Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl Examinator: Per Enqvist, tel (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp, x ga, x gd, x mr, x mm, x mp, x ma, x md, ) T för antalet bussar som ska transporteras från städerna Stockholm (s), Göteborg (g) och Malmö (m), till städerna Rom (R), Madrid,(M) Paris (P), Aten (A) och till en Dummy stad (D). Vi inför dummy staden för att få ett balanserat problem. Enligt antagandet känner vi till kostnaderna för transporterna och vi ordnar dessa i en vektor c i samma ordning som i x. Kostnaderna för transporter till dummynoden sätter vi till noll. Låt s i beteckna hur många bussar som finns i stad i, och d j beteckna hur många busslaster som finns i stad j. Antalet busslaster i Dummynoden sätts till så att problemet blir balanserat. Optimeringsproblemet kan nu skrivas min c T x x (TP) då i x ij = d j, j = R, M, P, A, D j x ij = s i, i = s, g, m.. x En tillåten startbaslösning ges av Northwest- corner rule x ij R M P A D s i s 5 25 g m 5 5 d j (b) Utför radoperation på A [ U = [ där de två första kolumnerna är identiteten, dvs β =, β 2 = 2 och γ = 3. Nollrummet till A spänns av vektorn n = (,, ) T och bildrummet till A T spänns av vektorerna i U T, dvs r = (,, ) T och r 2 = (,, ) T

2 Page 2 of 6 Lösningar Tentamen SF86 Nu gäller att z = = v + u = α + η + Med α = och η = η 2 = har vi z = u + v där v = N (A), u = R(A T ), η 2 2. (a) Problemet (P ) är på standardform (P ) min x s.t. c T x Ax = b x där [ [, b =, c = [ T. Vi börjar med variablerna x and x 2 i basen, d.v.s. β = {, 2} och δ = {3, 4, 5}. A β = [ 2 [, A δ = 2 4 Då ger ekvationerna A T β y = c B och rδ T = ct δ yt A δ att [ y =, r T δ = [. Man kan välja mellan att låta 4 och 5 bli nya basvariabelindex. Låt x 4 gå in i basen. Vilken variabel ska lämna basen? b = (/2, /2) bestäms från A β b = b. Från A β ā 4 = a 4, får vi ā 4 = (3/2, /2) T. Från x β = b ā 4 t ser vi att det första elementet i x β blir noll först (eftersom den kvoten är minst), och då måste den första basvariabeln, nämligen x, lämna basen. Nu är β = {4, 2} och δ = {3,, 5}, och vi uppdaterar bas- och ickebasmatriser: A β = [ 2 2, A δ = [ 4 Nu ger ekvationerna A T β y = c β och rδ T = ct δ yt A δ att [ /3 y =, r T 4/3 δ = [ /3 2/3 4/3. Eftersom alla reducerade kostnader är positiva så är den aktuella baslösningen ˆx = (, 3,, 3, ) optimal.

3 SF86 Lösningar Tentamen Page 3 of 6 (b) Det duala problemet blir (D) max y + y 2 y då y y + 2y 2 3 y 2 2y + y 2 2 4y + y 2 4 Komplementaritet ger att bivillkor 2 och 4 är uppfyllda med likhet och vi ser att y = /3 och y 2 = 4/3 från simplexmetoden uppfyller dessa villkor. Dessutom uppfylls övriga bivillkor med strikt olikhet och variablerna är icke-negativa. Som extra koll kan man se att c T x = b T y, dvs / /3 = /3 + 4/3. (c) Om vi ändrar koefficienten i högerledet så kommer samma baslösning vara optimal så länge som den är tillåten. (reducerade kostnaderna ändras ju inte av denna förändring) Vi har att [ x β = A 2 β bnya = 2 vilken är icke-negativ. I så fall gäller att [ T [ c T 2 β x β = 3 [ /2 /2 [ = = 3/2 /2, 3. (a) Givet H = Diagonalmatrisen i LDL T -faktoriseringen av matrisen H bestäms av radoperationer med faktorer 3 och -4, och motsvarande kolumnoperationer: Nu använder vi rad 2 för en radoperation med faktorn -2, och motsvarande kolumnoperation: D = 2 Eftersom diagonalelementen är positiva så är H positivt definit. L-matrisen bestäms av radoperationerna ovan L = 3 = 3 =

4 Page 4 of 6 Lösningar Tentamen SF86 (b) Det tillåtna området är konvext eftersom det bestäms av ett linjärt ekvationssystem. Målfunktionen är konvex på hela IR 3 enligt a-uppgiften, och är därför även konvex på det tillåtna området. Alltså är optimeringsproblemet konvext. Bestäm nollrummet till A [ 2 2 [ /2 /2 [, Det spänns av kolumnvektorn Z =. En lösning till ekvationen Ax = b ges av x = [ T. Med c = Z T c = T 3 4 = 7 ges en lösning v till ekvationssystemet Z T HZv = Z T (H x + c), d.v.s. 34v = av v = /34. Eftersom problemet var strikt konvext så är ˆx = x+vz = (33/34, /34, ) T det unika minimat till (P ). (c) Vi kollar riktningsderivatan i punkten x i riktningen d f(x)d = (Hx + c)d = [ 2 = >. 8 Eftersom denna är positiv så är d ej en avtaganderiktning. 4. (a) f är summan av två konvexa funktioner och alltså konvex. Den första termen är konvex eftersom det är en konvex och växande funktion (exponentialfunktionen) av en konvex funktion. (b) Gradienten till f är f(x) = [2x exp{x 2 +x 2 3 } 2x 3 exp{x 2 +x 2 3 }, och hessianen ges av 2 f(x) = 2 exp{x 2 + x 2 3 } 2x 3 exp{x 2 + x 2 3 } 2x 3 exp{x 2 + x 2 3 } 2( + 2x2 3 ) exp{x 2 + x 2 3 } I punkten x () = har vi då 2 f(x () )d () = f(x () ), dvs 2 d () =. d () =. 2.

5 SF86 Lösningar Tentamen Page 5 of 6 Med ett enhetssteg blir nu nästa iterationspunkt x () = x () +d () = (,, ) T. Om Newtons algorithm konvergerar så kommer den gå till ett lokalt min och vi vet att eftersom f är oändligt differentierbar så måste dess gradient vara lika med noll där, men gradienten till noll är inte noll någonstans så algoritmen kommer inte att konvergera. (Eftersom det inte finns några lokala minpunkter) (c) Låt g (x) = x, g 2 (x) = x 2, g 3 (x) = x 3. Då kan problemet skrivas min f(x) då g(x). I punkten x = (,, ), är alla bivillkoren aktiva. f(x ) + λ g(x ) = + λ + λ 2 + λ 3 =. Detta är sant för λ =, λ 2 = >, λ 3 =. Alltså är KKT och KKT3 uppfyllda. Eftersom x är tillåten så är även KKT2 uppfyllt och i och med att alla bivillkor är aktiva så är KKT4 uppfyllt. Problemet är konvext, så KKT-villkoren är ekvivalenta med de globala optimalitetsvillkoren och vi kan alltså säga att x är ett globalt minimum. (d) Låt g(x) = (x ) 2 x 2 2 Då kan problemet skrivas min f(x) då g(x). I punkten x, är bivillkoret aktivt, dvs g(x ) =. f(x ) + λ g(x ) = + λ 2 =. Detta är aldrig sant, så KKT är ej uppfyllt. Eftersom punkten x är reguljär kan detta inte vara ett lokalt minimum. 5. (a) Detta är ett linjärt minstakvadrat problem. Problemet kan skrivas som min x f(x), där f(x) = Ax b 2, x = [A B C T och π/4 / 2 π/3 /2 π/2, = Eftersom kolumnerna i A är oberoende finns det ett unikt optimalt x och det bestäms av A T Ax = A T b. (b) Området är inte konvext. Punkterna x () = (,, ) och x (2) = (,, ) är tillåtna, men punkten /2x () + /2x (2) = är inte tillåten. Tillåtna området bestäms av att h (x) = x 2 + x2 2 = och h 2(x) = x 2 + x 2 3 =. Gradienterna till dessa ges av h (x) = (2x, 2x 2 ) och h 2 (x) = (2x, 2x 3 ). Dessa är linjärt beroende om x 2 = x 3 = Då följer av bivillkoren att x 2 =. De punkter som inte är reguljära ges alltså av x() och x (2) ovan

6 Page 6 of 6 Lösningar Tentamen SF86 (c) Problemet har en ändlig lösning om och endast om dualen har en tillåten lösning. (D) max 2y + y 2 y då y + y 2 c y + y 2 c 2 y, y 2 Den andra ekvationen har icke-negativa lösningar om och endast om c 2. Dessa ligger i så fall i en triangel i positiva kvadranten. Det minsta värdet för c då det första bivillkoret har en tillåten punkt tillsammans med det andra är då c 2 = c. (rita en figur) Det primala problemet är då ändligt om c 2 och c c 2.