Omtentamen i DV & TDV

Transkript

1 Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga (förutom penna och linjal) Om problembeskrivningen i något fall är oklar, bestäm dig för en rimlig tolkning och anteckna den vid lösningen. Börja varje uppgift på ett nytt blad. Skriv ditt namn och uppgiftens nummer uppe till höger på varje blad. Uppgifterna är inte ordnade i svårighetsgrad. Lycka Till!

2 Uppgift 1: (4+4 p) a) Denna deluppgift behandlar felanalys och i detta sammanhang de två mycket centrala begreppen kondition och stabilitet Redogör med hjälp av koefficientmatriserna [ ] 1 1 A = B = [ ] skillnaden mellan ett illakonditionerat problem och en instabil algoritm. b) Redogör tydligt, på matris- och vektornivå, hur A 2 x = b kan lösas effektivt med hjälp av LU-faktorisering då PA = LU är givet (och P är en permutationsmatris). Uppgift 2: (2+6 p) a) Denna deluppgift behandlar icke-linjära ekvationer och går ut på att du ska göra en översikt, map vissa faktorer, över några metoder enligt tabellen nedan faktor Intervallhalveringsmetoden Sekantmetoden Newton-Raphson typ av info om f konvergensordning startgissningar Lämpligen skriver du av denna tabell och anpassar den så att du får plats med dina svar. Den första faktorn, typ av info om f, avser vilken typ av information om funktionen f som respektive metod behöver för att lösa problemet f(x) = 0. Den andra faktorn, konvergensordning, avser hur snabbt respektive metod konvergerar (under förutsättning att man har konvergens och är nära roten). Faktorn startgissningar, slutligen, avser hur många startgissningar som respektive metod behöver. OBS: Du behöver inte fylla i hela tabellen för att få full poäng utan för att få maxpoäng krävs minst att du korrekt redogör för två faktorer. b) Du står inför problemet att lösa f(x) = 0, f : R 1 R 1 då f(x) = 3x x 2 1 i intervallet 0 x 3. Den föreslagna algoritmen för fixpunktsiteration är x k+1 = 1 3 (x k 2 + 1) Gör en analys baserad på teoretiska konvergensvillkor för att utreda lämpligheten i att använda den föreslagna algoritmen för att beräkna samtliga rötter i det angivna intervallet. Är den föreslagna algoritmen lämplig att använda i denna situation? Motivera noggrant ditt ställningstagande. Uppgift 3: (2+6 p) a) Man försöker approximera funktionen f(t) = t 2 med ett polynom genom ekvidistant placerade punkter på intervallet 1 t 1. Resultatet av denna interpolation finns grafiskt återgivet i Bilaga 1. Vilken är förklaringen till att de valda basfunktionerna φ i (t) = t i 1 ger upphov till det grafiska resultatet i Bilaga 1? Föreslå minst en åtgärd för att undvika denna typ av numeriska problem. Förklara tydligt. ii

3 b) En planet har en elliptisk bana som kan beskrivas i ett Cartesiskt koordinatsystem (x, y) enligt modellen ay 2 + bxy + cx + dy + e = x 2 där a, b, c, d och e är obekanta modellparametrar som man önskar bestämma för att få en komplett modell. Följande data för planetens position är given: x y Ställ upp det linjära ekvationssystem som ska lösas för att bestämma de okända modellparametrarna från de givna mätvärdena. Du ska alltså ange det A, x och b du då får, och avgöra huruvida det i denna deluppgift är frågan om interpolation eller approximation? Motivera utförligt ditt val. Du ska inte explicit räkna ut vektorn x utan bara ange det aktuella ekvationssystemets koefficientmatris A, lösningsvektorn x samt högerledsvektorn b. Observera vidare skillnaden mellan det skalära x-värdet som anger en koordinat och lösningsvektorn x. Uppgift 4: (1+3+4 p) a) a) Beskriv noggrant minst en approximation/felkälla som uppstår vid numerisk behandling av integralen b a f(t). b) Härled, mha Taylorutveckling, de två första feltermerna c 1 h p 1 + c 2 h p = O(h p 1 ) i trunkationsfelet för skattningen av f (t) enligt f (t) D(h) = f 2 + 4f 1 3f 0 2h där c i är oberoende av h, f 0 = f(t), f 1 = f(t + h), f 2 = f(t + 2h). Det ska tydligt framgå vilka värden p 1 och p 2 har. Tips: Studera D(h) f (t) med hjälp av Taylorutveckling f(t + h) = f(t) + f (t)h + f (2) där f (k) = dk f(t) k. 2! h 2 + f (3) 3! h 3 + f (4) 4! h 4 + f (5) 5! h 5 + f (6) h ! c) Observera att deluppgift 4.c kan lösas utan att man löst uppgift 4.b. Vi vill numeriskt beräkna derivatan f (t). Den aktuella skattningen D(h) = f2+4f1 3f0 2h har trunkationsfelet på formen c 1 h p1 + c 2 h p2 + c 3 h p (där c i är oberoende av h, värdena på p 1, p 2,... antas kända samt att som i b-uppgiften f 0 = f(t), f 1 = f(t + h), f 2 = f(t + 2h)). Teckna det uttryck som bestämmer en approximation, mha derivataskattningen och steglängden h 1, för D1. Du behöver alltså inte räkna ut värdet utan det antas vara givet som D1. Låt vidare D2 beteckna det värde man får då man räknar med den givna derivataskattningen och steglängd h 2 = h 1 /2. Låt D3 på motsvarande sätt beteckna det värde man får då man räknar med steglängden h 3 = h 2 /2 och slutligen låt D4 motsvara steglängden h 4 = h 3 /2. Skriv ned det Richardsonextrapolations schema man får då D i, i = 1,... 4, används. Inför lämpliga beteckningar på de kvantiteter som beräknas. Det ska tydligt framgå hur schemat iii

4 byggs upp. Redogör även för hur man uppskattar E trunk och E tab. Trunkationsfelet betecknas med E trunk och felet, pga osäkerhet i f, med E tab. Vidare är det givet att f(t) f(t) E f. Uppgift 5: (2+6 p) a) Utgå från y (t) = f(t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 y i+1 = y i + hf(t i, y i ), t i+1 = t i + h för att på ett tydligt sätt beskriva vad som skiljer explicita och implicita ODE-metoder i samband med numerisk lösning av ODE (Ordinära Differential Ekvationer). Redogör även för, mha figur och text, vad ett riktningsfält är för en ODE på standardform. b) Givet är följande system av ODE ẍ = (3 sin(t))ẋ + ÿ = cos(t)y x 1 + ẏ 2 ẋ 1 + t 2 där x och y är kontinuerliga funktioner som beror av tiden t, dvs x(t) och y(t), samt att ẍ = d2 x och ẋ = dx 2. Vid starten gäller vidare följande: x(0) = 0 ẋ(0) = 1 y(0) = 4 ẏ(0) = 3 Du ska inte lösa differentialekvationssystemet utan bara ställa upp det på standardformen dy = f(y, t), y(t 0 ) = y 0 där det klart och tydligt ska framgå vilka element vektorerna dy, f, y och y 0 har samt vektorernas dimensioner (dvs antalet komponenter). iv

5 Bilaga 1, komplement till uppgift 3.a Man försöker approximera funktionen f(t) = t 2 med ett polynom genom ekvidistant placerade punkter på intervallet 1 t 1. Ex ett 2:a gradspolynom (g(t) = x 1 + x 2 t) genom ( 1, f( 1)), (0, f(0)), (1, f(1)), ett 4:e gradspolynom (g(t) = x 1 + x 2 t + x 3 t 2 + x 4 t 4 ) genom ( 1, f( 1)), ( 0.5, f( 0.5)), (0, f(0)), (0.5, f(0.5)), (1, f(1)), samt ett 20:e gradspolynom (g(t) = x 1 + x 2 t x 20 t 20 ) genom ( 1, f( 1)), ( 0.9, f( 0.9)), ( 0.8, f( 0.8),..., (1, f(1)). Den heldragan linjen är f(t) och de övriga approximationerna g(t) grad 4 grad 8 grad Figure 1: v