Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012

Transkript

1 Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 212

2 Fackverk 1 Knut 3 Knut 2 Stång 2 Stång 3 y Knut 4 Stång 1 Knut 1 x Figure 1: Fackverk med en rörlig knutpunkter (1) och tre fasta (2-4) knutpunkter. Inledning Ett fackverk är ett bärverk som består av ett antal stänger sammankopplade i momentfria leder, så kallade knutpunkter. Ett enkelt exempel på ett stångbärverk hämtat från Dahlberg [1] nns avbildat i gur 1. En enskild stång illustreras i gur 2. Stången i guren går från punkt 1 har koordinaterna (x 1, y 1 ) till punkt 2 vid (x 2, y 2 ) i obelastat tillstånd. När belastning läggs på fackverket kan stången bara utsättas för en axiell kraft N. Kraften N antas vara positiv om den pekar i den utåtriktade normalens riktning i ett snitt enligt gur 2. Det innebär att N är positiv om stången utsätts för en dragkraft. Stångens längd i obelastat tillstånd blir då = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (1) Vid belastning av fackverket kommer knutpunkterna vid 1 och 2 att förskjutas till (x 1 + x 1, y 1 + y 1 ) respektive (x 2 + x 2, y 2 + y 2 ). Stångens längd i det deformerade tillståndet blir då + δ = ((x 2 + x 2 ) (x 1 + x 1 )) 2 + ((y 2 + y 2 ) (y 1 + y 1 )) 2 (2) Stångens töjning ɛ δ, (3) ges av den konstitutiva ekvationen Hookes lag ɛ = σ E + α T, (4) där σ är (normal)spänningen, materialparametrarna E och α är stångens elasticitetsmodul respektive längdutvidgningskoecient, samt T = T T är temperaturändringen. Kom- 1

3 Fackverk 2 (x 1, y 1 ) N -N (x 2, y 2 ) Stång Snittkrafter Figure 2: Stång i ett bärverk med momentfria (ledade) knutar. Stångens ändpunkter ansluter till två knutar och betecknas (x 1, y 1 ) respektive (x 2, y 2 ). Görs ett tänkt snitt i stången kommer krafterna på snittytorna att vara N respektive N i normalens riktning. bineras de kinematiska och konstitutiva sambanden, så erhålls normakraften i stången [ ] δ N = EA α T, (5) där A betecknar stångens tvärsnittsarea. Deformationer och krafter i fackverk med förskjutningsmetod Beskrivning av generella förskjutningsmetoder för att beräkna krafter och deformationer i fackverk och andra strukturer nns att läsa till exempel i Hibbeler [2] bland många andra. Vid stora fackverk är det lämpligt att använda generella beräkningsprogram för beräkning av krafter och deformationer. Programmen nyttjar matrisformulering för att etablera jämviktssamband för hela systemet, globala jämviktssamband. Med givna randvillkor i form av förskjutningar och yttre laster kan förskjutning i enskilda knutar beräknas. Baserat på knutförskjutningar kan sedan krafter för enskilda stänger beräknas. Samma typ av beräkningar används i nita element metoden för strukturmekaniska problem. Stångelement med två noder är det enklaste element som kan ingå i ett program för nita elementberäkningar. Denition av vektorer och matriser för ett stångelement En stång går från punkt 1 till punkt 2 på lokala x-axeln. Förskjutning i ändpunkterna skrivs i vektorform: [ ] ue1 u e = (6) u e2 aster i ändpunkterna skriv som [ ] Fe1 F e = (7) F e2 Samband mellan last och förskjutning skrivs då 2

4 Fackverk 3 F e = K e u e (8) där K e kallas elementstyvhetsmatris och skrivs K e = EA [ ] (9) med E elasticitetsmodul för stångens material, A stångens tvärsnittsarea. Stångens längd beräknas ur = x 2 x 1 Temperaturlaster på enskild stång Temperaturlaster kan räknas som stånglast Q et = AEαdT [ 1 1 ] (1) Initialtöjningar Töjningen betecknas som ɛ = [ 1 Q e = EAɛ 1 ] (11) Transformationsmatris Om stången har en godtycklig riktning i x-y-planet måste lokala x-koordinater översättas till koordinater i x-y-planet. Det görs med hjälp av en transformationsmatris. Stångens ändar denieras av x,y koordinater för respektive ände (1,2), dvs Stångens längd beräknas då ur x = Transformationselementen beräknas som x 1 y 1 x 2 y 2 (12) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (13) cos α = x 2 x 1 (14) sin α = y 2 y 1 Transformation från globala förskjutningar till stångens lokala förskjutningar [ ] cos α sin α D = cos α sin α (15) (16) Då kan den lokalt denierade förskjutningen i stångens ändar i globala koordinater beräknas ur 3

5 Fackverk 4 Transformation från lokala till globala koordinater för kraft dvs D T = u e = D u (17) cos α sin α cos α sin α (18) F = D T F e (19) Att transformera den lokala styvhetsmatrisen från lokala koordinater till globala görs med en 4x4 matris. K = D T K e D (2) Hela fackverket För att kunna beräkna deformationer och krafter för ett helt fackverk måste man etablera ett globalt ekvationssystem. Det görs genom att de enskilda stängernas komponenter (vektorer och matriser) adderas in i fackverkets komponenter. Ekvationssystemet för hela fackverket får den generella formen F = K u (21) där elementen i styvhetsmatrisen är summan av styvhetsmatriserna för varje enskild stång. Då måste man identiera vilka globala frihetsgrader stängernas lokala frihetsgrader motsvarar. Antag att förskjutningarna i ände 1, (x 1, y 1 ), motsvaras av förskjutningarna i punkt i, (x i, y i ) och ände 2, (x 2, y 2 ), motsvaras av förskjutningarna i punkt j, (x j, y j ). Då adderas stångens bidrag till styvhetsmatrisen som Strukturens styvhetsmatris kan då skrivas som K(i, j) = K(i, j) + K e (22) K = NoEl i=1 K ei (23) På samma sätt adderas krafter från värmeutvidning, Q T och initialq in i motsvarande positioner i kraftvektorn och initialtöjningar in i förskjutningsvektorn. Q = NoEl i=1 Q ei (24) 4

6 Fackverk 5 Randvillkor När fackverkets globala ekvationssystem är formulerat införs randvillkor. Föreskrivna förskjutningar betecknas u p och övriga, fria förskjutningar u f. Index för föreskrivna frihetsgrader p och fria frihetsgrader f. Förskjutningar kan denieras i lokala eller globala koordinater och adderas in i systemet förskjutningsvektor. u p = u def (25) Vanligaste randvillkoren innebär förhindrad förskjutning i frihetsgraden och skrivs Givna yttre laster adderas in i lastvektorn F = u p = (26) NoP j=1 F j (27) där NoP betecknar antal knutpunkter. Då har vi etablerat komponenterna i det globala ekvationssystemet F = Ku + Q T + Q (28) ösa ekvationssystemet Dela upp ekvationssystemet så att frihetsgrader utan föreskriven förskjutning ges index f och frihetsgrader med föreskriven förskjutning får index p. [ ] [ ] [ ] [ ] Ff Kff K = fp uf Qf + (29) F p K pf K pp u p Q p Beräkna förskjutningar Fria förskjutningar beräknas ur Beräkna stångkrafter Stångkrafter kan sedan beräknas för varje enskild stång ur u f = K 1 ff (F f K fp u p Q f ) (3) N = K T e D e u e + Q e (31) Exempel åt oss betrakta exemplet i gur 1 som består av tre stänger med samma axialstyvhet EA. Antag att knutpunkt 1 utsätts för en vertikal last [ ] F 1 = P (32) 1 5

7 Fackverk 6 ängd för de enskilda stängerna beräknas ur ekvation (13). Som ger resultatet att stängerna 1 och 3 har längden, medan stång 2 har längden 2. Temperaturen antas vara konstant, d.v.s. T =. För element 1 och 3 blir den lokala styvhetsmatrisen. K e = EA [ ] 1 1 (33) 1 1 okala styvhetsmatrisen för stång 2 blir K e = EA [ ] Stång 1 går från knutpunkt 4 till knutpunkt 1. Då kan stången beskrivas med knutpunktskoordinaterna x = x 4 y 4 x 1 y 1 = Styvhetsmatris för stång 1 tranformerad till globala koordinater ger K e = EA (34) (35) (36) Stång 2 går från knutpunkt 3 till knutpunkt 1. Då kan stången beskrivas med knutpunktskoordinaterna x = x 3 y 3 x 1 y 1 = Styvhetsmatris för stång 2 tranformerad till globala koordinater ger K e = EA (37) (38) Till sist stång 3 går från knutpunkt 2 till knutpunkt 1. Då kan stången beskrivas med knutpunktskoordinaterna x = x 2 y 2 x 1 y 1 = Styvhetsmatris för stång 3 tranformerad till globala koordinater ger (39) 6

8 Fackverk 7 K e = EA (4) I det globala ekvationssystemet kommer knutpunktskoordinaterna att denieras av x = x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 = Transformera lokala styvhetsmatrisen till globala koordinater och addera in den i den globala styvhetsmatrisen enligt ekvation (22) ger: K 1 = EA K 2 = EA 2 2 K 3 = EA (41) (42) (43) (44) K = K 1 + K 2 + K 3 (45) 7

9 Fackverk 8 K = EA (46) Bundna frihetsgrader är 3-8 och fria 1 och 2. Förskjutningen i 1 och 2 kan då beräknas ur ekvation (3) som Med lastvektor K ff = EA [ F f = [ P Genom att lösa ekvationssystemet kan knutens förskjutning vid jämvikt beräknas ( ) ( ) x1 P u = = y 1 2EA ( ) (49) 2 och detta ger att axialkrafterna i stängerna blir ( ) P N 1 = 2 ( ) (5) 2P N 2 = 2 ( ) (51) Problem Problem att lösa med Matlab. ] ] (47) (48) P N 3 = 2 ( ) (52) 1. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och axialkrafterna för stångbärverket i gur 1 om stånglängden är = 1 m, alla stänger har samma axialstyvhet AE = 3 MN och stång 2 utsätts för en termisk töjning α 2 T 2 = Endast knut 1 är rörlig. 2. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och axialkrafterna för stångbärverket i gur 3 om knut 1 utsätts för en nedåtriktad kraft på 2 kn. Axialstyvheterna är AE = 3 MN. Beräkna även reaktionskrafterna på knutarna Knut 6 i stångbärverket i gur 3 placeras i obelastat tillstånd på ett stöd så att den endast kan röra sig i horisontell riktning. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och reaktionskraften från stödet vid knut 6. 8

10 Fackverk 9 Knut 4 Knut 3 Knut 2 Stång 5 Stång 4 Stång 2 Stång 3 y Stång 6 Stång 1 Knut 5 Knut 6 Knut 1 x x Figure 3: Fackverk med två rörliga knutar (1 och 6) och fyra fasta knutar (2-5). Redovisning Redovisa lösningarna på problemen ovan i en individuell rapport. Rapporten ska innehålla en inledande teoridel, ett metodavsnitt där beräkningsalgoritmen beskrivs, en resultatdel där resultaten beskrivs, samt diskussion och slutsatser. Koden bifogas rapporten i en bilaga. Rapporten laddas upp i Moodle. Referenser [1] Tore Dahlberg, Teknisk hållfasthetslära, Studentlitteratur, 21 [2] R. C. Hibbeler, Structural analysis, Pearson Education, 29 9