P R O B L E M

Transkript

1 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Dimensioneringmetoder, TMHL09, kl 8-12 P R O B L E M med L Ö S N I N G A R Del 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Ange skillnaden mellan en stång och en balk, d v s, ange vad som är utmärkande för en stång och vad som är utmärkande för en balk. LÖSNING OCH SVAR HÄR: En stång belastas enbart i sin längdriktning, vilket betyder att den bara bär en axialkraft; stången förblir rak under belastningen (gäller om axialkraften inte når upp till knäcklasten). En balk belastas vinkelrätt mot längdriktningen, vilket betyder att den som snittstorheter får både en tvärkraft och ett böjmoment (och kan även belatas med en axialkraft); balken böjer ut. 2. Vad är en sträva? Lösning: En sträva (även kallad pelare) är en balk balastad med en axiell tryckkraft. Strävan kan böjknäcka om tryckkraften blir för stor, d v s om tryckkraften uppnår knäcklasten (kritisk last). 3. Linus har gjort FEM-beräkningar av spänningarna i en detalj och han har funnit följande spänningar i en punkt av materialet (den punkt där spänningarna är som högst): σ ij = MPa För denna detalj hade Linus tänkt använda ett material med sträckgräns σ s = 270 MPa. Är det ett bra materialval om plasticering ska undvikas? Motivera svaret. Om ditt svar är att plasticering ej sker, vilken säkerhet (säkerhetsfaktor) mot plasticering får Linus? Lösning: Tresca ger effektivspänningen σ e = = 200 MPa (och von Mises ger 173 MPa). Eftersom sträckgränsen är σ s = 270 MPa kommer materialet ej att plasticera. Säkerhetsfaktorn mot plasticering blir 270/200 = 1,35 (1,56 enlgt von Mises). 7

2 4. Rita upp ett Haigh-diagram, reducera det och förklara dess användning. Lösning: Haigh-diagrammet anger hur utmattningsgränsen a varierar med spänningens medelvärde. u Utmattningsgränsen reduceras med avseende på ytfinhet, materaivolym mm. Spänningens medelvärde och amplitud (vid den punkt i m materialet som har högst spänning, d v s hänsyn up s B tas till eventuell spänningskoncentration) läggs in som en punkt i diagrammet. Om punkten hamnar under den reducerade linjen förväntas ej utmattningbrott (eller brott med liten sannolikhet). Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /TD 5. En tunn cirkulär skiva (radie R, tjocklek t, R materialparametrar E och ν) utsätts för ett tryck p t p p på skivans sidor, se figur. Den cirkulära ytterranden är fri. Hur mycket ökar skivans radie på grund av trycket? Lösning: Endast en spänningskomponent förekommer: σ z = p Töjningen i r-led blir ε r = 1 E {σ ν(σ +σ)} = 1 νp r φ z { ν( p)} = E E Radieändringen blir ΔR =ε r R = νpr E vilket är den efterfrågade radieökningen. 8

3 M v 2D, 2L D, L r M v 2D, 2L D, L r Axelns förvridning Θ blir Men Θ = 0, vilket ger M 2 6. En cirkulärcylindrisk axel (mått enligt figur) belastas vid sektionsövergången med ett vridande moment M v = M 0 sinωt (således ett växlande moment). Vilken utmattningsgräns (vid skjuvning) måste materialet minst ha för att säkerheten mot utmattning ska vara (minst) 2. Endast sektionsövergången behöver undersökas. Anvisningsfaktorn K f = K t får användas. Reduktion av utmattningsdata ska göras. Axeln är slipad, materialet har brottgränsen 900 MPa och axeln är tagen från ett ämne med diameter 40 mm. Övriga data: D = 15 mm, r = 3 mm, L =40 mm, M 0 = 150 Nm. Lösning: Problemet är statiskt obestämt. Ta bort högra stödet och lägg in ett vridande moment M 2 där, se figur. Θ=Θ 1 +Θ 2 = (M v + M 2 ) 2L 2 + M 2L 32 G πd 4 G πd 4 (M v + M 2 ) 2L 2 + M 2L 32 G πd 4 G πd = 0 som ger M 4 2 = M v 9 Nominell spänning i del 2 (nominell skjuvspänning): τ= M 2 = M v 16 W v2 9 πd 3 Spänningskoncentration: "D/d" = 2 och r/d = 3/15 ger K t = 1,3 = K f Spänningsamplituden blir således τ=1, 3 M = 1, 3 = 32, 7 MPa πd 9 π 0, 015 Med säkerhetsfaktorn 2 ska således materialet ha den reducerade utmattningsgränsen 2 32,7 65,4 MPa i skjuvning. Reduktionsfaktorerna blir κ = 0,88, λ = 0,91 och δ =1(K f > 1 används). Den oreducerade utmattningsgränsen måste således minst vara 65,4/(0,88 0,91) = 82 MPa. 9

4 L, GK J M v ( t) R M v ( t) M axel 7. En masslös axel (L, GK) bär ett svänghjul (radie R, masströghetsmoment J). Svänghjulet utsätts för ett vridande moment M v = M 0 sin Ωt, se figur. Bestäm vridmomentet i axeln om excitationsfrekvensen Ω är 85% av systemets egenvinkelfrekvens. Lösning: Studera axeln och svänghjulet var för sig. Snitta och för in snittmomentet M axel mellan axel och svänghjul. För också in svänghjulets rotationsvinkel ϕ, där vinkeln ϕ definieras positiv åt samma håll som momentet M axel verkar på axeln. Rörelseekvationen för svänghjulet blir ( φ = ϕ) J φ=m v (t) M axel F d R (1) Moment-deformationssambandet för axeln lyder φ= M axel L (2) GK Eliminera momentet M axel ur ekvationerna (1) och (2). Det ger differentialekvationen J φ+ GK L φ=m v(t)=m 0 sin Ωt (3a) Man noterar att denna ekvation kan skrivas på formen φ+ GK JL φ=m 0 sin Ωt J (3b) och med (den odämpade) egenvinkelfrekvensen ω 0 = GK /JL införd erhålls differentialekvationen på standardformen φ+ω 2 0 φ= M 0 sin Ωt J (3c) Ansätt lösningen φ = A sin Ωt och för in i (3c). Det ger varur löses Ekvation (2) ger momentet i axeln: M axel = φ GK = AGK L L = ( Ω 2 +ω 0 2 ) A sin Ωt = M 0 J A = sin Ωt = GK LJ 1 M 0 ( Ω 2 +ω 2 0 ) J sin Ωt (4) 1 ( Ω 2 +ω 0 2 ) M 0 sin Ωt 1 (1 0, 85 2 ) M 0 sin Ωt = 3, 6M 0 sin Ωt (6) (5) 10

5 TENTAMEN i Hållfasthetslära, TMHL09, , kl Detta tal ska lösas med Finit Elementmetod (FEM). En rak 3L lång horisontell balk är momentfast inspänd i båda ändar. Vid x = 2L angriper en given vertikal kraft F, se figur. (a) Bestäm (använd FEM) balkens utböjning v och vinkel (lutning) θ vid lastangreppspunkten x = 2L. (b) Kontrollera resultatet genom att lösa problemet med hjälp av elementarfall. Lösning: Gör elementindelning och inför knutförskjutningar enligt figur. Man får F 2 L, EI L x v 1 v 2 v 3 3 x α L = v 2 θ 2 Bilda elementstyvhetsmatriserna 96 48L K e 1 = EI K e 8L L 2 = EI 32L 2 8L 3 sym 16L 2 sym Assemblering ger EI L v 2 = F 8L 3 36L 48L 2 θ 2 0 Lösning ger v 2 θ = 2FL EI 3/L (b) Kontrollera resultaten med elementarfall. Man får (här hämtat från KTH:s formelsamling) δ= (3L)3 F = 8 FL 3 och θ= (3L)2 F EI EI 2EI = 2 FL 2 27 EI (där δ = v 2 ) vilket stämmer med FEM-beräkningen! 11