Del A. Lösningsförslag, Tentamen 1, SF1663, CFATE,

Transkript

1 Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Del A a Om matrisekvationen skrivs AXB C och matriserna A och B är inverterbara så kan ekvationen lösas genom att båda led vänstermultipliceras med A och högermultipliceras med B, X A CB Matriserna A och B är inverterbara om det A och det B, dvs om och 5 5 b Vi har 5 55, 5 - c A [ -; - ; 5 ]; B [ -; - 5; -]; C [ -; - ; ]; X A\C/B a proj v u u v,,,, v,, + +,,,, v,, + + b proj v u u proj v u,,,,,, a En linje ligger i planet om en punkt på linjen tillhör planet och dess riktning är parallell med planet Från planets parameterform kan vi avläsa att en punkt i planet är P,, och en riktning parallell med planet är u,, Eempelvis ligger alltså linjen i planet,, z,, + s,, b För att bestämma en ekvation för planet behöver vi en punkt P i planet och en normalvektor n till planet Från planets parameterform avläser vi att P,, är en punkt i planet och u,, och v,, är två vektorer parallella med planet En normal till planet får vi genom att ta krssprodukten av u och v, n u v e e e z En ekvation för planet är då n,, z OP, dvs,,, 5,, 5,,, z,, 5 + z vilket förenkas till + 5 z

2 Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Sida c Punkten,, ligger i planet om den uppfller planets ekvation Vi har att vilket visar att punkten ligger i planet + 5 +, a Triangeln har hörnpunkter i,,, och, Dessa hörnpunkter avbildas till punkterna A, A, A och den linjära avbildningen kommer avbilda kantlinjerna på kantlinjer mellan hörnpunkternas bildpunkter 5, b När triangeln avbildas med den linjära avbildningen som har matrisen A så kommer arean av bildtriangeln vara lika med arean av den ursprungliga triangeln multiplicerat med det A Arean av triangeln är och arean av bildtriangeln är därför Area basen höjden ae ae Del B 5 Det linjära ekvationssstemet har eakt en lösning om och endast om determinanten av vänsterledets koefficientmatris är nollskild Eftersom a a a a - har alltså sstemet eakt en lösning när a När a har vi det linjära ekvationssstemet + + z + + z + + z b

3 Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Sida som vi löser med gausseliminering, b b - b Om b, dvs b, så saknar sstemet lösning Om b, dvs b, så avläser vi parameterlösningen t t parameter z t a Om mätvärdena sätts in i de två modellerna får vi de överbestämda linjära ekvationssstemen + U + U resp + U + U eller i matrisform resp Motsvarande normalekvationer får vi genom att vänstermultiplicera båda led med transponatet av vänsterledets koefficientmatris Det första sstemets normalekvation blir U vilket ger ekvationen 5 Det andra sstemets normalekvation blir U vilket ger ekvationssstemet 5 U b Löser vi normalekvationerna får vi lösningarna 5,9 resp 5, U,

4 Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Sida Ett sätt att mäta hur väl lösningarna anpassar till mätvärdena är att stoppa in dem i det ursprungliga ekvationssstemet,9 resp,, fltta över allt i vänsterledet,,,,, resp,,,9,5, och bestämma längden av vänsterledet,, +, +, +,,,, +, +,9 +,5, Eftersom dessa storheter är ungefär lika stora är det svårt att dra någon slutsats om vilken modell som är lämpligast U U,9 I U, I +, I c Modellen U I är ett specialfall av modellen U I + U Det betder att alla anpassningar av modellen U I till mätvärdena duger också som en anpassning av modellen U I + U till mätvärdena genom att helt enkelt välja samma och U Den bästa möjliga anpassningen av modellen U I + U till mätvärdena måste alltså vara minst lika bra som den bästa anpassningen av modellen U I till mätvärdena a Antag att ett plan som varken skär l eller m har ekvationen a + b + cz d där a, b, c och d är konstanter Eftersom linjen l inte ska skära planet så ska ingen punkt på l uppflla planets ekvation, dvs a + t + b + t + c t d oavsett värdet på t Vi kan skriva denna olikhet som a + c d + t a + b c

5 Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Sida 5 och om detta ska vara uppfllt för alla t så måste a + c d, a + b c Samma sak gäller planet m : Ingen punkt på linjen m ska uppflla planets ekvation, dvs a + t + b + t + c + t d oavsett värdet på t Vi skriver om olikheten som Denna olikhet är uppflld för alla t om b + c d + t a + b + c b + c d, a + b + c Sambanden och ger ett linjärt ekvationssstem i a, b och c som vi löser med gausseliminering, Vi avläser lösningarna till a, b, c s,,, s parameter Alla plan som varken skär l eller m har alltså en normalvektor a, b, c som är parallell med vektorn,, b Antag att det sökta planet har ekvationen + z d, där d är en konstant Eftersom linjen l är parallell med det sökta planet ges det kortaste avståndet av d projn PQ, där P är en punkt på planet, Q en punkt på linjen l och n,, är planets normalvektor Väljer vi te så får vi P d,, och Q,, d PQ n d + + d n + + På samma sätt ges det kortaste avståndet mellan m och planet av d projn P, där är en punkt på linjen m, te,, Vi får att d P n n d d Avstånden d och d är lika när d Det sökta planet är alltså + z

6 Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Sida Vi börjar med att betrakta vektorsumman OP + + OP, där O, Vektorerna i denna summa kan delas upp i par av vektorer som är lika långa men har motsatt riktning: OP, OP, OP, OP,, OP, OP OP OP OP OP Därmed är OP + + OP OP + OP + OP + OP + + OP + OP Varje vektor QP i kan skrivas som en summa av två vektorer genom att gå via origo, QP i QO + OP i OQ + OP i QPi OP i QO Därmed blir QP + + QP OQ + OP + OQ + OP + + OQ + OP OQ + OP + + OP OQ +,,