Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.
|
|
- Christoffer Larsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..15 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = ( 1, 1) och har riktningskoefficient k = 1. P..17 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (0, b) och har riktningskoefficient k =. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen Linjens ekvation kan vi skriva som = + m, = k + m, där k är linjens riktningskoefficient (eller lutning), och som är lika med 1 enligt uppgiftsteten. För att bestämma konstanten m använder vi att linjen går genom punkten P = ( 1, 1), vilket betder att linjens ekvation ska vara uppflld i punkten P, = + och m bestäms med villkoret att punkten (0, b) uppfller linjens ekvation, d.v.s. b = 0 + m m = b. Linjens ekvation är = + b. b 1 = 1 ( 1) + m m =. ( 1, 1) Linjens ekvation är alltså = +. P..18 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (a, 0) och har riktningskoefficient k =. P..16 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, ) och har riktningskoefficient k = 1. Linjens ekvation är = + m. En linje med riktningskoefficient 1 har ekvationen = 1 + m. Konstanten m bestämmer vi med villkoret att linjen går genom punkten P = (, ), = 1 + (, ) Eftersom punkten (a, 0) ligger på linjen ska den uppflla linjens ekvation, d.v.s. 0 = a + m m = a. Alltså är linjens ekvation = + a. a = 1 ( ) + m m =. Linjens ekvation är = 1 +.
2 P..19 Ligger punkten P = (, 1) på, ovanför eller under linjen + = 6. Punkten P = (, 1) ligger på linjen om den uppfller linjens ekvation, + 1 = 4 + = 7 6. Alltså ligger P inte på linjen. Punkten P ligger ovanför linjen om P har större -koordinat än linjen då =. Eftersom linjen har -koordinat = 6 = { = } = 6 = < 1 ligger punkten P ovanför linjen. P Eftersom punkterna (0, 0) och (, ) ska ligga på linjen måste de uppflla linjens ekvation, 0 = k 0 + m = m (1) = k + m () Från (1) får vi att m = 0. Detta insatt i () ger att k =. Alltså är linjens ekvation =. (, ) P..0 Ligger punkten P = (, 1) på, ovanför eller under linjen 4 = 7. (0, 0) Punkten P = (, 1) ligger på linjen om den uppfller linjens ekvation, 4 ( 1) = + 4 = 7. Alltså ligger P på linjen. P 4 = 7 P.. Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (, 1) och (, ). P..1 Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (0, 0) och (, ). Eftersom punkterna (0, 0) och (, ) inte ligger ovanför varandra (punkterna har inte samma -koordinat) är linjen inte lodrät, och kan skrivas i formen = k + m. Punkterna ligger inte ovanför varandra så linjen är inte lodrät och vi kan skriva linjens ekvation som = k + m, där k och m är konstanter som vi ska bestämma.
3 Eftersom punkterna ska ligga på linjen måste de uppflla linjens ekvation, 1 = k ( ) + m, (1) = k + m. () Om vi adderar (1) och () så får vi 1 = m m = 1. Subtraherar vi (1) med () får vi (, 1) = 4k k = 4. Linjens ekvation är därmed = 4 1. (, ) P..4 Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (, 0) och (0, ). Punkterna ligger inte rakt ovanför varandra så linjen är inte lodrät, och kan därför skrivas i formen = k + m. Punkterna ska ligga på linjen och därmed uppflla linjens ekvation 0 = k ( ) + m, (1) = k 0 + m. () (0, ) = + = 4 1 Från () får vi att m =. Detta insatt i (1) ger (, 0) 0 = k + k = 1. P.. Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (4, 1) och (, ). Linjens ekvation är = +. Eftersom punkterna inte ligger ovanför varandra så är linjen inte lodrät och vi kan skriva linjens ekvation i formen = k + m. Punkterna (4, 1) och (, ) ska ligga på linjen och måste därför uppflla linjens ekvation P..5 Bestäm en ekvation för den linje med lutning och som skär -aeln i. Om vi från (1) löser ut m = 1 4k och stoppar in det i (), så får vi 1 = k 4 + m, (1) = k ( ) + m. () Eftersom linjens lutning är given vet vi att linjens ekvation kan skrivas som = + m, = k + 1 4k = 1 6k k = 1. Detta insatt i (1) ger 1 = ( 1 ) 4 + m m = 7. (, ) = (4, 1) där m är en konstant som vi ska bestämma. Det andra villkoret är att = då = 0, d.v.s. = 0 + m m =. = + Alltså är linjens ekvation = Alltså är linjens ekvation = +.
4 P..6 Bestäm en ekvation för den linje med lutning 1 och som skär -aeln i. Eftersom linjens lutning är 1 kan linjens ekvation skrivas som kan vi direkt avläsa att lutningen är 4. Eftersom vi vet två punkter på linjen, (4, 0) och (0, ), så är den sökta linjen den linje som förbinder de två punkterna. = 1 + m. När linjen skär -aeln gör den det i punkten (0, ), och den punkten måste då uppflla linjens ekvation, = m m =. (0, ) (4, 0) Linjens ekvation är = 1. = 1 P..7 Bestäm var linjen + 4 = 1 skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. P..8 Bestäm var linjen + = 4 skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. En punkt ligger på -aeln om dess -koordinat är noll. Den punkt på linjen som skär -aeln måste alltså uppflla = 1 = 4. Punkten (4, 0) är alltså skärningspunkten mellan linjen och -aeln. På motsvarande sätt ligger en punkt på -aeln om dess -koordinat är noll. Skärningspunkten mellan linjen och -aeln måste alltså uppflla = 1 =. Alltså är (0, ) den sökta skärningspunkten. Genom att skriva om linjens ekvation i standardform, + 4 = 1 = 4 +, Skärningspunkten med -aeln ( = 0) ges av + 0 = 4 = 4, d.v.s. skärningspunkten är ( 4, 0). Skärningspunkten med -aeln ( = 0) ges av 0 + = 4 =, d.v.s. skärningspunkten är (0, ). Vi skriver linjens ekvation i standardform = 1 och kan avläsa att linjens lutning är 1.
5 En skiss av linjen får vi genom att förbinda punkterna ( 4, 0) och (0, ) med en rät linje. Eftersom linjen förbinder punkterna (, 0) med ( 0, ) har linjen följande utseende. ( 4, 0) (0, ) ( ) 0, (, 0) P..9 Bestäm var linjen = skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då 0 = =. Skärningspunkten med -aeln är alltså (, 0). Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då 0 = =. Skärningspunkten med -aeln är alltså ( 0, ). Skriver vi linjens ekvation i standardform ser vi att linjens lutning är. = P..0 Bestäm var linjen 1,5 = skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då 1,5 0 = =. Skärningen med -aeln sker alltså i punkten (, 0). Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då 1,5 0 = =. Skärningen med -aeln sker alltså i punkten ( 0, ). Skriver vi linjens ekvation i standardform så ser vi att linjens lutning är 0,75. = 0,75 +
6 Eftersom linjen förbinder punkterna (, 0) och ( 0, ) får vi följande skiss. Vi ritar upp linjerna. = + (, 0) ( ) 0, P = 1 = + P..1 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, 1) och är a) parallell med linjen = +, b) vinkelrät mot linjen = +. a) Eftersom linjen ska vara parallell med linjen = + ska den ha samma lutning 1. Vår linje har alltså ekvationen = + m. Eftersom vår linje går genom punkten (, 1) ska denna punkt uppflla linjens ekvation, 1 = + m m = 1. Vår linje har alltså ekvationen = 1. b) Eftersom linjen ska vara vinkelrät mot linjen = + ska den ha en lutning som är 1 1 = 1 (se sidan 15 i kursboken). Vår linje har alltså ekvationen = + m. Eftersom linjen ska gå genom punkten (, 1) ska denna punkt uppflla linjens ekvation, Vår linje har alltså ekvationen 1 = + m m =. = +. P.. Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, ) och är a) parallell med linjen + = 4, b) vinkelrät mot linjen + = 4. a) En linje som är parallell med + = 1 = + 4 ska ha samma lutning, d.v.s. ha en ekvation i formen = + m. Eftersom punkten (, ) ska ligga på den sökta linjen måste (, ) uppflla linjens ekvation Vår linje är =. = ( ) + m m =. b) Vår linje ska vara vinkelrät mot = + 4 och måste därför har lutningen 1 = 1 (se sidan 15 i kursboken). Den sökta linjen har alltså ekvationen = 1 + m.
7 Eftersom punkten (, ) ska ligga på vår linje måste (, ) uppflla linjens ekvation Linjens ekvation är = 1 +. = 1 ( ) + m m =. P..4 Bestäm skärningspunkten mellan linjerna + = 8 och 5 7 = 1. Skärningspunkten ligger på båda linjerna och uppfller därför båda linjernas ekvationer + = 8, (1) 5 7 = 1. () = 1 + P Från (1) löser vi ut, = 8, () = + 4 och stoppar in i (), = () ger nu att 5 7(8 ) = 1 =. = 8 =. P.. Bestäm skärningspunkten mellan linjerna + 4 = 6 och = 1. Skärningspunkten är alltså (, ). Skärningspunkten ligger på båda linjerna och uppfller därför båda linjernas ekvationer Från (1) löser vi ut, och stoppar in i (), () ger nu att Alltså är skärningspunkten (, ). + 4 = 6, (1) = 1. () = 4, () ( 4 ) = 1 =. = = 4 ( ) =. P..7 Bestäm skärningen med -aeln för den linje som går genom punkterna (, 1) och (, 1). Vi bestämmer först linjens ekvation. Om vi skriver linjens ekvation som = k + m, då ska (, 1) och (, 1) uppflla ovanstående samband () (1) ger att k =. Detta insatt i (1) ger att 1 = k + m, (1) 1 = k + m. () 1 = + m m = 5.
8 Alltså är linjens ekvation = + 5. Linjen skär -aeln då = 0 med -värdet P..4 Visa att punkterna A = (, 1), B = (1, ) och C = (, ) bildar tre hörnpunkter i en kvadrat, och bestäm den fjärde hörnpunkten. = = 5, d.v.s. (0, 5) är den sökta skärningspunkten. Vi ritar upp de tre punkterna. B P..4 Visa att triangeln med hörn i A = (0, 0), B = (1, ) och C = (, 0) är liksidig. C Vi ritar först upp hörnpunkterna. A B För att de tre punkterna ska vara hörnpunkter i en kvadrat krävs att 1. avståndet mellan A och B är lika med avståndet mellan B och C, och att A Vi ska visa att avståndet mellan C. kantlinjen mellan A och B är vinkelrät mot kantlinjen mellan B och C. Vi visar att dessa villkor är uppfllda. 1. Avståndet mellan A och B är ( 1) + ( 1 ) = = A och B,. A och C, samt Avståndet mellan B och C är (1 ( ) ) + ( ) = = 17.. B och C är lika. Avståndsformeln ger att 1. avstånd = (0 1) + (0 ) = 1 + =,. avstånd =. avstånd = (0 ) + (0 0) = 4 =, (1 ) + ( 0) = 1 + = vilket visar att sidorna i triangeln är lika långa.. För att visa att kantlinjerna är vinkelräta bestämmer vi ekvationer för kantlinjerna i formen Linjerna är vinkelräta om = k 1 + m 1 och = k + m. k 1 k = 1. Linjen genom punkterna A och B har lutningen k 1 = = 1 1 = 4. ( )
9 Linjen genom punkterna B och C har lutningen k = = 1 ( ) = 1 4. Alltså är k 1 k = = 1, vilket visar att kantlinjerna är vinkelräta. Den fjärde hörnpunkten får vi som skärningspunkt mellan 1. kantlinjen som är parallell med AB och går genom punkten C, och. kantlinjen som är parallell med BC och går genom punkten A. Den fjärde hörnpunkten uppfller båda dessa kantlinjers ekvationer = 4 10, (1) = 1 4. () (1) () ger 0 = =. Detta insatt i (1) ger C B A = 4 ( ) 10 =. Den fjärde hörnpunkten är alltså (, ). B C Vi bestämmer först ekvationerna för dessa kantlinjer 1. Eftersom linjen genom A och B har lutningen 4 har den parallella kantlinjen genom C ekvationen = 4 + m. Punkten C ligger på kantlinjen och uppfller därför linjens ekvation = 4 ( ) + m m = 10. Kantlinjens ekvation är alltså = (, ) A. Eftersom linjen genom B och C har lutning 1 4 genom A ekvationen har den parallella kantlinjen = m. Punkten A ligger på kantlinjen och uppfller därför linjens ekvation 1 = m m =. Kantlinjens ekvation är alltså = 1 4.
10 P..49 För vilka värden på k är linjen + k = a) vinkelrät mot linjen 4 + = 1? b) parallell med linjen 4 + = 1? a) Vi skriver de två linjerna i standardform = k + k, (1) = 4 + 1, () förutsatt att k 0. De två linjerna är vinkelräta om produkten av deras lutningar är 1, d.v.s. k ( 4) = 1 k = 8. Om k = 0 är den första linjen lodrät och inte vinkelrät mot 4 + = 1. b) De två linjerna är parallella om de har samma lutning, d.v.s. (om k 0) Om k = 0 är linjerna inte parallella. k = 4 k = 1.
vilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Del A. Lösningsförslag, Tentamen 1, SF1663, CFATE,
Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Del A a Om matrisekvationen skrivs AXB C och matriserna A och B är inverterbara så kan ekvationen lösas genom att båda led vänstermultipliceras med A och högermultipliceras
Funktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Räta linjens ekvation & Ekvationssystem
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35
Kompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Ma B - Bianca Övning lektion 1. Uppgift nr 10. Uppgift nr 1 Givet funktionen f(x) = 4x + 9 Beräkna f(6) Rita grafen till ekvationen.
Ma - ianca 2011 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() = + 9 eräkna f(6) Uppgift nr 2 Givet funktionen f() = 5 + 3 eräkna f(7) Uppgift nr 3 Givet funktionen f() = -5 + 5 eräkna f(-3) Uppgift nr 10 Rita grafen
2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4 P.4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen f() = +. så ser vi att den har värdemängden [0, ). Eftersom funktionen G har utseendet någonting där
z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av delar av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.
Lektion 13, Flervariabelanals den 15 februari 2 15.1.2 Skissera vektorfältet och bestäm dess fältlinjer. F, = e + e I varje punkt, har vektorfältet en vektor med komponenter,, d.v.s. vektorn utgående från
Den räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.
vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste
= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Övningar till kapitel 1
Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g)
Den räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson
Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson a) 9t u 9v b) a + c + 7 a) p + r b) c + b c) a c a) b) c) 8 d) e) f) 00 h) a) 0 z 8 b) 7a b c c) p q 9 r s a) 7 b) 8a 8 b 7 c c) a p b 7p a)
Repetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Explorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Linjer och plan (lösningar)
Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Linjär algebra, HF94 eempel Datum: Skrivtid: 4 timmar Eaminator: Armin Halilovic För godkänt betg krävs av ma 4 poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng. Komplettering:
Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Fler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Räta linjer. Ekvationssystem. Att hitta räta linjens ekvation ifrån olika förutsättningar. 1.1 Hitta en rät linjes ekvation utifrån en ritad graf.
Översikt inför provet om räta linjer och ekvationssystem Denna finns digitalt med tillhörande länkar på http://www.thelberg.com/ma2b/prov1 eller via QR-koden nedan: Räta linjer Att hitta räta linjens ekvation
Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Kvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Träningsprov funktioner
Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer
Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
TENTAMEN. Matematik för basår I. Stenholm :00-12:00
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: TENTAMEN HF00 Matematik för asår I TENA /TEN Tekniskt asår Niclas Hjelm, Philip Köck & Jonas Stenholm Niclas Hjelm 08-0-5 08:00-:00 Eaminator: Datum: Tid:
Lösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0
Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) En TV reparatörs arbete kostar kronor, där antalet arbetstimmar. y = 200 + 150x x = a) Ange och tolka den linjära funktionens
Parabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Förändringshastighet ma C
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)
TENTAMEN 7-Okt-4, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjär algebra, 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF6 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats: Campus
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN
freeleaks NpMaB vt000 1() Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 000 Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
RTNRMERADE BASER I PLAN (D) CH RUMMET (D) RTNRMERAT KRDINAT SYSTEM Vi säger att en bas i rummet e x e e z följande villkor är uppfllda: ( e x e i plan) är en ortonormerad bas om basvektorerna är parvis
Parabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Sidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
MATEMATIK 5 veckotimmar
EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa
Formelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Kvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Planering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Vektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok
Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad
Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
4Funktioner och algebra
Funktioner och algebra Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: känna till begreppet funktion kunna tolka och räkna med enkla funktioner kunna multiplicera in i parentesuttrck kunna förenkla
5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
Sidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.
OPTIMERING PÅ ICKE-KOMPAKTA OMRÅDEN. Låt f,..., ) vara en reell funktion med en icke-kompakt definitionsmängd D. ( n Eistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. För att bestämma
NpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4
freeleaks NpMaB ht000 () Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 000 Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar 7 Del
Matematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Tentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Explorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Sidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 9-3-7 kl 8.3-1.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Fall 1. En kurva definierad för positiva x roterar kring z-axeln.
Rotationstor ROTATIONSYTOR Rotationsta är en ta som uppstår genom att en plan kurva roterar ett varv runt en given ael i det tredimensionella rummet. Här betraktar vi rotationer runt aeln. Fall 1. En kurva
Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.
Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består