Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
|
|
- Thomas Jansson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera då j 0, j =, 2. Tillåtna området till P ges, i ett koordinatsstem med x och x 2 på axlarna, av det obegränsade område i positiva kvadranten som ligger nordost om de fra linjestckena L: (0, ) (0, 3), L2: (0, 3) (,.5), L3: (,.5) (4, 0) och L4: (4, 0) (, 0). Nivåkurvorna till målfunktionen 3x + x 2 är parallella linjer vinkelräta mot vektorn (3, ) T. Ju längre åt sdväst en nivåkurva ligger, desto lägre målfunktionsvärde svarar den mot. Det följer ur en figur att den unika optimala lösningen ges av hörnpunkten ˆx = (0, 3) T. Tillåtna området till D ges, i ett koordinatsstem med och 2 på axlarna, av den triangel som har hörn i punkterna (0, 0), (0.5, 0) och (0, 0.5). Nivåkurvorna till målfunktionen är parallella linjer vinkelräta mot vektorn (6, 4) T. Ju längre åt nordost en nivåkurva ligger, desto högre målfunktionsvärde svarar den mot. Det följer ur en figur att den unika optimala lösningen ges av hörnpunkten ŷ = (0.5, 0) T. Optimalvärdet till P blir = 3, medan optimalvärdet till D blir = 3. Som snes är dessa optimalvärden lika. Enligt komplementaritetssatsen är ˆx och ŷ optimala till P resp D om de dels är tillåtna lösningar till resp problem, dels uppfller följande villkor: ŷ (3ˆx + 2ˆx 2 6) = 0, ŷ 2 (ˆx + 2ˆx 2 4) = 0, ˆx (3 3ŷ ŷ 2 ) = 0, ˆx 2 ( 2ŷ 2ŷ 2 ) = 0. En snabb koll visar att ˆx = (0, 3) T och ŷ = (0.5, 0) T uppfller allt detta.
2 Uppgift.(b) Först överför vi A till reducerad trappstegsform med Gauss Jordans metod: A = = U Matrisen U är på reducerad trappstegsform med två trappstegsettor, i kolonnerna och 2. En bas till R(A) erhålls genom att som basvektorer välja de kolonner i A som svarar mot trappstegsettor i U, dvs kolonnerna och 2 i A. 2 De två vektorerna 2 och 2 utgör alltså en bas till R(A) 0 2 En bas till N (A) kan bestämmas enligt följande: I ekvationssstemet Ux = 0 kan varje fri variabel (som inte svarar mot någon trappstegsetta) sättas till en godtckliga parameter. I vårt fall kan vi sätta x 3 = t och x 4 = s. Då ges den allmänna lösningen till Ux = 0 (och därmed även till Ax = 0 ) av x = t + s, x 2 = t 2s, x 3 = t, x 4 = s, som kan skrivas (x, x 2, x 3, x 4 ) T = t (,,, 0) T + s (, 2, 0, ) T, ur vilket följer att vektorerna 0 och 2 0 utgör en bas till N (A). Nu överför vi A T till reducerad trappstegsform med Gauss Jordans metod: A T = = Ũ Matrisen Ũ är på reducerad trappstegsform med trappstegsettor i kolonnerna och 2. En bas till R(A T ) erhålls genom att som basvektorer välja de kolonner i A T som svarar mot trappstegsettor i Ũ, dvs kolonnerna och 2 i A T. 2 De två vektorerna 2 och 2 0 utgör alltså en bas till R(AT ) 3 2 En bas till N (A T ) kan bestämmas enligt följande: I ekvationssstemet Ũ = 0 har vi endast en fri variabel 3 som vi sätter till t. Då ges den allmänna lösningen till Ũ = 0 (och därmed även till A T = 0 ) av = 2t, 2 = t, 3 = t, som kan skrivas (, 2, 3 ) T = t ( 2,, ) T, 2 ur vilket följer att vektorn utgör en bas till N (A T ). 2
3 Uppgift 2.(a) Vi har här ett LP-problem på standardformen där A = [ ] , b = minimera c T x då Ax = b, x 0, ( ) 6 och c 4 T = (2, 2,, 2, 2). Den givna startlösningen ska ha basvariablerna x och x 5, vilket innebär att β = (, 5) och ν = (2, 3, 4). [ ] [ ] Motsvarande basmatris ges av A β =, medan A 4 0 ν =. 3 2 Basvariablernas värden i baslösningen ges av x β = b, där vektorn b beräknas ur ekvationssstemet A β b = b, [ ] ) ( ) ) ( ) 0 4 ( b 6 ( b dvs =, med lösningen 4 0 b2 4 b.0 = =. b2.5 Vektorn med simplexmultiplikatorerna värden erhålls ur sstemet A [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T β = c β, dvs =, med lösningen = = Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ges ] av 2 3 r T ν = c T ν T A ν = (2,, 2) (0.5, 0.5) = (0,, 0). 3 2 Eftersom r ν2 = r 3 = är minst, och < 0, ska vi låta x 3 bli n basvariabel. Då behöver vi beräkna vektorn ā 3 ur sstemet A β ā 3 = a 3, [ ] ) ( ) ) 0 4 (ā3 2 (ā3 dvs =, med lösningen ā = = ā 23 2 ā 23 ( ) Det största värde som den na basvariabeln x 3 kan ökas till ges av { } { bi.0 t max = min ā i3 > 0 = min i ā i3 0.5,.5 } = = b. ā 3 Minimerande index är i =, varför x β = x inte längre får vara kvar som basvariabel. Dess plats tas av x 3. Nu är alltså β = (3, 5) och ν = (2,, 4). Motsvarande basmatris ges av A β = [ ] [ ] 0 3, medan A ν =. 3 4 Basvariablernas värden i baslösningen ges av x β = b, där vektorn b beräknas ur ekvationssstemet A β b = b, [ ] ) ( ) ) ( ) 2 4 ( b 6 ( b dvs =, med lösningen 2 0 b2 4 b 2.0 = =. b
4 Vektorn med simplexmultiplikatorerna värden erhålls ur sstemet A [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T β = c β, dvs =, med lösningen = = Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ges ] av 0 3 r T ν = c T ν T A ν = (2, 2, 2) (0.5, 0) = (.5, 2, 0.5). 3 4 Eftersom r ν 0 så är den aktuella baslösningen optimal. Därmed är punkten x = (0, 0, 2, 0, 0.5) T optimal. Optimalvärdet är c T x = 3. 2 Uppgift 2.(b) Om primala problemet är på standardformen minimera c T x då Ax = b, x 0, så är det duala problemet på formen: maximera b T då A T c, som utskrivet blir: maximera då 4 2 2, , , , 4 2. Det är välkänt att en optimal lösning till detta duala problem ges av vektorn med simplexmultiplikatorerna i optimala baslösningen i (a)-uppgiften, dvs = (0.5, 0) T. Kontroll: Man verifierar snabbt att är en tillåten lösning till det duala problemet ovan. Vidare är duala målfunktionsvärdet b T = = 3 0 = 3 = optimalvärdet till det primala problemet i (a)-uppgiften. Alltså är optimal till det duala problemet. 4
5 Uppgift 2.(c) Om man strker det andra bivillkoret i primala problemet så innebär det att det motsvarande reducerade duala problemet blir maximera 6 då 0 2, (dvs 0 2) 2, 2, (dvs /2) 3 2, (dvs 2/3) 4 2. (dvs /2) Optimal lösning till detta problem är = 0.5, med optimalvärdet 6 = 3. Men det medför att optimalvärdet till det reducerade primala problemet också måste vara = 3. Eftersom optimala primallösningen x = (0, 0, 2, 0, 0.5) T från (a)-uppgiften är tillåten även till det reducerade primala problemet, och fortfarande har målfunktionsvärdet c T x = 3, så är x = (0, 0, 2, 0, 0.5) T en optimal lösning även till det reducerade primala problemet! (Dock inte en baslösning till detta. Två optimala baslösningar till det reducerade primala problemet är x = (0, 0, 3, 0, 0) T och x = (0, 0, 0, 0,.5) T.) Uppgift 2.(d) Om man strker det första bivillkoret i primala problemet i (a)-uppgiften så innebär det att det motsvarande reducerade duala problemet blir maximera 4 2 då 4 2 2, (dvs 2 /2) 3 2 2, (dvs 2 2/3) 2 2, (dvs 2 /2) 2 2, (dvs 0 2) Optimal lösning till detta problem är 2 = 0.5, med optimalvärdet 4 2 = 2. Men det medför att optimalvärdet till det reducerade primala problemet också måste vara = 2. Men den optimala primallösningen x = (0, 0, 2, 0, 0.5) T från (a)-uppgiften har fortfarande målfunktionsvärdet c T x = 3, så den är inte optimal till reducerade primala problemet! (Två optimala lösningar är x = (0, 0, 2, 0, 0) T och x = (, 0, 0, 0, 0) T.) 5
6 Uppgift 3.(a) Flödesbalansvillkoren i de fem noderna kan skrivas Ax = b, där A = , b = , c = ( c 2, c 3, c 4, c 23, c 25, c 34, c 35, c 45 ) T = (, k, k,, k,, k, ) T. x = ( x 2, x 3, x 4, x 23, x 25, x 34, x 35, x 45 ) T, Här betecknar variabeln x ij flödet i bågen som går från nod i till nod j. Att bågarna är (enkel-)riktade ger kravet att x 0. Det är som bekant möjligt (och rekommendabelt) att strka en rad i A och motsvarande komponent i b för att få ett problem med linjärt oberoende rader i bivillkorsmatrisen. Vanligtvis strker man sista raden i A och sista komponenten i b. Uppgift 3.(b) Om x 2, x 23, x 34 och x 45 är basvariabler kan man beräkna värdet på en i taget av dessa med hjälp av flödesbalansvillkoren i noderna: x 2 = 30, pga flödesbalans i nod, x 23 = 50, pga flödesbalans i nod 2, x 34 = 50, pga flödesbalans i nod 3, x 45 = 5, pga flödesbalans i nod 4. Vi ser att flödesbalansvillkoret i nod 5 också blev uppfllt (eftersom problemet är balanserat). Uppgift 3.(c) Simplexmultiplikatorerna (eller nodpriserna ) i för de olika noderna kan bestämmas en i taget med hjälp av sambandet i j = c ij för alla basbågar, samt 5 = 0. Det ger att 5 = 0, (per definition) 4 = c = + 0 =, 3 = c = + = 2, 2 = c = + 2 = 3, = c = + 3 = 4. Därefter bestäms reducerade kostnaderna r ij för alla ickebasvariabler ur sambandet r ij = c ij i + j för alla ickebasbågar. Det ger att r 3 = c = k = k 2, r 4 = c = k 4 + = k 3, r 25 = c = k = k 3, r 35 = c = k = k 2. Vi ser att om k 3 så är den aktuella baslösningen från (b)-uppgiften optimal. Om k < 3 kan vi t ex låta x 4 = t, x 2 = 30 t, x 23 = 50 t, x 34 = 50 t och x 45 = 5. För t (0, 30 ] är detta en tillåten lösning med strikt minskande målfunktionsvärde då t växer, vilket visar att baslösningen från (b)-uppgiften inte längre är optimal om k < 3. 6
7 Uppgift 4.(a) 2 Målfunktionen är f(x) = 2 xt Hx + c T x, där H = 2 och c =. 2 c 3 LDL T -faktorisering av H ger att H = LDL T = Alla diagonalelement i D är 0 vilket medför att H är positivt semidefinit. Dock inte positivt definit eftersom ett diagonalelement i D är = 0. Uppgift 4.(b) Eftersom H är positivt semidefinit så är ˆx en minpunkt till f(x) om och endast om Hˆx = c, 2 x dvs om och endast om ˆx är en lösning till sstemet 2 x 2 =. 2 x 3 c 3 Gauss-Jordans metod ger att c c 3 2 Vi ser att om c 3 2 så saknar sstemet lösning (och då har f ingen minpunkt). Om c 3 = 2 så ges lösningsmängden av x(t) = (x (t), x 2 (t), x 3 (t)) T = (,, 0) T + t (,, ) T, där t är ett godtckligt tal. Samtliga dessa lösningar uppfller att f(x(t)) =. Uppgift 4.(c) Antag nu att c = (,, ) T. Då har f alltså ingen minpunkt. När en konvex kvadratisk funktion saknar minpunkt så finns det i stället (minst) en riktning d sådan att f(t d) då t. Vi söker en sådan riktning. Eftersom f(t d) = 2 t2 d T Hd + t c T d, så är d en sådan riktning om och endast om Hd = 0 och c T d < 0. En bas för nollrummet till H ges av vektorn (,, ) T (följer från (b)-upppgiften ovan), så med d = (,, ) T uppnår vi att Hd = 0 och c T d = 3 < 0. Nu blir f(t d) = 3t. Speciellt med x = 0 6 d = ( 0 6, 0 6, 0 6 ) T får vi att f(x) = <
8 Uppgift 4.(d) Vi har i denna deluppgift ett QP med likhetsbivillkor, dvs ett problem på formen minimera 2 xt Hx + c T x då Ax = b, där A = [ ], b =, H enligt ovan och c = (,, ) T. Allmänna lösningen till Ax = b, dvs till x + x 2 + x 3 =, ges av (x, x 2, x 3 ) T = (, 0, 0) T + t (,, 0) T + s (, 0, ) T, ur vilket följer att x = (, 0, 0) T är en tillåten lösning och Z = 0 är en 0 matris vars kolonner utgör en bas för nollrummet till A. Variabelbtet x = x + Zv, leder till att vi ska lösa sstemet (Z T HZ)v = Z T (H x + c), förutsatt att Z T HZ är åtminstone positivt semidefinit. [ 6 3 Vi får att Z T HZ = 3 6 ], som är positivt definit, och Z T (H x + c) = ( ) 3. 3 Sstemet (Z T HZ)v = Z T (H x + c) har då den unika lösningen ˆv = (/3, /3) T, vilket ger att ˆx = x + Zv = (/3, /3, /3) är unik optimal lösning till ursprungsproblemet. 8
9 Uppgift 5.(a) Låt f(x) = x 2 + x2 2 + (x 3 2) 2, g (x) = (x ) 2 + x x2 3, g 2(x) = x 2 + (x 2 ) 2 + x 2 3. Då kan Problem skrivas på formen: minimera f(x) då g i (x) 0 för i =, 2. Problem 2 kan skrivas på formen: maximera f(x) då g i (x) 0 för i =, 2, eller, ekvivalent, på formen: minimera f(x) då g i (x) 0 för i =, 2. KKT-villkoren för Problem : (KKT ) f x j + g x j + 2 g 2 x j = 0 för j =, 2, 3, dvs 2x + 2 (x ) x = 0, 2x x (x 2 ) = 0, 2(x 3 2) + 2 x x 3 = 0, (KKT 2) g i (x) 0 för i =, 2, dvs: (x ) 2 + x x2 3 0, x 2 + (x 2 ) 2 + x 2 3 0, (KKT 3) 0 och 2 0. (KKT 4) i g i (x) = 0 för i =, 2, dvs: ((x ) 2 + x x2 3 ) = 0, 2 (x 2 + (x 2 ) 2 + x 2 3 ) = 0. KKT-villkoren för Problem 2: Skriv Problem 2 på formen: minimera f(x) då g i (x) 0 för i =, 2. Då blir (KKT 2), (KKT 3) och (KKT 4) för Problem 2 identiska med (KKT 2), (KKT 3) och (KKT 4) för Problem, medan (KKT ) nu blir (KKT ) f x j + g x j + 2 g 2 x j = 0 för j =, 2, 3, dvs 2x + 2 (x ) x = 0, 2x x (x 2 ) = 0, 2(x 3 2) + 2 x x 3 = 0, 9
10 Uppgift 5.(b) För alla fra punkterna ( 2 x () = 3, 2 3, 2 ) T, x (2) = 3 ( 2 3, 2 ) T ( 3, 2, x (3) = 3 3, 3, 2 ) T ( och x (4) = 3 3, ) T 3, 2 3 gäller att g (x (k) ) = g 2 (x (k) ) = 0, så att såväl (KKT 2) som (KKT 4) är uppfllda. Vi behöver alltså bara undersöka (KKT ) och (KKT 3). Om x = x () så blir (KKT ) för Problem följande ekvationssstem i och 2 (efter multiplikation av såväl vänsterled som högerled med 3/2): 2 ( ) 2 2 = Detta sstem saknar lösning, så x () är ej en KKT-punkt till Problem. Om x = x (2) så blir (KKT ) för Problem följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 2 = Detta sstem har unik lösning = 2 = 2, som dock inte uppfller (KKT 3). x (2) är alltså ej en KKT-punkt till Problem. Om x = x (3) så blir (KKT ) för Problem följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 = Detta sstem har unik lösning = 2 =, som även uppfller (KKT 3). x (3) är alltså en KKT-punkt till Problem. Om x = x (4) så blir (KKT ) för Problem följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 = Detta sstem saknar lösning, så x (4) är ej en KKT-punkt till Problem. 0
11 Uppgift 5.(c) Även för Problem 2 gäller att de fra givna punkterna uppfller (KKT 2) och (KKT 4), så vi bara behöver undersöka (KKT ) och (KKT 3). För att spara arbete kan vi notera att de fra ekvationssstem i och 2 som vi ställde upp och löste i (b)-uppgiften ovan blir nästan likadana för Problem 2 som för Problem. Enda skillnaden är att högerleden bter tecken, vilket gör att varje eventuell lösning också bara bter tecken! Om x = x () så blir (KKT ) för Problem 2 följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 2 = Detta sstem saknar lösning, så x () är ej en KKT-punkt till Problem 2. Om x = x (2) så blir (KKT ) för Problem 2 följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 2 = Detta sstem har unik lösning = 2 = 2, som även uppfller (KKT 3). x (2) är alltså en KKT-punkt till Problem 2. Om x = x (3) så blir (KKT ) för Problem 2 följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 = Detta sstem har unik lösning = 2 =, som dock inte uppfller (KKT 3). x (3) är alltså ej en KKT-punkt till Problem 2. Om x = x (4) så blir (KKT ) för Problem 2 följande ekvationssstem i och 2 : 2 ( ) 2 = Detta sstem saknar lösning, så x (4) är ej en KKT-punkt till Problem 2.
12 Uppgift 5.(d) Såväl den kvadratiska målfunktionen [ ] f som de bägge kvadratiska bivillkorsfunktionerna g i 2 0 har andraderivatsmatrisen, som är en positivt definit matris. 0 2 För problem gäller alltså att både målfunktionen och bivillkorsfunktionerna konvexa, varför det betraktade problemet är ett konvext optimeringsproblem. Vidare uppfller exempelvis x = (0.5, 0.5, 0) T båda bivillkoren med strikt olikhet, så det betraktade problemet är ett regulärt konvext problem. Det betder att en punkt x (k) är en globalt optimal lösning till Problem om och endast om x (k) är en KKT-punkt. Eftersom x (3) är en KKT-punkt till Problem kan vi alltså dra slutsatsen att x (3) är en globalt optimal lösning till Problem. Däremot är ingen av de andra tre punkterna en global optimal lösning till Problem eftersom de inte är KKT-punkter till Problem. (Dessutom har de sämre målfunktionsvärden än x (3).) För Problem 2, skrivet som ett minimeringsproblem, [ ] gäller att den kvadratiska målfunktionen 2 0 -f har andraderivatsmatrisen, som är en negativt definit matris. 0 2 Målfunktionen i Problem 2, formulerat som minimeringsproblem, är alltså inte en konvex funktion, och därför kan vi inte dra någon slutsats om global optimalitet baserad på KKTvillkoren. Huruvida x (2) är en globalt optimal lösning till Problem 2 kan vi inte veta baserat på vår undersökning i (c)-uppgiften ovan. (I själva verket är x (2) en globalt optimal lösning till Problem 2, men det krävs en noggrannare anals än KKT-villkoren för att visa detta.) 2
Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08
Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,
Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that
Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015
Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O
Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.
Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk
Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa
1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Föreläsning 6: Nätverksoptimering
Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.
Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 14 1.(a) The considered problem may be modelled as a minimum-cost network flow problem with six nodes F1, F, K1, K, K3, K4, here called 1,,3,4,5,6, and
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Del A. Lösningsförslag, Tentamen 1, SF1663, CFATE,
Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Del A a Om matrisekvationen skrivs AXB C och matriserna A och B är inverterbara så kan ekvationen lösas genom att båda led vänstermultipliceras med A och högermultipliceras
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas i Matematiks svarta postlåda (SF) för inlämningsuppgifter,
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Examinator: Per Enqvist, tel: 790 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Amol Sasane, sasane@math.kth.se, Mikael Fallgren, werty@kth.se. Lämnas in till någon
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade
(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära
Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,
De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen
LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Linjer och plan (lösningar)
Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:
2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering
1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.
1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa
Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 2 Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 2 5B1817 2006/2007 Optimalitetsvillkor för ickelinjära programmeringsproblem
Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,
Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:
1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet
Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)
Tentamensinstruktioner
TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt
Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Extrempunkt. Polyeder
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas in till någon av oss senast tisdag 19 april
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
TNK049 Optimeringslära
TNK09 Optimeringslära Clas Rydergren ITN Föreläsning Simplemetoden på tablåform och algebraisk form Fas I (startlösning) Känslighetsanalys Tolkning av utdata Agenda Halvtidsutvärdering Simplemetoden (kap..8)
Tentamensinstruktioner
TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: 6 april 2018 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,
Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som
Linjärprogrammering Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som Minimera n j=1 c jx j x j 0 n j=1 a ijx j b i i =1, 2,...,m Variant: Vi kan vilja maximera istället. Vi kommer att studera
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF
Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 0 augusti 201 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12
1( 9) TENTAMEN Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 Provkod: TEN1 Kursnamn: Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p, betyg kräver
Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.
Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:
Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren
Optimeringslära för T (SF1861)
Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
TNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 3 Problemklassificering Global/lokal optimalitet Konvexitet Generella sökmetoder Agenda Problemklassificering (kap 1.4, 2.1 2.3) Lokalt/globalt optimum
A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 29 januari 2017 Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering Den första delen av laborationen
ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
RTNRMERADE BASER I PLAN (D) CH RUMMET (D) RTNRMERAT KRDINAT SYSTEM Vi säger att en bas i rummet e x e e z följande villkor är uppfllda: ( e x e i plan) är en ortonormerad bas om basvektorerna är parvis
3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t
SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.
Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Betrakta kvadratiska delmatriser av storlek n n, dar n m, och anvand induktion med avseende
Preliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: oktober 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Tentamensinstruktioner
TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: augusti 017 Tid: 8-1 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 1 p, betyg