CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor

Transkript

1 Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig riktning kan beräknas. 2: Formulera divergensteoremet och redogör för ingående storheter. Visa hur Green Gauss teorem kan härledas från divergensteoremet. 3: Lös något enklare problem, som kräver att man utnyttjar en funktions gradient, divergensteoremet, och/eller Green Gauss. 4: Skalära randvärdesproblem i D och 2D: div( D u) = f( x, y) D a: Variationsformulera en 2a ordningens differentialekvation (t.ex i 2D:, där är symmetrisk och positivt definit) med givna randvillkor. Ange speciellt vilka krav som måste ställas på inblandade funktioner. b: Vad menas med naturliga (Neumann) respektive väsentliga (Dirichlet) randvillkor? Hur påverkar respektive typ variationsformuleringen? B e D B e c: FE formulera problemet och visa hur matrisen ser ut. Visa hur elementstyvhetsmatrisen (för ett element) beräknas i termer av den konstitutiva matrisen och matrisen, då viktsfunktioner väljs enligt Galerkin. d: Vad menas med Galerkins metod? Visa att Galerkins metod ger en symmetrisk styvhetsmatris. K e: Visa att styvhetsmatrisen blir singulär innan väsentliga randvillkor införs. Visa att styvhetsmatrisen blir positivt definit efter det att väsentliga randvillkor införts. f: Hur påverkar konvektiva randvillkor variationsformuleringen? Räkna ut bidraget till styvhetsmatrisen från ett 2D element med lineära basfunktioner längs en elementsida som ligger på en konvektiv rand. f g: Hur hanteras icke homogena väsentliga randvillkor ( ) i praktiken, dvs. i en FE beräkning? Hur påverkas lastvektorn? u = g 0 på Γ g h: Vad menas med lumpad lastvektor?

2 CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för teknisk mekanik 5: Elasticitetsproblemet i 2 och 3D: a: Givet elasticitetsekvationerna, beskriv i ord hur den svaga formen (variationsproblemet/virtuella arbetets princip) härleds. b: Givet virtuella arbetets princip: FE formulera problemet. Visa hur de obekanta funktionerna approximeras och redogör för hur testfunktionerna väljs enligt Galerkin, så att tillräckligt många ekvationer för att lösa nodvariablerna erhålls. c: Givet FE formuleringen: härled uttrycket för elementstyvhetsmatrisen ( K e ( B e ) T DB e da ). d: Ge en fysikalisk tolkning av de villkor som måste vara uppfyllda för att en elementapproximation ska vara komplett. = A e 0 6: Beskriv assembleringsprocessen. Givet ett FE nät med numrering av nodvariablerna, visa vilka positioner i styvhetsmatrisen som nödvändigtvis kommer att innehålla or och vilka positioner som kan innehålla styvhetstermer. K 0 7: Elementapproximationer: a: Vad menas med kompletta och kompatibla element för ett 2a respektive 4e ordningens problem? Vilket av kraven (kompletthet eller kompatibilitet) måste ovillkorligen vara uppfyllt? b: Vad menas med konforma respektive icke konforma element? C 0 C c: Vad menas med och kontinuitet? d: Ange den allra enklaste ansatts för FE approximationen u h som kan användas då lösningen till Poissons ekvation ska approximeras. C e: Visa hur den sk. matris metoden kan användas för att ta fram basfunktionerna för en 3 nods triangel med raka sidor, men med godtyckligt val av nodkoordinater (matrisen C behöver inte explicit inverteras). 2

3 8: Redogör för avbildningar: a: Visa hur ett område med enkel geometri i ett lokalt koordinatsystem mappas på ett område med mer allmän form i ett koordinatsystem ( x, y), med hjälp av formfunktioner. ( ξ, η) x y N i = N i ( ξ, η) b: Visa hur derivatorna med avseende på och av en basfunktion beräknas. Definiera speciellt avbildningens Jacobian och visa att derivatorna i ett allmänt fall blir rationella funktioner (då basfunktionerna och formfunktionerna är polynom). c: Visa att Jacobianens determinant måste vara positiv för att en avbildning ska fungera. Ge exempel på några avbildningar som inte ger en positiv determinant. d: Varför bör man så långt som möjligt undvika att använda kraftigt distorderade element i FE beräkningar? e: Vad menas med isoparametriska element? 9: Redogör för numerisk integration: n a: Visa hur Lagrangepolynomen l i ( r), i =, 2,, n, av grad n konstrueras. b: Visa hur f( r) dr approximeras. c: Givet integrationspunkternas läge r i, hur beräknas integrationsvikterna? d: Hur väljs integrationspunkterna i Newton Cotes kvadratur? Vilken nogrannhet har Newton Cote med integrationspunkter? n e: Hur beräknas integrationspunkterna i Gauss kvadratur? Beräkna Gauss punkternas läge för något enklare schema (t.ex 3 punkts integration). Vilken nogrannhet har Gauss med n integrationspunkter? 0: Hur många integrationspunkter (Gauss) krävs för exakt integration av elementstyvhetsmatrisen för ett a: bilineärt 4 nods element med rektangulär geometri respektive allmän 4 siding? b: 8 nods Serendipity element med rektangulär geometri respektive allmän 4 siding med krökta sidor? : Vad menas med reducerad integration? Varför kan reducerad integration vara fördelaktigt (i FE beräkningar) och vilka risker finns? 3

4 CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för teknisk mekanik 2: Euler Bernoulli elastiska linjens ekvation a: Givet elastiska linjen ekvation (med randvillkor): härled den svaga formuleringen och tolka resultatet som ett virtuellt arbete. Vad är naturliga respektive väsentliga randvillkor för problemet? Hur påverkar respektive typ variationsformuleringen? b: Vad krävs för att ett balkelement ska vara komplett respektive kompatibelt? Givet de kubiska basfunktionerna (ekv. 7.62): visa att balkelement är komplett och kompatibelt? 3: Abstrakt formulering: a: Givet vänsterledet i en svag form av ett randvärdesproblem: visa att är symmetrisk och lineär i båda argumenten. a( u, v) a( u, v) u b: Visa att lösningen till variationsproblemet gör funktionalen stationär. Visa att den stationära punkten är ett minimum. Π( v) = --a ( v, v) ( v, f) 2 c: Formulera ett minimeringsproblem som har samma lösning som variationsproblemet och visa att det bara finns ett minimum (dvs att lösningen är entydig). d: Visa att potentiella energin i en konform FE approximation inte kan vara lägre än energin i den exakta lösningen. Förklara varför energin i en icke konform FE approximation kan vara lägre än i den exakta, trots att den senare minimerar energin. e = u u h 4: Visa Galerkin ortogonalitet, dvs. att felet i FE approximationen är ortogonalt i energi mot FE rummet V h. Gör en geometriskt tolkning av resultatet. Använd Galerkin ortogonalitet för att visa att energin i a( e, e) = a( u, u) a( u h, u h ) felet är lika med felet i energi:. 5: Konvergens: a: Vad menas med konvergens? Vad krävs av elementapproximationen för att konvergens säkert ska fås (2a och 4e ordningens problem)? Vilket krav kan man släppa på och kanske ändå erhålla konvergens? b: Redogör för konvergenshastigheten hos några vanliga elementtyper under antagande att den exakta lösningen är analytisk. Vad menas med parasitterm? Hur inverkar sigulariteter på konvergenshastigheten? c: Visa att felet i FE approximationen inte kan approximeras med de basfunktioner som använts för att ansätta ; (dvs om vi approximerar, så fås bara ). 6: Redogör för, och metoderna. Vad menas med hierarkisk förfining? Redogör för några fördelar med hierarkisk teknik. e = u u h u h e e h r h p = e i N i e i = 0 4

5 7: Redogör för den principiella uppbyggnaden av ett adaptivt FE program och ange speciellt vad som skiljer det från ett konventionellt program. Visa hur felet, mätt i energi, kan approximeras med hjälp av hierarkiska basfunktioner. Vilken typ av fel är det man försöker minska med adaptivitet? Vilka andra typer av fel uppträder i allmänhet vid datorberäkningar för att lösa fysiska problem? Ge exempel på de olika typerna. 8: Iterativ lösning av lineära ekvationssystem K a Ka = f = --a T Ka a T f. 2 a: Visa att om är symmetrisk och positivt definit, så minimerar lösningen till funktionen f( a) b: Om a ( i) är en approximativ lösning till ekvationssystemet, så kan en förbättrad lösning fås genom a ( i + ) a i + där är steglängden och en sökriktning. Visa hur optimal steglängd beräknas = ( ) α i d i α i d i i gradient och konjugerad gradientmetod. I vilken mening är den beräknade steglängden optimal? c: Visa hur sökriktningen bestäms i gradient metod respektive konjugerad gradient metod. 5