Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Transkript

1 KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, , Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg E är 14 poäng (inklusive bonuspoäng. Om denna del av tentamen (del 1 blir godkänd så rättas även del, vilket ger möjlighet till högre betyg. Inga hjälpmedel är tillåtna (ej heller miniräknare. Skriv svaren på dessa papper. 1. Ekvationen x 3 = x+5 har en rot mellan och 3. En iteration med Newtons metod och startgissning x = ger x 1 lika med: Man vill uppskatta integralen / cos(x dx med trapetsmetoden och intervallet delas i lika stora delar. Vad blir värdet? Vi vet att cos( 4 =. 4 (1 + ( + 4 ( 1 + ( (1 + ( Givet funktionen f(x, y = 4x + xy där x = ±.4 och y = 3 ±.5. Ange en gräns för osäkerheten i f

2 Namn: Anpassa, i minsta kvadratmetodens mening, en rät linje till nedanstående uppsättning punkter (x,y. Vad blir linjens y-värde då x =.5? a Punkterna (,5 och (1, b Punkterna i deluppgift a och dessutom punkten (-1, Interpolera ett polynom av lägsta lämpliga gradtal genom punkterna (,5, (1,4 och (-1,. Punkterna anger (x-värde, y-värde. Vad blir interpolationspolynomets y-värde då x =.5? Vad beräknas (approximativt och skrivs ut av nedanstående program x=; d=x; dold=d; while abs(d>1e-1, d=(x^3-/(3*x^; x=x-d; %abs(d/dold^ dold=d; end x

3 Namn: Differentialekvationsproblemet (1 + ( d z dt d3 z = 1z cos(t, dt3 skrivs om som ett system av n st första ordningens differentialekvationer. a Då blir n b Om Eulers (framåt-metod används för att lösa differentialekvationssystemet som erhålls i deluppgift a så behövs k st startvärden där k är c Om Runge-Kuttas metod av ordning 4 används för att lösa differentialekvationssystemet som erhålls i deluppgift a så behövs k st startvärden där k är Integralen.5 + e x sin x dx har beräknats med trapetsregeln med steglängderna. och.1. Resultatet blev T (. = 1.4, T (.1 = 1.4. Vilken steglängd h (ungefär bör räcka för trapetsregeln om vi vill ha ett fel som är mindre än Ett icke-linjärt ekvationssystem ges av x y = 15 i den ordning de står. x + 3y = a Då x = och y = 3 blir Jakobianens (,-element lika med b Med startvärdena x = och y = 3 blir euklidiska normen av högerledet i det linjära ekvationssystem som skall lösas i den första iterationen med Newtons metod lika med OBS! Tentan fortsätter med del!

4 KTH Matematik SF154, 1-3-3, , Tentamen del SF154 Numeriska metoder, grundkurs Rättas endast om del 1 av tentan är godkänd. Svar skall motiveras och uträkningar redovisas. Korrekt svar utan motivering eller med felaktig motivering medför poängavdrag. P1. Tredjegradskurvan y(x = x (x (x 5 och ellipsen med halvaxlarna 7 respektive och som beskrivs av ( x 3 ( y = 1 (3p (4p (p 7 skär varandra på några ställen. Ellipsen är uppritad på sista sidan! a. Hur många skärningspunkter är det? Bladet med den uppritade ellipsen kan du använda i dina motiveringar. b. Ställ upp det icke-linjära ekvationssystem som skall lösas då man bestämmer en skärningspunkt med Newtons metod för system. c. Skriv ett Matlabprogram som bestämmer den skärningspunkt som ligger längst till höger med minst 4 decimalers noggrannhet. (Denna uppgift får/kan göras även om man inte löst deluppgift a. P. Givet differentialekvationsproblemet (3p (5p d y dx + xdy + αy =, dx y( =.1, dy dx ( = A a. Skriv om problemet så du kan använda någon standardrutin i Matlab för att lösa det. b. Skriv ett Matlabprogram som löser det omskrivna problemet för α = 1, A =. för x på intervallet till 1. Använd gärna Matlabrutinen ode45. Funktionen w(x = y (x/y(x skall därefter ritas upp. (där y(x och y (x får ur lösningen till diffekvationen. c. Utöka programmet i deluppgift b så lösningarna för A =.1,.,.5, 1. ritas i samma figur. d. Utöka programmet i deluppgift c så det ritar y(1 som funktion av A i en ny figur. P3. Vi vill bestämma en funktion f(x för x 3, som med styckvis interpolerande polynom interpolerar punkterna x y α 4. där α är en parameter vars värde från början är okänt. Funktionen skall också uppfylla 3 f(xdx = Var god vänd!

5 (5p (p (p (8p Mellan x =. och x =.5 vill vi ha linjär interpolation. Mellan x =.5 och x = 1.5 vill vi ha kvadratisk interpolation. Mellan x = 1.5 och x = 3. vill vi ha ett interpolerande tredjegradspolynom. a. Beräkna funktionens värde i x =. och i x = 1., dvs f(. och f(1. b. Skriv ett Matlabprogram som beräknar kofficienterna i tredjegradspolynomet och parametern α. (Ledning: Gissa först ett värde på α c. Ställ upp ett linjärt ekvationssystem vars lösning ger kofficienterrna i tredjegradspolynomet och parametern α. Ange matrisen, högerledet och vektorn med obekanta. (Ledning: ett polynom kan integreras exakt analytiskt, term för term P4. Är någon eller några av nedanstående formler bra för att skatta y (x? Motiveringarna är viktiga för poängen. a. b. c. y(x h y(x + y(x + h h y(x h 3y(x + y(x + h y(x + h h y(x h + 3y(x + 3y(x + h y(x + h 3h 3 Ellips y x