma = M v W v W v är vridmotståndet (se tabell) För förvridningsvinkel ϕ mellan aelns ändtor gäller ϕ = M vl GK L är aellängden K är vridstvhetens tvärsnittsfaktor (se tabell) Tunnväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt med konstant väggtjocklek t Tvärsnitt W v K d πd t πd 3 t 4 Tjockväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt π(d 4 d 4 i ) π(d 4 d 4 i ) d i d 16d 3 Massivt cirkulärt tvärsnitt d πd 3 16 πd 4 3 Balkböjning Positiva definitioner på belastningsintensitet, tvärkraft och böjande moment. q w T För balkens totala belastning, positiv riktad uppåt, gäller = L 0 qd

6 5 Jämviktsdifferentialekvationerna för balken ges av dt d = q d d = T Böjspänningar (ingen normalkraft) e σ medellinje ρ neutralplane böjningsael tp Koordinatsstemet ligger sådant att -aeln går genom tvärsnittets tngdpunkt. σ = E ρ σ = I ρ är neutralplanets krökningsradie. I är ttröghetsmomentet kring -aeln. För maimal böjspänning σ b i ett snitt gäller σ b = W b W b är böjmotståndet För W b gäller W b = I e e = ma är största avståndet från neutralplanet till ttersta fibern

7 6 Tunnväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt med konstant väggtjocklek d Tvärsnitt I W b t πd 3 t πd t 8 4 Massivt cirkulärt tvärsnitt d πd 4 64 πd 3 3 Massivt rektangulärt tvärsnitt h b bh 3 1 bh 6 Allmänt om ttröghetsmoment tp Yttröghetsmomentet kring -ael I = da Yttröghetsmomentet kring -ael I = da Deviationsmomentet kring aelkorset D = da Steiners sats För ttrögetsmomenteti 1 kring en ael parallel med en ael genom tngdpunkten gäller a tp 1 I 1 = I +a A A är tvärsnittsarean a är avståndet mellan alarna.

8 7 För tröghetsradien i gäller I i = A Elastiska linjen För neutralplanets krökningsradie gäller ρ 1 ρ = EI där I är tvärsnitttans tröghetsmoment kring böjningsaeln. Elastiska linjens differentialekvation är EI d w d = Sammansatt belastning + = N + = N σ = N A σ = Mb I σ = N A + Mb I Balk utsatt för böjande moment och normalkraft σ = I + N A

9 8 Elementarfall för fritt upplagd balk 1.1 βp θ A 1. M/L M A θ A αl αl M P θ(α) βl βl αp θ B M/L θ B 1 1 θ A θ B θ A R A θ A θ B R B θ B M B θ A = PL 6EI αβ(1+β) = PL3 6EI β[(1 β )ξ ξ 3 ] för δ(α) = PL3 3EI α β θ A = ML 6EI (1 3β ) PL θb = 6EI αβ(1+α) ξ α θ B = ML 6EI (1 3α ) = ML 6EI [(1 3β )ξ ξ 3 ] för δ(α) = ML 3EI αβ(α β) θ A = θ B = L 4EI = L3 4EI (ξ ξ3 +ξ 4 ) δ( 1 ) = 5L3 384EI θ A = 7L 180EI θ B = 8L 180EI = L3 180EI (7ξ 10ξ3 +3ξ 5 ) MA MB R A = R B = L θ A = MAL 3EI + MBL 6EI ξ α ML θ(α) = 3EI (1 3αβ) θ B = MAL 6EI + MBL 3EI = L 6EI [MA(ξ 3ξ +ξ 3 )+M B(ξ ξ 3 )]

10 9 Elementarfall för konsolbalk.1 θ(ξ) αl P βl { = PL3 6EI [ β 3 +3β (1 ξ)] ξ α [(ξ α) 3 3β (ξ α)+β 3 ] ξ > α { θ(ξ) = PL EI β ξ α [β (ξ α) ] ξ > α..3 αl θ(ξ) θ(ξ) M βl { = ML EI β(1 ξ 1 β)] ξ α [(ξ α) β(ξ α)+β ] ξ > α { θ(ξ) = ML EI β ξ α (1 ξ) ξ > α = L3 4EI (ξ4 4ξ +3) θ(ξ) = L 6EI (1 ξ3 ).4.5 θ(ξ) = L3 60EI (ξ5 5ξ +4) θ(ξ) = L 1EI (1 ξ4 ) θ(ξ) = L3 60EI ( ξ5 +5ξ 4 15ξ +11) θ(ξ) = L 1EI (ξ4 4ξ 3 +3)

11 10 Materialtabeller Material E[GPa] ν[ ] ρ[kg/m 3 ] stål höglegerat rostfritt aluminium duraluminium koppar volfram magnesium Stålkvalitéer E[GPa] ν[ ] σ s [MPa] SS SS SS SS Elasticitetsmodulen för stål varierar mellan 180 och 40 GPa. Variationer beroende på materialets volm förekommer.