Rapport LUTFD2/TFHF-3090/1-17/(2013) Ledningar till övningsuppgifter i Teknisk mekanik

Transkript

1 Rapport LUTFD2/TFHF-3090/1-17/(2013) Ledningar till övningsuppgifter i Teknisk mekanik Håkan Hallberg Avd. för Hållfasthetslära Lunds Universitet December 2014

2 Kapitel Bilda först vektorn mellan punkterna A och B: r AB = r B r A. Normera, det vill säga dividera vektorn r AB med vektorns längd r AB, vilket ger enhetsvektorn ˆr AB = ˆF (där F = 2.5 kninförts för att beteckna kraftens belopp). Kraftvektorn ges nu genom att multiplicera kraftens belopp med enhetsvektorn i kraftens riktning: F = F ˆF =2.5 kn. 1.2 Dela upp de två krafterna i x- och y-komposanter. Addera sedan x-komposanterna för sig och y-komposanterna för sig. 1.3 Alternativ 1 : Dela upp kraften i två vinkelräta komposanter och multiplicera med respektive vinkelrät hävarm. Summera bidragen till momentet kring punkten c. Tänk på vilken riktning de två delmomenten har! Alternativ 2 : Bestäm direkt det vinkelräta avståndet mellan kraftens verkningslinje och punkten c. Detta är kraftens vinkelräta hävarm. Multiplicera kraften med hävarmens längd. OBS: Båda alternativen ger samma resultat! 1.4 Kraften som skall läggas i tyngdpunkten är resultanten till, det vill säga summan av, de fyra krafterna. Momentet är i sin tur summan av de fyra krafternas moment med avseende på tyngdpunkten. Tänk på riktningarna för respektive delmoment! 1.5 Teckna vektorn som utgör diagonalen i parallellepipeden: lägesvektorn för nedre, främre, hörnet minus lägesvektorn för övre, bakre, hörnet. Normera riktningsvektorn och multiplicera den resulterande enhetsvektorn med kraftens belopp. 1.6 Bestäm först riktnings(enhets)vektorn för kraften, ˆr BC = BC/ BC, och skriv kraften som en vektor på komposantform:f = F x ê x + F y ê y + F z ê z.bestäm därefter riktningsvektorn längs kranarmen: ˆr AB = AB/ AB. Linkraftens komposant i kranarmens riktning fås genom skalärmultiplikation mellan kraften och riktningsvektorn längs kranarmen. Komposanten vinkelrät mot kranarmen ges genom att utnyttja Pythagoras sats: F 2 n +F 2 v = F 2 F v = Teckna först kraften F som ligger i riktningen ˆr AB där r AB = r B r A.Tecknadärefter komposanten i färdriktningen ŝ som måste vara 90 N: F s = F ŝ = 90 N. Ur detta kan storleken på F bestämmas. 1

3 1.8 Momentet med avseende på punkten A är kryssprodukten mellan vektorn från momentpunkten till kraftens angreppspunkt och kraftvektorn själv. Teckna vektorn och kraften på komposantform och beräkna kryssprodukten Momentet med avseende på origo är kryssprodukten mellan vektorn mellan momentpunkten, origo, och kraftens angreppspunkt A samt kraftvektorn P som går i riktningen mellan punkterna A och B. Bestäm riktningsvektorn ˆr AB och skriv P på komposantform. Utför kryssprodukten. Det är momentets z-komponent som är 50 Nm (z-axeln sammanfaller med gångjärnsaxeln). Beloppet P av vektorn P kan nu lösas ut Alternativ 1 : Teckna två kryssprodukter och summera bidragen. Alternativ 2 : Tag en komposant i taget och utnyttja kraft gånger hävarm. Momentets storlek ges i båda lösningsalternativen med hjälp av Pythagoras sats. Kapitel Frilägg anordningen ABC. Inför (okända) krafter vid B och C, totalt 3 stycken. Ställ upp jämviktsekvationerna (3 stycken) och lös ut krafterna. Delsvar: Krafterna i punkten C är 20 N i horisontalled och 50 N i vertikalled. 2.2 Frilägg lådan och sätt ut krafterna, en normalkraft vid varje hjul och en kraft från mannens händer. Ställ upp tre jämviktsekvationer (tag lämpligen momentet kring lådans hörn där mannens händer är). Vi har nu tre obekanta krafter men också tre ekvationer som gör det möjligt att bestämma krafterna. 2.5 Bultsaxen består av fyra delar. Frilägg först den övre högra delen (handtaget). Sätt ut krafter på de ställen där delen skurits loss från resten av bultsaxen. Totalt två ställen och tre krafter. Ställ upp jämviktsekvationerna inklusive moment kring den vänstra leden. Frilägg övre vänstra delen och sätt ut samtliga krafter. Momentjämvikt kring leden som ligger på saxens symmetrilinje ger kraften. 2

4 2.7 Frilägg vagnen och sätt ut samtliga krafter. Notera att det är ett plant problem med tre obekanta: linkraften, massan och b. Ställ upp tre jämviktsekvationer, inklusive momentjämvikt kring tyngdpunkten, och lös ut b. 2.8 Kapa de båda linorna strax under taket och frilägg systemet som består av mannen stående på plankan, pressande mot stången. Sätt ut krafter där systemet skurits loss (i linorna) samt på grund av tyngdkraften. En jämviktsberäkning i vertikalled ger kraften i linorna. Frilägg stången och sätt ut krafterna som verkar på stången. Beräkna tryckkraften. 2.9 Frilägg locket inklusive hävarmen. Sätt ut krafterna: tyngdkraften, kraften i gångjärnet och kraften i linan. Ställ upp momentjämvikt kring gångjärnet och beräkna linkraften (=531 N). Frilägg trumman och beräkna vridmomentet M v Frilägg stenen och sättutkrafternas 1, S 2 och S 3 samt tyngdkraften. Notera att det är ett tredimensionellt problem. Skriv samtliga krafter på vektorform och utnyttja att linkrafternas riktningar är kända (bilda respektive riktningsvektor). Ställ upp jämviktsekvationer i x-, y- ochz-led och beräkna krafterna S 1, S 2 och S 3. Kapitel Spänningen ges av kraften dividerad med tvärsnittsarean. 3.2 Lägg en x-axelistångens längdriktning, det vill säga i kraftens riktning. Förlängningen ges av töjningen i x-led multiplicerad med ursprungslängden. Töjningen ges av Hookes lag (i x-led gäller σ x = Eε x )ochspänningen ges av kraften dividerad med tvärsnittsarean. Tvärkontraktionen ges med hjälp av Poissons tal ν. Delsvar: ε y = ε z = Rita ett diagram med kraften på den vertikala axeln och förlängningen på den horisontella axeln. Bestäm elasticitetsmodulen E genom att bestämma spänning och töjning för två punkter på den elastiska (linjära) delen av dragprovkurvan. Bestäm till sist ett medelvärde. 3

5 3.6 Förlängningen ges av töjningen multiplicerad med ursprungslängden. Töjningen ges av Hookes lag (spänningen dividerad med elasticitetsmodulen). Lös ut ursprunglig längd då den maximala spänningen är lika med halva sträckgränsen. 3.9 Frilägg halva wiren och sätt ut linkrafterna som verkar i ändarna av den halva wiren. Tänk på att wirekrafterna alltid är dragkrafter i wirens tangentriktning. Dela upp den wirekraft (vid infästningen) som inte är horisontell i en horisontell och en vertikal komposant. Sätt ut tyngdkraften. Med hjälp av tre jämviktsekvationer kan de båda linkrafterna bestämmas. Stålets sträckgräns är σ s = 600 N/mm 2 och med säkerhetsfaktorn n = 5 blir den tillåtna spänningen 120 N/mm 2.Använd den största linkraften för att bestämma den minsta tillåtna tvärsnittsarea på wiren Ställ de tre pelarna ovanpå varandra. Den översta pelaren belastas med kraften F,nästa med 2F och den understa med 3F.Beräkna kompressionen av varje pelare och addera resultaten. Kapitel Skjuvspänningen är kraften dividerad med den spänningsupptagande ytan, det vill säga fogytan. 4.2 Tänk på hur många skjuvytor som kraften överförs genom (två skruvar med två skjuvytor vardera) och beräkna skjuvspänningen. Maximalt tillåten skjuvspänning är τ s dividerad med säkerhetsfaktorn. Detta ger den tillåtna kraften. 4.3 Vid stansning skjuvas hålet ut (tänk hålslagare för papper). Arean som tryckkraften fördelas över är hålets cylindriska inneryta. 4.5 Varje sprint tar upp spänning i två skjuvytor. Vridmomentet som skall tas upp av en sprint blir då två gången skjuvspänningen som en sprint bär multiplicerad med sprintens tvärsnittsarea (detta ger kraften) och sedan multiplicerad med halva handtagsdiametern (detta ger hävarmen). Kraft gånger hävarm ger moment. 4

6 Kapitel Beräkna töjningarna i x-, y- ochz-led: ε x = , ε y = och ε z = Beräkna därefter spänningarna i x-, y- ochz-led med hjälp av Hookes generaliserade lag: σ x = 43.4 N/mm 2, σ y = 240 N/mm 2 och σ z = 162 N/mm 2. Multiplicera därefter spänningarna med respektive area för att få lasterna (krafterna). 5.3 Plan spänning råder eftersom vi betraktar en fri yta. Materialdata för duraluminium: G = N/mm 2, E = N/mm 2 och ν =0.32. Bestäm töjningarna med hjälp av Hookes generaliserade lag. 5.5 σ x =50N/mm 2 medan σ y =0ochτ xy = 0 eftersom vi har enaxlig belastning. Med ϕ =20 ges σ ξ = σ ϕ=20 =44N/mm 2 och τ ξη = τ ϕ=20 = 16 N/mm 2, se figur. Multiplicera spänningarna med respektive area för att få lasterna (krafterna). σ y σ η τ ξη τ xy ϕ +90 ϕ σ ξ σ x σ x τ xy σ y σ ξ τ ξη σ η 5.6 Plan spänning råder. Hookes generaliserade lag ger: σ x = 162 N/mm 2 och σ y = 90 N/mm 2. Transformera spänningarna med ϕ =45 vilket ger σ ξ och τ ξη samt med ϕ = = 135 vilket ger σ η, se figur i ledningen till uppgift Utnyttja uttrycken för huvudspänningar i den kompletterande formelsamlingen vilket ger huvudspänningarna σ 1 och σ 2 samt huvudspänningsriktningarna α 1 och α 2. Maximala skjuvspänningen fås från motsvarande uttryck i den kompletterande formelsamlingen. 5

7 5.17 Materialdata för rostfritt stål: E = 220 N/mm 2 och ν =0.3. Med ε 45 kan γ xy bestämmas ur ε ϕ = ε 45.Därefter bestäms huvudtöjningarna ε 1 och ε 2 med hjälp av motsvarande formel i den kompletterande formelsamlingen. Huvudspänningarna ges av Hookes lag: σ 1 = E (ε 1 ν νε 2 ) = 280 N/mm 2 och σ 2 =... = 223 N/mm 2. Kapitel Plan spänning råder. Använd uttryck i den kompletterande formelsamlingen för att beräkna effektivspänningen enligt von Mises då σ x = σ y =0ochτ xy = 100 N/mm 2.Effektivspänningen enligt Trescas hypotes kan bestämmas när huvudspänningarna bestämts: σ 1 = 100 N/mm 2 och σ 2 = 100 N/mm Plan spänning råder. Bestäm effektivspänningen enligt von Mises: σ e,mises = 434 N/mm 2. Bestäm sedan n. Kapitel Dela upp paraplyet i tre delar: en halvcirkelbåge, en rak del och en kon. Bestäm tyngdpunktens läge i respektive del i ett x-/y-koordinatsystem och addera resultaten till hela paraplyets tyngdpunkt enligt uttryck 7.7 i läroboken (se även den kompletterande formelsamlingen). Jämför även med exempel 7.1 i läroboken. 7.2 Dela upp 5:an i två raka delar, en halvcirkulär skiva med radien 45 mm och ett halvcirkulärt hål med radien 30 mm. Se även exempel 7.1 i läroboken. 7.3 Dela upp markisen i tre delar: 2 kvartscirkelskivor med radien R ochenskivamedlängden L och bredden 2Rπ/4 =πr/2 (enfjärdedel av mantelytan hos en cylinder med radien R och längden L). Bestäm tyngdpunktens läge i respektive del och lägg samman resultaten för att få den gemensamma tyngdpunkten med hjälp av ekvation 7.9 i läroboken. Se även den kompletterande formelsamlingen. 6

8 7.5 Frilägg armen ACB inklusive massan m. Kraftenpå kolven vid punkten C är trycket multiplicerat med kolvens tvärsnittsarea. Massan m kan nu beräknas genom en momentjämvikt kring punkten A Frilägg bojen inklusive tyngden m 1.Sätt ut tyngdkraften och lyftkraften på röret och på tyngden. Tänk på attm = ρv när respektive lyftkraft formuleras, se även den kompletterande formelsamlingen. Massan m 1 kan nu beräknas ur en vertikal jämvikt för systemet Frilägg isflaket inklusive mannen. Sätt ut tyngdkrafter och lyftkraften. Tänk på att lyftkraftens storlek beror på hur mycket av isflaket som ligger under vattenytan. Inför x för att beteckna isflakets höjd ovanför vattenytan. Ställ upp en vertikal jämvikt för systemet och använd x = 0 respektive x =0.005 m för att bestämma isflakets area. Kapitel Frilägg lådan och ställ upp två jämviktekvationer: en parallellt med det lutande planet och en normalt mot planet. a) Sätt F = μ s N.b)Nuär tan ϕ = tan 15 =0.27 > Lådan glider och μ = μ k samt F = μ k N.c)P = 50 N. Antag att lådan är i vila och kontrollera antagandet. d) P = 200 N. Antag att lådan är i vila och kontrollera antagandet. 8.2 Frilägg väskan och notera att friktion mot underlaget endast uppträder vid klacken, inte vid hjulet. Ställ upp jämviktsekvationer parallellt med, och normalt mot, det lutande planet. Ställ upp momentjämvikt, exempelvis runt klacken. Kontrollera gränsläget då F = μ k N. 8.3 Frilägg cementplattan. Ställ upp jämviktsevationer, inklusive momentjämvikt, kring cementplattans tyngdpunkt. Frilägg högra halvan av lyftanordningen och ställ upp momentet kring leden i punkten A. Bestäm friktionskoefficienten. 8.4 Frilägg bilen och bestäm i vilken vinkel normalkraften är riktad mot framhjulet. Använd läget då framhjulet precis lyfter från den horisontella ytan och normalkraften endast utgår från trottoarkantens hörn. Ställ upp jämviktekvationen i horisontalled som innehåller friktionskraften F och normalkraften N mot framhjulet som okända kvantiteter. Undersök gränsläget då F = μ s N och bestäm μ s. 7

9 8.7 Frilägg tunnan och spettet var för sig. Tänk på riktningen hos friktionskrafterna: friktionen motverkar rörelsen. Normalkrafterna är vinkelräta mot respektive kontaktyta. Ställ upp tre jämviktsekvationer kring tunnans centrum. För spettet räcker det med en momentjämvikt kring punkten där spettet är i kontakt med underlaget. 8.8 Antag först att den översta lådan börjar glida. Frilägg översta lådan och ställ upp jämviktsekvationerna (tre stycken). Kontrollera att normalkraften ligger innanför lådans hörn. Är detta uppfyllt kommer lådan att glida och inte tippa. Villkoret är uppfyllt om mannen trycker med en kraft P 1 = 314 N. Antag härnäst att hela stapeln tippar. Ställ upp jämviktsekvationer för hela stapeln (tre stycken) och kontrollera att friktionskraften F<μ 2 N. Detta är uppfyllt och stapeln tippar vid kraften P 2 = 283 N. Efterson P 2 <P 1 kommer lådstapeln att i första hand välta då kraftenökar från noll Frilägg kilarna tillsammans och ställ upp en jämviktekvation i vertikalled. Normalkraften mot underlaget kan bestämmas till 1500 N. Frilägg endast den undre kilen och ställ upp jämviktsekvationer i vertikalled och i horisontalled. Friktionskraften mot underlaget är 300 N och normalkraften mellan kilarna är 1559 N. Från ekvationerna kan kraften P lösas ut. Kapitel Antag d>63 mm, då ger materialdata för SS flytspänningen σ s = 240 N/mm 2. Bestäm effektivspänningen enligt Trescas hypotes (se den kompletterande formelsamlingen) och använd säkerhetsfaktorn n = 2. Tillåten vridskjuvspänning blir då: τ v = σ s /(2n). Notera att vridmomentet ges av M v = P/ω,där P = 330 kw är effekten och ω är varvtalet (i rad/s, notera enhetsomvandlingen). Bestäm lämplig axeldiameter från vridmotståndet W v genom att utnyttja τ v = M v /W v. 9.5 För materialet SS ges flytspänningen σ s = 220 N/mm 2. Enligt Tresca gäller τ s = σ s /2 = 110 N/mm 2. Bestäm W v och K för axel respektive rör. Eftersom båda skall deformeras lika för samma vridmoment ges relationen K axel = K ror ur vilken tjockleken t kan bestämmas. Rörets sträckgräns kan bestämmas via τ s,ror = 148N/mm 2 och σ s,ror =2τ s,ror = 296 N/mm 2. 8

10 9.9 Ren vridning råder varigenom spänningskomponenterna ges som σ x = σ y =0ochτ xy = τ v samt töjningskomponenterna som ε x = ε y =0ochγ xy = τ v /G. För koppar ges G = N/mm 2. Huvudtöjningarna ges av ε 1,2 = ±γ xy /2 vilket ger γ xy = ε 1 ε 2 = Nu kan först τ v beräknas, sedan M v och till sist ϕ. Kom ihåg att förvridningen ϕ räknas i radianer och att en enhetsomvandling till grader kan krävas För materialet SS ges sträckgränsen σ s = 1300 N/mm 2.Förvridningsvinkeln ges av ϕ = M v L/(GK) medfjäderkonstanten k = M v /ϕ = GK/L. MedM v,max = kϕ max (ϕ max =30 )ochτ v,max = M v,max /W v ges τ v,max = kϕ max /W v. Deviationsarbetshypotesen ger effektivspänningen σ e = τ v,max 3ochmedsäkerhetsfaktorn n =1.1 erhålls τv,max = σ s /(n 3) = 682 N/mm 2. W v = 207 mm 3 beräknas med hjälp av den kompletterande formelsamlingen varigenom a kan bestämmas. Från k = GK/L ges L För det slutna tvärsnittet gäller: W v,s =2a 2 t.för det öppna tvärsnittet gäller W v,o = 4at 2 / Beräkna vridmotståndet för axeln: W v,a = 8418 mm 3 och för hålprofilen: W v,h = 8a 2. Belastningen, det vill säga vridmomentet, är lika för båda tvärsnitten. Villkoret om samma maximala vridskjuvspänning ger då W v,a = W v,h varur a kan bestämmas. Viktminskningen per meter ges genom att jämföra tvärsnittsareorna. Kapitel Beräkna Alshammars medelhastighet och anta att hon håller denna hastighet genom hela loppet Rita ett diagram med hastigheten i vertikalled, v y,på y-axeln och tiden t påx-axeln.börja vid origo och rita in hur hastigheten varierar med tiden. Tänk på att: En positiv, konstant, acceleration ger en linjärt ökande hastighet. Då raketen når sin högsta position H har hastigheten först ökat och sedan minskat till noll. Det vill säga arean under kurvan motsvarar H. Lutningen på hastighetskurvan då hastigheten minskar är g. 9

11 10.3 Sträckan som raketen tar sig uppåt är densamma som sträckan tillbaka ned. Utnyttja att a = dv = dv ds = v dv dv.beräkna dt ds dt ds ds accelerationen ges då s = där v(s) är det givna uttrycket. Den initiella Rita diagram över hastighetens variation i x-led respektive y-led som funktioner av tiden. I x-led rör sig bilen sträckan L och i y-led lika långt upp som ned. Accelerationen i y- led är g. Eftersom luftmotståndet kan försummas är hastigheten i x-led konstant och accelerationen i x-led är därför noll Komposantuppdela hastigheten i en horisontaldel v x = v 0 cos α och en vertikaldel v y = v 0 sin α + gt där t är tiden. Integrera uttrycken över tid och notera att snön rör sig x = L i horisontalled och y = H i vertikalled under totaltiden T =1.17 s. Beräkna L Ställ upp uttryck för accelerationen i normalled a n och i tangentialled a θ.beräkna radien r = R cos (55.7 )från jordaxeln till Lund, där R är den givna jordmedelradien. Eftersom jordaxeln betraktas som fix i rymden är a t =0.Beräkna den totala accelerationen genom att beräkna a n Betrakta den tangentiella accelerationen a t och utnyttja sambandet a t = dv v dt v A dv = t a 0 tdt för att bestämma v som en funktion av tiden t. Hastigheten i punkten A betecknas här v A. Utnyttja att v = ds s ds = t v(t)dt s(t) ochbestäm hur lång tid det krävs dt 0 0 innan bilen når position B (=5.05 s). Bestäm bilens hastighet i punkten B: v B =9.91 m/s. Beräkna bilens normal- och tangentialacceleration i punkten B. Totala accelerationen ges med hjälp av Pythagoras sats Utnyttja polära koordinater och hastighetsvektorn v = ṙê r + r θê θ.medbåde ṙ och θ givna kan v beräknas. Accelerationsvektorn ges av: a =( r r θ 2 )ê r +(2ṙ θ + r θ)ê θ. Total acceleration, respektive total hastighet, ges med hjälp av Pythagoras sats Teckna utgångshastigheten i horisontalled och ställ upp ett uttryck för sträckan s i horisontalled som funktion av tiden: s(t) =v 0 cos αt + r cos θ. Bestäm v 0 vid tiden t =0.5 s. 10

12 Kapitel Frilägg loket för sig och alla vagnarna tilsammans som en kropp. Skissa kinematikfigurer för loket respektive för vagnarna. Ställ upp rörelseekvationerna för loket och för vagnarna, var för sig. Antag fullt utbildad friktion mellan hjulen och rälsen. Bestäm vagnarnas sammanlagda massa och dividera med 15 ton för att beräkna maximala antalet vagnar (avrunda nedåt till närmaste heltal) Friläggapan på väg upp för repet och massan på väg upp, var för sig. Rita kinematikfigur för respektive friläggningsfigur. Ställ upp rörelseekvationerna för apan, respektive för massan. Använd apans kända acceleration (0.5 m/s 2 )ochbestäm kraften i repet (=113.4 N). Bestäm massans acceleration (=1.53 m/s 2 ). Bestäm apans hastighet (v apa =1.5 m/s) och massans hastighet (v massa =4.59 m/s). Apans hastighet relativt repet ges av v apa v massa Frilägg kartongen och rita även en kinematikfigur. Notera att under tågets retardation är kartongens acceleration riktad framåt, i tågets färdriktning. Ställ upp rörelseekvationer och antag fullt utbildad friktion: F = μ s N.Bestäm den maximalt tillåtna retardationen Frilägg skidåkaren och rita även en kinematikbild. Glöm inte tryckkrafterna i stavarna i friläggningen. Ställ upp rörelseekvationerna parallellt med det lutande planet och normalt mot det. Antag att friktionskraften är F = μ k N mellan skidorna och snön. Ur rörelseekvationerna kan nu normalkraften mot skidorna, N = N och friktionskraften, F = 73.5 N,lösas ut. Bestäm till sist accelerationen Frilägg bilen och rita en kinematikfigur. Använd lämpligtvis n-/t-koordinater. Ställ upp rörelsekvationerna i n- ocht-riktningarna. Notera att konstant fart innebär att tangentialaccelerationen är noll. utnyttja att normalaccelerationen ges av a n = v 2 /ρ och bestäm vägbanans krökning ρ Frilägg bilen respektive plånboken, var för sig. Rita kinematikfigur (notera att kinematikfiguren blir densamma för bil och plånbok). Använd lämpligen n-/t-koordinater där hänsyn även tas till den vertikala koordinatriktningen. Ställ upp rörelseekvationen för bilen i tangentriktningen och för plånboken i alla tre koordinatriktningarna. Tänk på att 11

13 friktionskraften mellan plånboken och bilens tak har komposanter i både normal- och tangentriktningen. Delresultat: a t = 1.25 m/s 2 och a n =1.51 m/s Frilägg satelliten och rita en kinematikfigur. Använd lämpligtvis n-/t-koordinater. Tänk på att tangentriktningen sammanfaller med hastighetsvektorns riktning och att jordens dragningskraft är riktad =10 från normalriktningen. Utnyttja definitionerna a t = v och a n = v 2 /ρ för att bestämma fartändringen och bankurvans krökningsradie ρ Frilägg accelerometern och rita en kinematikfigur. Utnyttja Cartesiska koordinater eftersom krafterna är givna som x-, y- ochz-komposanter. Eftersom a z =0skerrörelsen endast i horisontalplanet. Utnyttja att a x = dv (där x sammanfaller med tangentriktningen och där dt a x är fartändningen) och a y = a n. Kapitel Betrakta skopan i två lägen: dels rakt ned och dels i skopans vändläge. Ingen energi tillförs mellan dessa två lägen och energiprincipen kan utnyttjas för att jämföra lägesenergi och potentiell energi mellan de två lägena Alternativ 1 :Frilägg pennan och rita kinematikbild. Ställ upp rörelseekvationer parallellt med det lutande planet och normalt mot det. Sök gränsläget då friktionskraften ges av F = μn där μ =0.3 är givet. Bestäm om pennan når bänkkanten genom att bestämma var pennans hastighet är noll. Rörelsesträckan blir 0.11 m. Alternativ 2 : Utnyttja energiprincipen och tag hänsyn till friktionsarbetet som utförs medan pennan glider längs bänken. Detta möjliggör beräkning av glidsträckan Låt läge 1 beteckna startläget och läge två positionen högst upp i loopen. Frilägg vagnen och rita en kinematikbild då vagnen befinner sig läge 2. Detta gör att hastigheten i läge 2 kan uttryckas: v 2 2 =5/2gR. Utnyttja energiprincipen mellan läge1och2medhänsyn tagen till bromsarbetet som utförs längs sträckan s för att beräkna den maximalt tillåtna bromskraften Frilägg lådan och ställ upp jämviktsuttryck i vertikalled. Lådan står stilla sålänge P μ s N är uppfyllt. Bestäm hur lång tid det tar innan lådan börjar röra sig (=2.45 s). Därefter 12

14 ges friktionskraften av F = μ k N = N. Utnyttja nu impulslagen för att beräkna hastigheten vid tiden t =6s Frilägg kärran med mjölsäcken ovanför i en figur. Ställ upp impulslagen i horisontal- och vertikalled. Låt läge 1 vara precis innan säcken har landat på kärran och läge 2 efter 0.1 s. Tänk på att inga krafter verkar i horisontalled under denna tid medan tyngdkraft och normalkraft verkar i vertikalled. Delresultat: Hastigheten i läge 2 är v 2 =0.4 m/s Ställ upp imuplslagen genom att jämföra lägena före och efter det att kanonen avfyrats. Notera att kanon och kula rör sig åt olika håll Inga yttre krafter verkar på vagnarna, det vill säga rörelsemängden är konstant. Uttryck rörelsemängden innan och efter krocken. Var noga med riktningar och tecken! Utnyttja definitionen av studskoefficienten för att beräkna vagnarnas hastigheter (och rörelseriktningar) efter krocken Under stöten gäller det att rörelsemängden är bevarad och definitionen av studskoefficienten ger hastigheten u 1 förbil1,efterstöten, som u 1 =22/70v 0 samt för bil 2: u 2 =3.6/7v 0. Efter stöten gäller energiprincipen, med hänsyn tagen till friktionen mot underlaget, för respektive bil vilket gör att rörelsesträckorna s 1 och s 2 för bilarna kan beräknas. Utnyttja att s 2 s 1 =1.5 mär givet i uppgiften. Med given stötkoefficient kan v 0 beräknas. Kapitel Frilägg balken och beräkna stödreaktionerna, det vill säga krafterna i stöden, genom att studera vertikal jämvikt och momentjämvikt (stödkrafterna blir 4 kn respektive 8 kn). Gör ett snitt mitt i balken och betrakta vänstra balkhalvan. Ställ upp en jämviktsekvation i vertikalled och en momentjämvikt kring snittpunkten Frilägg först hela balken och utnyttja jämviktsekvationer för att bestämma stödkrafterna (5 kn respektive 1 kn). Lägg en x-koordinat längs med balken och gör tre snitt: ett för 0 <x<1 m,ett för 1 <x<2 m och ett för 2 <x<3 m.ställ upp jämviktsekvationer i respektive snitt och rita sedan T- och M-diagram. Notera att diagrammen i detta fall även kan ritas direkt, så snartstödkrafterna bestämts. 13

15 13.4 Använd motsvarande metod som i uppgift 13.3 med ett snitt för 0 <x<600 mm och ett för 600 <x<1200 mm. Glöm inte reaktionsmomentet i den fasta inspänningen i väggen. Notera att T- och M-diagrammen även kan ritas direkt utan att först beräkna snittjämvikter Last per längdenhet ges av q = Q/(5L). Frilägg först hela balken och beräkna stödkrafterna (5Q/8 respektive 3Q/8). Gör ett snitt för 0 <x<4l och ett för 4L <x<5l och ställ upp snittjämvikter Materialdata för rostfritt stål SS ger: σ s = 1050 N/mm 2, E = N/mm 2. Med säkerhetsfaktorn n =1.5 blir den maximalt tillåtna spänningen σ max = σ s /n. Vid böjning gäller σ = Ez/ρ varifrån krökningsradien ρ kan bestämmas då σ σ max Maximalt moment ges från uppgift För balk HE120A gäller W b = W x = mm 3 då balken utnyttjas på bästa sätt, se figur. För materialet SS1412 ges σ s = 260 N/mm 2. Säkerhetsfaktorn n ges genom att jämföra flytspänningen σ s med den maximala böjspänningen σ b,max och beräkna n = σ s /σ b,max. y x Frilägg balken och ställ upp momentjämvikt för att få böjmomentets variation: M b (x) = Fx,där koordinaten x utgår från balkens fria ände. Ställ upp ett uttryck för hur balkens bredd b varierar med koordinaten x: b(x) = Bx/L. Bestäm böjmotståndet W b (x) och beräkna böjspänningen σ b (x) =M b (x)/w b (x). Notera att böjspänningen blir oberoende av koordinaten x! Beräkna böjspänningen. 14

16 13.20 Frilägg varje planka för sig. Gör snitt och beräkna snittmoment för att sedan kunna beräkna och jämföra böjspänningar Given last och geometri innebär att produkten EI y kan jämföras för de båda balkarna eftersom ρ = EI y /M b.beräkna (EI y ) Al /(EI y ) ek Dela upp problemet i två elementarfall: fall 5 och fall 6. Summera nedböjningarna mitt på balken från respektive elementarfall och beräkna I y = mm 4.Välj lämplig balk Gör snitt och ställ upp snittjämvikter. Rita momentdiagram och bestäm maxmomentet för de båda lastfallen. I fall a) bestäms nedböjningen med elementarfall 5 och β =1/ Från uppgift 8 ges att snittmomentet vid det högra stödet är QL/10. Gör ett snitt vid högra stödet och analysera den vänstra balkdelen genom att kombinera elementarfallen 6 och 8. Addera elementarfallens bidrag till nedböjningen mitt på den vänstra balkdelen. Tänk på att utböjningen räknas som positiv nedåt! Kapitel Frilägg balken och ställ upp jämviktsekvationer för att beräkna stödkrafterna. Använd exempelvis snittmetoden för att beräkna hur böjmomentet varierar i balken och bestäm det maximala böjande momentet. Beräkna den totala normalspänningen i det mest utsatta snittet. Kontrollera spänningarnai snittet både vid balkens ovansida och vid dess undersida. Kapitel Beräkna först vinkelhastigheten genom att utnyttja att remhastigheten kring den lilla skivan är känd: v = rω =10s 1.Beräkna sedan vinkelaccelerationen genom att utnyttja att den tangentiella accelerationen för den stora skivan är känd: α = a 2 /R =75s 2. Totala accelerationen i punkten A ges med hjälp av Pythagoras sats. 15

17 15.5 Utgå från kinematikskisser för ett bilhjul enligt figur. Hastighet Acceleration v = + a 2 a a Rω 2 ω,α ω a 1 =0 a Rα Kapitel Frilägg mannen och rita en kinematikfigur (ren translation). Ställ upp rörelseekvationerna i vertikalled, horisontalled och kring tyngdpunkten. Sök gränsläget precis då kraften mot mannens händer är noll Frilägg lådan och rita en kinematikfigur (ren translation). I friläggningsfiguren sätts normalkraften mot lådans botten en bit x från mitten vid B/2. Ställ upp rörelseekvationerna för lådan i vertikalled, horisontalled och kring tyngdpunkten. Kontrollera två fall: 1) Lådan tippar, visa att F<μ s N, x = B/2. Men F>μ s N, alltså var antagandet fel. Fall 2): Lådan glider, visa att för x<b/2så är F = μ s N vilket ger x =0.455 m < 0.5 m. Antagandet är korrekt. Beräkna normalkraften N = mg och därefter accelerationen a Frilägg röret och rita en kinematikfigur (ren translation). Ställ upp rörelseekvationerna i vertikalled, horisontalled och kring tyngdpunkten. Accelerationen av rörets tyngdpunkt kan beräknas som 0.75g. Med känd acceleration kan bromssträckan s beräknas enligt figur. v v 0 s Lutning: 0.75g T t 16

18 16.7 Frilägg plankan och rita kinematikfigur (rotation kring fix punkt: båtens akter, plankans ände). Plankans tröghetsmoment är J = ml 3 /3. Precis då rotationen börjar är vinkelhastigheten ω = 0.Ställ upp momentekvation kring plankans vänstra ände och utnytja normal-/tangentkoordinater i plankans fria ände för att beräkna accelerationskomponenterna: a n =0ocha t =3/2g cos ϕ. Beräkna den vertikala accelerationen. ω ϕ a n a t 17