Tentamen: Numerisk Analys MMG410, GU

Transkript

1 Tentamen: Numerisk Analys MMG41, GU Ge kortfattade motiveringar/lösningar till nedanstående uppgifter! Ett korrekt svar utan motivering ger inga poäng! a) Antag att vi arbetar med fyrsiffrig decimal aritmetik. Beräkna följande summa samt absoluta och relativa felen: (1p) b) Skriv talet 1 i binär form som flyttal i dator. Skriv den sedan i hexadecimalt (bas 16) form (3p) c) Beräkna LU-faktoriseringen av matrisen nedan (a,b,c,d ). När är matrisen singulär? c d (p) d) Skriv fixpunktsiterationsmetod för g(x) = x 4+x. Bestäm fixpunkterna och konvergens. (3p). Vi vill hitta en funktion på formen f(x) = ax+bx +cx 3 +sin(dx) som satisfierar följande villkor f(1) = 1,f (1) = 1.5,f (1) = 5,f() = 3. Parametrar a,b,c,d skestämmas. Ställ upp ett system av ekvationer för problemet och formulera sedan Newton metod för detta system. Försök inte att lösa systemet för hand. (3p) 3. Finn polynomet p i Lagranges form som interpolerar punkterna (1,5),(,4) och (3,7). (3p) 4. Vi har följande kvadraturformel: 1 f(x)dx ω k f(x k ) som vi vet har polynomiellt gradtal noll. Visa att ω k = 1. (1p) Använd mittpunktsmetoden (rektangelmetoden) för att beräkna integralen 1 (6x+8x )dx. (p) 1

2 5. a) Skriv om följande ekvation som första ordningens system: y (t) = t+y(t)+y (t), y() = 1, y () = 1. (p) b) Sätt upp bakåt-euler metod och första iteration i den för följande problem: (p) y (t) = λy(t), y() = y. 6. Vi har följande modell med känt C = const. > : R Ce (p 1+p T)/(1+p 3 T ) och vill bestämma parametrarna p 1,p,p 3 givet mätvärden (T 1,R 1 ),(T,R ),...,(T m,r m ). Gör en lämplig transformation och ställ upp ett linjärt minstakvadratproblem i formen min p Ap b. Matrisen A samt vektorern och p skall redovisas. (3p)

3 3 Kortfattade lösningsförslag: Numerisk Analys MMG41, GU a) Exakta värdet: x = 8.477, approximativt i fyrsiffrig decimal aritmetik x = Absoluta fel x x =.3, relativa felet x x 3.568e 5. x b) Vi kan skriva talet 1 som 1 = 1 [1+.5] 3. Vi ser nu att vi behöver skriva exponenten 3 så här: 3+13 = 16 = 1 + = Vi får följande binär representation för 1: där 1 är kod för, exponenten 11 bitar kodas som 11 och mantissa 5 bitar kodas som 1... I hexadecimalt (bas 16) format: först vi splittrar till 4 bitar binär form: (.1) c) och kodar varje fyritar: A = Hexadecimalt (bas 16) format: A = [ c d [ c d ] l11 = l 1 l L ] 1 = l 1 1 L = 1 = c, =, 1 =, 1 = 4, =, c4. u11 u 1 u U u11 u 1 u U = u11 l 11 l 11 u 1, l 1 u 11 l 1 u 1 +l u u u = 1. l 1 u 11 l 1 u 1 +1 u l 11 = l = 1,u 11 = a,u 1 = b,l 1 u 11 = c,l 1 u 1 +u = d.

4 4 1 A = c/a 1 L [ d c a b ] } {{ } U Singulär om ad = cb. d) Se föreläsningsanteckningarna, s Fixpunktsiterationsmetod för g(x) = x 4+x är: För exakt x : det betyder att Fixpunkter: Konvergens: x k+1 = g(x k ). x = g(x ), g(x ) x =, ( (x ) 4+x ) x =, (x ) 4 =. x 1 =,x =. g (x) = (x 4+x) = x+1, g (x 1) = x 1 +1 = +1 = 5, g (x ) = x +1 = ( )+1 = 3. g (x 1) = g () = 5 > 1 - divergens, g (x ) = g ( ) = 3 > 1 - divergens.. Vi inför vektorn x = [a,b,c,d] T och skriver f(x) istället för f(a,b,c,d). Ekvationerna blir: a+b+c+sin(d) 1 =, a+b+3c+dcos(d) 1.5 =, b+6c d sin(d) 5 =, a+4b+8c+sin(d) 3 =. Newton metod kan skrivas: a k +b k +c k +sin(d k ) 1 x k+1 = x k [J(x k )] 1 a k +b k +3c k +d k cos(d k ) 1.5 b k +6c k (d k ) sin(d k ) 5, a k +4b k +8c k +sin(d k ) 3. var cos(d k ) J(x k ) = 1 3 cos(d k ) d k sin(d k ) 6 d k sin(d k ) (d k ) cos(d k ). 4 8 cos(d k )

5 3. För tre punkter (1,5),(,4) och (3,7) har vi: y 1 = 5,y = 4,y 3 = 7,t 1 = 1,t =,t 3 = 3. Interpolationspolynomet på Lagranges form för n = 3 är: (t t )(t t 3 ) p(t) = y 1 (t 1 t )(t 1 t 3 ) +y (t t 1 )(t t 3 ) (t t 1 )(t t 3 ) +y (t t 1 )(t t ) 3 (t 3 t 1 )(t 3 t ) för y 1 = 5,y = 4,y 3 = 7,t 1 = 1,t =,t 3 = 3: p(t) = 5 (t )(t 3) (1 )(1 3) +4(t 1)(t 3) ( 1)( 3) +7(t 1)(t ) (3 1)(3 ), p(t) = 5 (t )(t 3) vilket efter förenkling blir 4(t 1)(t 3)+7 (t 1)(t ) p(t) = t 7t a) Formeln 1 f(x)dx ω k f(x k ) skall vara exakt för polynom x p för p =. Då gäller: = 1dx = x dx = ω k 1 = b) Rektangelmetoden för b a b a f(x)dx är: ( a+b f(x)dx (b a)f ). I vårt fall vi har f(x) = 6x+8x, ( ) ( ) a+b 1 f = f = 6 1/+8 (1/) = 5 då rektangelmetoden för 1 (6x+8x )dx ger oss: 1 (6x+8x )dx (1 ) 5 = 5. ω k 5. a) Sätt u 1 (t) = y(t), u (t) = y (t).

6 6 Vi får systemet: u 1(t) = u (t), u (t) = t+u 1 (t)+u (t), u 1 () = 1, u () = 1. b) Se föreläsningsanteckningarna, s. 63. Implicit, bakåt-euler metod är: y k+1 = y k +τf(t k+1,y k+1 ) för diskretiseringen y (t) yk+1 y k. τ Bakåt-Euler metod för vårt problem är: då har vi som lösas för y k+1 : y k+1 = y k +τλy k+1, y k+1 τλy k+1 = y k, (1 τλ)y k+1 = y k, y k+1 = (1 τλ) 1 y k. Första iteration i den för k = ska vara: y 1 = y 1 τλ. 6. Logaritmera: Skriv om: lnr = lnc + p 1 +p T 1+p 3 T. lnr(1+p 3 T ) = lnc(1+p 3 T )+p 1 +p T, lnr(1+p 3 T ) = lnc +p 3 lnc T +p 1 +p T. Samla all termer med parametrar på vänster sida och termer med kända värderna - på höger sida: p 1 +p T +p 3 (lnc lnr) T = lnr lnc. Konstruera matris A för att hitta p = [p 1,p,p 3 ] T i minstakvadratproblem min p Ap b, där raderna i A innehåller [1,T k,(lnc lnr k ) T k], k = 1,...,m. och vectorn b ska vara lnr 1 lnc lnr lnc...,k = 1,...,m. lnr k lnc... lnr m lnc