Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Transkript

1 Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345, b) 4941 och 463 Mat 1 α, aug 01:1. a) Förkorta bråket så långt som möjligt. b) Hur vet man att ekvationen y = 161 saknar heltalslösningar (,y)? Mat 1 α, april 0:1 3. Avgör om följande diofantiska ekvationer har lösningar och ange i så fall samtliga lösningar. a) y = 1. b) 5 + 9y = Lös den diofantiska ekvationen 5. Lös den diofantiska ekvationen 6. Lös den diofantiska ekvationen y = y = y = 34. Mat 1 α, mars 00: Mat 1 α, dec 98:1 Mat 1 α, aug 99: Mat 1 α, nov 00:4 1

2 7. Lös den diofantiska ekvationen y = 47. Ange särskilt de lösningar (,y), för vilka > 0 och y > 0. Mat 1 α, okt 01: 8. Bestäm alla heltal och y som uppfyller y = Bestäm alla par (,y) av heltal sådana att 10. Finn alla heltalslösningar till systemet y = { + 17y 11z = 8 + 4y + z = Ange det minsta positiva heltal c, för vilket den diofantiska ekvationen y = 7 93c Alg 1, nov 95:7 Mat 1 α, nov 03:6 Alg 1, april 91:6 har en lösning (,y). Ange för detta värde på c samtliga lösningar (,y). Mat 1 α, aug 00:7 Induktion och kombinatorik 1. Visa att 1 + ( ) + ( + ) ( n 1 + (n 1) ) = ( n (n 1) ) för n =,3,... Mat 1 A, okt 97:3 13. Visa att n 3 n = (n 1) 3n för varje positivt heltal n. Mat 1 β, dec 99: 14. Visa att n n = + n n för varje positivt heltal n. Mat 1 β, jan 00: 15. Visa att n k=1 k(k + ) = 3 1 n n +, n = 1,,3,.... Mat 1 β, aug 03:1

3 16. Visa att n k=1 1 k(k + 1)(k + ) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + ), n = 1,,3,.... Mat 1 β, jun 03:1 17. Visa att ( 3 3 ) + ( 4 3 ) ( ) ( n ) = ( n 4 ) för n = 4,5,6,.... Mat 1 A, mar 97:3 18. Bevisa att ( ) + ( 3 ) ( 4 + ) ( n ) > n3 6 för n = 1,,3,.... Mat 1 A, apr 97:4 19. Visa att n k=1 ( m + k 1 k k ) ( m + n = m n 1 för alla positiva heltal m och n. Mat 1 β, maj 01:6 0. Hur många tal mellan och finns det som, utskrivna på vanligt sätt, dvs. i tiosystemet, innehåller eakt fyra 4-or? Mat 1 A, mar 98: Komplea tal 1. a) Rita mängden av komplea tal z som uppfyller olikheten z + i z 1. b) Ange absolutbeloppet av det komplea talet ( 3 + i) 13 (1 i) 7. c) Ange argumentet av det komplea talet ( 3 + i) 13 (1 i) 7. ) Alg 1, jan 9:. Bestäm realdelen av ( 3 + i) 100. Mat 1 α, nov 00:1 3. Rita i det komplea talplanet mängden M av alla komplea tal z sådana att z och Re z. Ange alla värden arg z antar då z M. Mat 1 α, okt 98: 4. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + i 1. Ange också det största värdet av z då z M. Mat 1 α, mars 00:1 3

4 5. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + och Re z = 3. Ange också vilka värden arg z antar då z M. Mat 1 α, nov 99:3 6. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z i < och Im z = 1. Ange också vilka värden arg z antar då z M. Mat 1 α, nov 99:3 7. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + 1 i 1. Ange också vilka värden argumentet av z antar då z M. Mat 1 α, okt 0:1 8. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z 1 + i 1. Ange också vilka värden z antar då z M. Mat 1 α, nov 0:1 9. Rita i det komplea talplanet mängden M av alla komplea tal z sådana att z 1 1 och z 1 i 1. Ange alla värden Im z antar då z M. Mat 1 α, dec 98:5 30. Ange vilka värden arg z antar då det komplea talet z är sådant att z = och Im z = 1. Ange också värdet av tan π 1. Mat 1 A, nov 98:6 31. Skriv det komplea talet 1 + i i på formen a + ib samt ange dess argument i grader. Använd detta för att visa att 3. Låt θ vara ett godtyckligt reellt tal. tan 15 = 3. Alg 1, aug 89:5 a) Visa att cos 5θ = 16cos 5 θ 0cos 3 θ + 5cos θ. b) Använd resultatet ovan för att bestämma cos π 10. Alg 1, apr 95:8 33. Låt z, w vara två komplea tal som uppfyller w = (z i)/(z +i). Visa att Im z > 0 om och endast om w < 1. Alg 1, jan 97:8 34. Visa att z 1+z < 1 om och endast om Re z > 1 4. Alg 1, nov 94:8 35. Visa att z + 4 z är reellt om z är ett komplet tal, sådant att z =. Mat 1 α, mar 99:6 4

5 36. För vilka komplea tal z är z + 1 z rent imaginärt? Alg 1, maj 9:3 37. Antag att Re z 4 z = 0, där z är ett komplet tal 0. Visa att då gäller z = eller Re z = 0. Alg 1, jan 95:5 38. Visa att mängden M = {z; z z (1 i)z (1 + i) z + = 0} är en cirkel i det komplea talplanet. Ange cirkelns medelpunkt och radie. Alg 1, apr 90:7 39. Vi identifierar de komplea talen med punkter i planet på vanligt sätt. Visa att de punkter, vilkas avstånd till i är dubbelt så stort som deras avstånd till i, är precis de punkter, vilkas avstånd till 3i är lika med. Alg 1, apr 9:7 Polynom och deras nollställen 40. Bestäm på formen a + ib lösningarna till ekvationen z (3 + i)z i = 0. Mat 1 α, aug 03: 41. Lös ekvationen ( + i)z + (8 11i)z 5 5i = 0. Alg 1, maj 91:4 4. Bestäm det komplea talet A så att ekvationen z 4z + A = 0 får roten 1 + i. Bestäm sedan också den andra roten till ekvationen. Mat 1 α, nov 99:1 43. Lös ekvationen z 3 = 1 i 1 + i. Alg 1, aug 90:4 44. För vilka komplea tal z och w är z + (4 4i)z 16i = 0 och w 8 + (4 4i)w 4 16i = 0? Svaren skall anges på polär form. Mat 1 α, okt 98:4 45. För vilka komplea tal z är z 4 8iz 5 = 0? Mat 1 A, nov 97:3 46. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, okt 04:1 5

6 47. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, aug 04:3 48. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, mar 01:1 Mat 1 α, apr 01:1 50. Låt P() var ett polynom som vid division med ( 1) ger resten 5 och vid division med ( + 1) ger resten 3. Vilken rest ger P() vid division med ( 1)? Mat 1 A, apr 98:6 51. Polynomet P() ger vid division med ( 1) resten 1, vid division med ( ) resten och vid division med ( 3) resten 3. Vilken rest ger P() vid division med ( 1)( )( 3)? Mat 1 α, apr 03:6 5. Resten vid division av polynomet p() med z 3 + z + z + 1 är z z + 1. Vidare är p(1) =. Bestäm resten vid division av p(z) med z 4 1. Mat 1 α, apr 00:6 53. Polynomet p(z) ger resten z+3 vid division med z 1 och resten z 1 vid division med z + 1. Ange resten vid division av p(z) med z 4 1. Mat 1 α, nov 03:6 54. Bestäm resten vid polynomdivision av z z med a) z 1, b) z 4 1. Mat 1 α, mar 00:6 55. För vilka positiva heltal n är polynomet 3n n + n 1 delbart med polynomet 3 + 1? Mat 1 α, aug 0:6 56. Polynomen f(z) = z z och g(z) = z 5 z 4 + z 4z har ett gemensamt nolställe. Lös ekvationen g(z) = 0. Alg 1, apr 90:5 57. De två ekvationerna z 4 + z 3 + 5z + 4z + 4 = 0 och z 4 + z 3 + 3z + z + = 0 har minst en gemensam rot. Lös bägge ekvationerna fullständigt. Mat 1 α, nov 00:5 58. Visa att z = 1 är en rot till ekvationen z 3 + (1 4i)z (13 6i)z + 11 i = 0. Lös ekvationen fullständigt. Alg 1, nov 90:4 6

7 59. Visa att i är en rot till ekvationen z 3 + ( 3 + i)z + (3 i)z 1 + 3i = 0, samt bestäm de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, mar 0:5 60. Verifiera att ekvationen z 4 (3 + i)z 3 + ( + 3i)z (3 + i)z i = 0 har rötterna ±i samt bestäm därefter de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, apr 0:5 61. Visa att z = i är en dubbelrot till ekvationen z 4 ( + 4i)z 3 + ( i)z + ( + i)z 10i. Lös sedan ekvationen fullständigt. Alg 1, apr 93:5 6. Talet i är ett nollställe till polynomet p(z) = z 4 (6 + i)z 3 + (11 + 6i)z (6 + 11i)z + 6i. Lös ekvationen p(z) = 0. Alg 1, aug 95:1 63. Ekvationen z 4 z 14z 10 = 0 har roten z = 1 + i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, mar 99:1 64. Ekvationen z 4 8z z 98z = 0 har roten z = 3 + 5i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 A, mar 98:3 65. Ekvationen z 4 6z z 18z + 10 = 0 har roten z = 1 + i. Visa att detta är sant samt lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, aug 99:4 66. Ekvationen z 5 7z 4 + 9z 3 57z + 60z 6 = 0 har rötterna z = 1 och z = 1 + i. Bestäm övriga rötter. Mat 1 α, nov 03: 67. Ekvationen z 3 (5 3i)z 15iz i = 0 har en reell rot. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, okt 01:5 68. Ekvationen z 3 + (3 + 5i)z + 15iz i = 0 har en rent imaginär rot z = iy, där y är reellt. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, nov 01:5 69. Lös ekvationen z 4 z 3 8iz + 8i = 0. Mat 1 α, dec 98:3 7

8 70. Visa att om z 4 + 3z 3 z + 3z + 1 = 0 och w = z + 1 z så är w + 3w 4 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, okt 0:4 71. Lös z 4 3z 3 z 3z + 1 = 0 t e genom att först multiplicera ekvationen med z och sedan införa w = z + z 1. Mat 1 α, nov 0:4 7. Visa att om z 4 6z 3 + 6z + 6z + 1 = 0 och w = z z 1 så är w 6w + 8 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, aug 01:4 73. Lös ekvationen 74. Visa först att om z 10 + z 8 + z 6 + z 4 + z + = 0. p(z) = z 4 + 3z = (z az + b)(z + az + c) Alg 1 aug 89:7 så är a 6 + 8a 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. Mat 1 A, mar 97:5 75. Visa först att om p(z) = z 4 + 4z + 3z + 4 = (z az + b)(z + az + c) så är a 6 + 8a 4 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. Mat 1 A, apr 97:5 76. Visa att om t = ( 5 + ) 1/3 ( 5 ) 1/3 så är t 3 = 4 3t. Använd detta för att bestämma värdet av t. Mat 1 α, okt 04:6 77. Visa att om z = ( 1 + i 3 ) ( ) 1/3 + ( 1 i 3) (10 108) 1/3 så är z 3 = 0 6z. Använd detta för att bestämma värdet av z. Mat 1 α, nov 99:7 Enkla olikheter 78. För vilka reella tal är +1 > +1? Mat 1 A, okt 97:1 79. För vilka reella tal är +1 > +1? Mat 1 A, nov 97:1 80. För vilka reella är 81. För vilka reella är För vilka reella tal är För vilka reella tal är? Mat 1 α, okt 04:? Mat 1 α, nov 04: > 1? Mat 1 α, okt 98:1 1 1? Mat 1 α, nov 98: 8

9 84. Lös olikheten < Mat 1 α, nov 99: 85. Lös olikheten < Mat 1 α, nov 99: Enkla gränsvärden 86. Beräkna 87. Beräkna 88. Beräkna lim sin. lim 0 lim ln(1 + sin 3) Mat 1 A, mar 96: Mat 1 α, nov 00:3 Mat 1 A, apr 96: 89. Beräkna lim 0 e e. Mat 1 A, aug 96: 90. Beräkna gränsvärdet av ( + 1) både då och då 0. Mat 1 A, mar 97: 91. Beräkna gränsvärdet av ( + 1) både då och då 0. Mat 1 A, apr 97: 9. Sätt f() = ln 1 + då > 0. a) Hur skall f(0) definieras för att f() skall bli kontinuerlig då 0? b) Beräkna högerderivatan f + (0) av funktionen f. Mat 1 α, okt 0:6 93. Sätt f() = ( ln ) 1 + då > 0. 9

10 a) Hur skall f(0) definieras för att f() skall bli kontinuerlig då 0? b) Beräkna högerderivatan f +(0). c) Undersök om derivatan f () är kontinuerlig då 0 < 1. d) Är f() deriverbar då = 1? 94. Funktionen f defineras på R genom f(0) = 0 och Mat 1 α, nov 0:7 f() = 1 cos för 0. För 0 är f uppenbarligen deriverbar, såsom kvot av elementära funktioner. Visa att f är deriverbar även i origo, och att derivatan f är kontinuerlig där. Mat 1 A, apr 98:7 95. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, mar 04: 96. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, apr 04: 97. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, aug 04: 98. Visa att kurvan y = har en asymptot då och ange en ekvation för den. Mat 1 α, mar 00:3 99. Visa att kurvan y = 3 + har en asymptot då och ange en ekvation för den. Mat 1 α, apr 00: Ange samtliga asymptoter till kurvan y = sin. Mat 1 α, aug 00:5 10

11 101. Visa att talföljden (a n ) n=1 är konvergent och beräkna dess gränsvärde, då a n = n k=n+1 n 4 + k 4n 5 + k. Mat 1 A, mar 98:6 10. En talföljd (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 3a n för n 0. Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Mat 1 A, apr 98: Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a b. Definiera talföljderna (a n ) 0 och (b n ) 0 genom a 0 = a, b 0 = b och Visa först att för n = 0,1,,... är a n+1 = a nb n och b n+1 = a n + b n. a n + b n 0 < a n b n, b n+1 b n, a n b n = ab och a n+1 a n och sedan att talföljderna båda konvergerar mot det gemensamma gränsvärdet ab. Mat 1α, okt 04: Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a b. Definiera talföljderna (a n ) 0 och (b n ) 0 genom a 0 = a, b 0 = b och Visa att för n = 0,1,,... är a n+1 = a nb n och b n+1 = a n + b n. a n + b n a n = ab 1 qn 1 + q n och b n = ab 1 + qn 1 q n med 0 < q < b a b + a < 1, och därmed att talföljderna (a n ) 0 och (b n) 0 båda konvergerar mot ab. Visa sedan att ab = an + e n där 0 < e n < abq n. Anm. Speciellt ger detta med startvärdena a = 1/5, b = 1/4 att ab = 5/10 = an + e n där 0 < e n < 1 17 n < 1 10 n. Som eempel, för n = 5 innebär detta att a 5 underskattar 5/10 med ett fel e 5 < Alltså ger a 5 en approimation av 5/10 med minst 3 korrekta decimaler. Nästa värde a 6 ger minst 64 korrekta decimaler (så kallas kvadratisk konvergens!). Mat 1α, nov 04:6 Användning av derivator 105. Låt f() = arctan 1 arctan 1 1. a) Beräkna f (). b) Bestäm lim 1+ f() respektive lim 1 f() 11

12 c) Vad är f() då < 1, 1 < < 1 respektive > 1? Analys 1, dec 94: Visa att arctan 1 = arctan + C då > 0 där C är en konstant. Bestäm också konstantens värde. Analys 1, aug 89: Visa att den kontinuerliga funktionen f() = arctan( + 1) + arcsin 1 är konstant då 1 genom att beräkna derivatan f () då > 1. Bestäm sedan det konstanta värdet och ange slutligen det eakta värdet av arctan( + 3). Mat 1 α, mar 04: Visa att den kontinuerliga funktionen f() = arctan( 1) + arctan 1 är konstant då 1 genom att beräkna derivatan f () då > 1. Bestäm sedan det konstanta värdet och ange slutligen det eakta värdet av arctan( 3). Mat 1 α, apr 04: Bestäm först en ekvation för tangenten till kurvan y = i punkten (a,a ) och därefter en ekvation för tangenten till kurvan y = 1 i punkten (b, 1 b ), b 0. Bestäm sedan värden på a och b så att de betraktade tangenterna sammanfaller och ange en ekvation för den linje som tangerar de båda kurvorna. Mat 1 α, mar 03: Kurvorna y = 3 och y = 4 3 har förutom -aeln ytterligare en gemensam tangent. Bestäm dennas ekvation. Mat 1 A, aug 98: Det finns en linje som tangerar kurvan y = + 4 i två olika punkter. Bestäm en ekvation för denna linje. Mat 1 α, apr 03:7 11. Rita kurvan 113. Undersök funktionen y = 11arctan + 3ln 1 +. Analys 1, aug 96:4 f() = ln(1 + ), R med avseende på lokala etrempunkter samt skissera dess graf. Mat 1 A, apr 96: Rita grafen till funktionen f() = /3 på intervallet [ 1,]. Ange samtliga lokala etrempunkter, samt var funktionen är konve eller konkav på intervallet. Mat 1 α, dec 98:4 1

13 115. Rita kurvan y = 3 arctan. 1 + Ange eventuella asymptoter, lokala etremvärden och intervall där kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, okt 98: Rita kurvan y = 3arctan + ln(1 + ). Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala etremvärden samt var kurvan är konve och var den är konkav. Mat 1 α, mar 99: Rita kurvan y = Ange särskilt eventuella asymptoter, lokal etremvärden och infleionspunkter. Mat 1 α, nov 98: Rita kurvan y = e e +. Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala etrempunkter. Mat 1 α, nov 03: Skissera grafen till funktionen f() = +. Ange särskilt lokala etrempunkter, ungefärliga skärningar med -aeln samt eventuella asymptoter. Analys 1, jan 96:7 10. Rita kurvan y = 1 ln( + 1) + arctan 1 1. Ange särskilt eventuella lokala etrempunkter och asymptoter. Analys 1, maj 95:5 11. Rita kurvan y = f() = = genom att i tur och ordning visa att = g(), a) y-aeln är lodrät asymptot, b) f() är strängt väande då < 0, c) g(), och därmed f(), har precis ett nollställe mellan och 1, d) f () = ( 1)h() 3, där h() = > 0 då > 0, e) f() har ett lokalt minimum lika med 0 då = Rita kurvan y = f() = = , genom att i tur och ordning visa att a) y-aeln är lodrät asymptot, b) y = är sned asymptot då ±, Mat 1 α, okt 0:5 13

14 c) f() är strängt väande då < 0, d) f() har ett lokalt minimum då =, e) f() är konve då < 0 och då > 0 Mat 1 α, nov 0:5 13. a) Rita kurvan y = f() = b) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan. c) Bestäm alla skärningspunkter mellan tangenten och kurvan. d) För vilka a är tangenten också normal till kurvan? Mat 1 α, mar 01:6 14. a) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan y = f() = b) Visa att -koordinaten för eventuella skärningar, förutom = a, mellan denna tangent och kurvan ges av + a + 3a 8 = 0. c) Bestäm för alla reella a antalet skärningspunkter mellan tangenten i (a, f(a)) och kurvan y = f(). Mat 1 α, apr 01:7 15. a) Visa att y = är en sned asymptot till den udda funktionen f() = , 0 både då och då. b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = och kurvan y = f(). Mat 1 α, okt 04:4 16. a) Visa att den jämna funktionen g() = = ( 6 = 1 ) för 0 har derivatan g () = (4 1)( 4 + 3) 7. g() b) Rita kurvan y = g() med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, okt 04:5 17. a) Visa att y = + 1 är en sned asymptot till funktionen f() = , 0 både då och då. 14

15 b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = + 1 och kurvan y = f(). Mat 1 α, nov 04:4 18. a) Visa att g() = = = för 0 har derivatan g () = (3 1)( + 1) 3. g() b) Rita kurvan y = g() med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, nov 04:5 19. En talföljd (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 3a n 1 + a n för n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och bestäm lim n a n. Analys 1, dec 91: Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 1 + a n n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och bestäm lim n a n. Analys 1, jun 9: Låt funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a,b] och sådan att Definiera talföljden (a n ) n=0 genom Visa att a < f() < då a < b. a 0 = b och a n+1 = f(a n ) för n = 0,1,, a n konvergerar mot a då n.. 0 < a n+1 a k(a n a) då a n a δ, om f dessutom är deriverbar och f () k då a a + δ för något δ > 0 med a + δ b. Analys 1, dec 93:8 13. Talföljden (a n ) n=0 definieras av a 0 = 0 och a n+1 = 7 + a n 1 för n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Analys 1,dec 9: a) Talföljden (a n ) 1 ges av a n+1 = + a n, a 1 = 1 9. Visa att följden konvergerar och bestäm gränsvärdet. 15

16 b) Vad händer om vi istället väljer a 1 = 9? Analys 1, dec 88: Definiera talföljden (a n ) n=0 genom a 0 = 1, och a n+1 = a n a n + b då n = 0,1,,..., där b är en konstant, b < 1. Visa att talföljden konvergerar och bestäm dess gränsvärde. Analys 1, jun 91: Visa att talföljden (a n ) 0, definierad genom a 0 = 1, och a n+1 = 1 + a n 4a n n = 0,1,,..., är konvergent och bestäm gränsvärdet. (Studera a n för udda och för jämna n.) Analys 1, aug 94: Visa att + 18ln + 11 > 1 då > 1. Analys 1, nov 96: För vilka värden på den reella konstanten a gäller att a för alla 0? Analys 1, nov 96: 138. Visa att > e 1 e + 1 då > 0. Analys 1, aug 94: Visa att ln då 1. Mat 1 α, apr 99: Visa att ln(1 + ) + (1 + ) då 0. Mat 1 α, aug 99: Visa att sin + tan > då 0 < < π. Mat 1 α, apr 0:6 14. Visa att arctan > 1 + /3 för > 0. Analys 1, maj 94: 16

17 143. Visa att sintan + ln cos > 0 då 0 < < π. Analys 1, dec 93: Visa att tan + ln(cos ) > 0 då 0 < < π Visa att e < e 1 för > 0. Analys 1, dec 90:4 Analys 1, dec 90: Visa att < arctan 1 < + 1 då > 0. Analys 1, jun 88: Visa att funktionen ( ln ) ( + 1 ) 1 är avtagande för > 0 och att e < ( ) + 1, då > 0. Analys 1, jan 85: Visa att funktionen ( ( + ) 1/ ln ) är strängt avtagande för > 0 och att ( ) + < e. Analys 1, dec 86: Visa att e < ( ) ++1/1 då > Visa att om > 0 så är ln( + 1) ln = 1 + θ där 0 < θ < 1. Analys 1, jan 87:8 Analys 1, jan 83: För vilka värden på den reella konstanten a gäller för något δ > 0 olikheten (1 + ) a > när 0 < < δ? Analys 1, jan 94:8 17

18 15. Bestäm värdemängden till funktionen f() = arctan ln(1 + ), R. Mat 1 A, aug 98: Bestäm värdemängden till funktionen f() = π 1 arctan, 0. Mat 1 A, mar 98: Bestäm värdemängden till funktionen f() = ( )e R Vilka värden antar 156. Vilka värden antar y = ( 3 + 3)e då 1? y = ( )e då 1? Mat 1 α, mar 01: Mat 1 α, apr 01: Mat 1 α, aug 01: 157. Vilka värden antar y = ( 3 + 3)e då 3? Mat 1 α, nov 04: Vilka värden antar y = + 81 då 0 < < 9? Mat 1 A, apr 97: Bestäm största och minsta värde av funktionen f() = 3 3 på intervallet [0,3] Mat 1 A, mar 98: En rektangel har ena sidan på -aeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Bestäm största möjliga värde på rektangelns area. Mat 1 A, nov 96: 161. En rektangel har ena sidan på -aeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Vilka värden kan rektangelns omkrets antaga? Mat 1 A, mar 97:4 16. Tangenten till kurvan y = e + 1, i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med -aeln och den lodräta linjen genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så liten som möjligt. Mat 1 α, apr 99:7 18

19 163. Normalen till kurvan y = 1 cosh i den punkt (,y) på kurvan där = a, linjen = a och -aeln avgränsar tillsammans ett triangulärt område. Ange a > 0 så att detta får största möjliga area. Vi påminner om att cosh = e + e, sinh = e e. Analys 1, maj 96: Låt a och b vara positiva tal. Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen = a och sin andra på linjen y = b. Mat 1 α, okt 01: Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen y = och sin andra på linjen = 3. Mat 1 α, nov 01: I ett koordinatsystem är A = (0,1) och B = (0,). Var på positiva -aeln ska punkten P ligga för att vinkeln APB ska bli maimal? Analys 1, maj 9: Bestäm antalet reella rötter till ekvationen 1 arctan + ( + 1) = 4. Analys 1, jun 91: Bestäm antalet reella rötter till ekvationen arctan = 1. Mat 1 α, okt 01: Ange antalet reella rötter till ekvationen arctan = 4 5. Mat 1 α, apr 00: Ange antalet reella rötter till ekvationen ln 1 = 0. Mat 1 A, aug 96: Hur många gemensamma punkter har kurvan y = med parabeln y =? Analys 1, dec 86:4 17. Bestäm antalet lösningar till ekvationen e 3 +4 = a både då a = 1 18 och då a = Mat 1 A, okt 97:4 19

20 173. För vilka värden på den reella konstanten a saknar ekvationen 3 4 ln = a reella lösningar? Mat 1 A, nov 97: Låt p() vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna p() = ln, > 0 och p() = ln, 0 har högst n + 1 respektive n + reella rötter. Analys 1, jan 96: Hur många lösningar har ekvationen e + e = k för olika val av den reella konstanten k? Analys 1, jan 83: 176. Bestäm antalet rella rötter till ekvationen e = + a för alla reella värden på konstanten a. Mat 1 α, nov 00: Bestäm för varje värde på det reella talet a antalet lösningar till ekvationen ln = a, > 0. Mat 1 α, apr 03: Hur många lösningar har ekvationen 4 k = 0 för olika k-värden? Analys 1, dec 89: Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan kurvan y = och parabeln y = a. Analys 1, maj 90: Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, mar 04: För vilka reella a är funktionen y = f() = a. + 1 väande på hela reella aeln? Mat 1 α, mar 04:7 18. Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, apr 04:5 0

21 183. För vilka reella a är funktionen y = f() = a. + 1 väande på hela reella aeln? Mat 1 α, apr 04: Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, aug 04: För vilka positiva a är funktionen y = f() = a väande på hela reella aeln? Mat 1 α, aug 04: För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f() = + a + 1 konve på hela reella aeln? Mat 1 A, mar 97: För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f() = + a + 1 konve på hela reella aeln? Mat 1 A, apr 97: Ange för varje värde på den positiva konstanten a antalet punkter på kurvan y = 4ln 3 som har avståndet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem. Analys 1, jun 93: Hur många lokala etrempunkter har funktionen f() = + a + 1, 0 för olika val av den reella konstanten a? Analys 1, jan 85: Bestäm för varje värde på konstanten a antalet lokala etremvärden till kurvan y = ( + 1)arctan + a a) Ange tangenten till kurvan y = i den punkt på kurvan där = a. Analys 1, maj 89:8 1

22 b) För vilka värden på b skär en tangent till kurvan y-aeln i den punkt där b = 0? Analys 1, aug 89:6 19. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan y = e som skär -aeln då = a. Analys 1, jun 90: Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet linjer som går genom punkten (0,a) och tangerar kurvan y = ln( + ) i någon punkt. Mat 1 α, nov 03: Genom vilka punkter på y-aeln går det precis en tangent till kurvan y = ln? Mat 1 α, aug 03: Genom vilka punkter på -aeln går det precis två tangenter till kurvan y = e? Mat 1 α, nov 98: a) Rita kurvan y = ln, > 0. b) Ange normalen till kurvan i punkten (a,aln a), a > 0. c) Bestäm för varje punkt (k,0) på -aeln antalet normaler som går genom denna punkt. Analys 1, maj 88: Genom vilken punkt på y-aeln går precis tre normaler till kurvan y = 4? Analys 1, aug 96: Låt f vara en konve funktion, definierad för 0, och antag att f(0) 0. Visa att om funktionen g definieras för > 0 genom g() = f() så är g väande för > 0.

23 Svar 1. a) 3, b) 3.. a) 53 74, b) 47 delar inte a) Lösning saknas. b) = 4 + 9n, y = 11 5n där n Z. 4. = 117 3n, y = n där n Z. 5. = n, y = n där n Z. 6. = n, y = n där n Z. 7. = n, y = n där n Z. Den enda positiva lösningen är (,y) = (3,1). 8. Lösningarna är (8, ), ( 8, ), (8, ), ( 8, ), (4, 5), ( 4, 5), (4, 5) och ( 4, 5). 9. Lösningarna är (9,11), ( 9,11), (9, 11), ( 9, 11), (1,8), ( 1,8), (1, 8) och ( 1, 8). 10. = n, y = 10 13n, z = 5 + 7n, n Z. 11. c = 14. Lösningarna är (,y) = ( n, 7n), n Z stycken. 1. a) Halvplanet ovanför och på linjen Re z + Im z = 0. b) 33. c) 5π Högra halvan av den slutna cirkelskivan med medelpunkt och radie. arg z varierar i intervallet [ π 4, π 4 ]. 4. Sluten cirkelskiva med medelpunkt i och radie 1. Största värdet av z är Sluten sträcka med ändpunkter 3 i 3 och 3 + i 3. 5π 6 arg z 7π Öppen sträcka med ändpunkter 3 + i och 3 + i. π 6 < arg z < 5π Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 + i och radie 1. π arg z π. 8. Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 i och radie 1. 1 z Im z arg z = π 1 eller 5π 1. tan π 1 = i 3 1. Argumentet är cos π 10 =

24 36. Uttrycket är rent imaginärt om och endast om Re z = Im z. 38. Medelpunkt 1 + i, radie Rötterna är + i och 1 + i. 41. Rötterna är + i och 1 + 5i. 4. A = 4 + i. Rötterna är 3 i och 1 + i 43. Rötterna är i och ± 3 i. 44. w = e i( π 8 +k π ) eller w = e i( π 4 +k π ), k = 0,1,,3. z = 4i eller z = 4 = 4e iπ. 45. ±( + i) och ±(1 + i) (z3 + 5z 3z + 5). 53. z + z a) 3. b) z ,3,4,5,7,8,9,11,1, 13,15,..., dvs för alla positiva heltal som inte är av formen 4k Rötterna är 0, och 3 e i (k+1)π 3, k = 0,1,. 57. Den första ekvationen har dubbelrötterna 1 ± 7 1 ± 7 i och ±i. 58. Rötterna är 1, + i och 4 + 3i. 59. z 1 = i, z = i, z 3 = 1 + i. 60. Övriga rötter är + i och 1 + i. 61. De två övriga rötterna är 1 + 3i och 3 i. 6. Rötterna är 1,, 3 och i. 63. Rötterna är 1 ± i och 1 ± Rötterna är 3 + 5i, 3 5i, 1 + i och 1 i 65. Rötterna är 1 ± i och ± i. 66. Rötterna är 1, 1 ± i och ± 3i. i, den andra har enkelrötterna 4

25 67. Rötterna är 4, i och 1 i. 68. Rötterna är 4i, 1 i och + i. 69. Rötterna är 1 och e ( π 6 +nπ 3 ), n = 0,1,. 70. z 1, = ± 3, z 3,4 = 1±i z 1, = ± 3, z 3,4 = 1±i z 1, = 1 ±, z 3,4 = ± Rötterna är ±i och 8 e i(±3π 16 +k π ), k = o,1,, Nollställena till p är 1±i 7 och 1± Nollställena till p är 1±i 15 och 1±i t = z har värdet 1 + 3i. 78. > 1 och < 1 eller > < eller 1 < eller < 0 eller < > 1 eller 1 < < < 1 eller > > 1 eller 1 < < > 1 eller < Gränsvärdet är då och 1 då Gränsvärdet är 1 då och då f(0) = 0, f +(0) = a) f(0) = 0 b) f + (0) = 0 c) f är kontinuerlig på [0,1). d) f är inte deriverbar i Asymptot y = + då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > Asymptot y = + då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > 1. 5

26 97. Asymptot y = då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > y = y = y = + och = lim n a n = lim n a n = a) 0. b) π 4 resp. 3π 4. c) π 4, 3π 4 resp π C = π f() π, arctan( + 3) = 5π f() π, arctan( 3) = π a =, b = y = y = Lokal minimipunkt (1, 1 ln ), lokal maimipunkt (0,0) Lokala minimipunkter ( 1, ) och ( 8 7, 4 7 ). Lokala maimipunkter (0,0) och (, /3 ), funktionen är konve i [ 1,0] och i [0,] Lokal minimipunkt (1, π 1 π 1 ). Lokal maimipunkt ( 1, ). Asymptoter y = π då och y = + π då Lokalt minimum i ( 3 4, 3arctan ln 16 ). Funktionen är konkav i (, ] och i [ 1, ), konve i [, 1 ]. Asymptoter saknas y = 1 är asymptot då, y = 3 1 är asymptot då. Lokalt minimum (, ). Infleionspunkter saknas, kurvan är konve Asymptoter är linjerna y = 1 och y = 1. Maimum i (0,1) och lokalt minimum i (, e 4 e +4 ). 4 (e ln ) 119. Lokalt minimum 1 då = 0, lokalt maimum då = 4+(e ln ) ln. Tre skärningar med -aeln: 1 = 4, = och 3 mellan 1 och 0. Asymptoter y = 1 då och y = 1 då. 10. Lokalt minimivärde π 4 då = 1 asymptoter saknas. 13. b) y = a a + (3a 4 3 )( a). c) Skärningspunkterna är (a, f(a)) och ( a, f( a)). d) För a = ± a) y = f(a) + f (a)( a). c) En skärningspunkt då a >, två då a = eller a = 3, tre för övrigt. 6

27 15. b) Fyra skärningspunkter. 16. b) Asymptoter y = då och y = då. Minimipunkter (±1,1) Kurvan skär asymptoterna då = ±1 och då =. 17. b) Inga skärningspunkter. 18. b) Asymptoter y = + 1 då och y = 1. Vidare är = 0 lodrät asymptot. Kurvan skär inte någon av asymptoterna. Lokala minimipunkter är ( 1,1) och (1,3). 19. lim n a n = lim n a n =. 13. lim n a n = a) lim n a n = 4 (följden är väande). b) lim n a n = 4 (följden är avtagande) lim n a n = 1 b lim n a n = a a f() π ln f() < 0 eller f() > π f() > y 7 e. (Observera att 7 e < e, ty e > (,7) = 7,9 > 7.) < y < y 3 4 e3/. (Observera att 3 4 e3/ > 3 e 3/ > 4 e 3 > 16 vilket är sant eftersom e 3 > 7e > 7,5 = 17,5 > 16) < y resp < omkretsen P = (ln,) a = 1 ln (a /3 + b /3 ) 3/ =. 7

28 167. Två Två Tre En En. 17. Två då a = 1 18 och fyra då a = a < Två om 1 < k < k 1, en om 1 < k 1 eller k = k 1, ingen om k 1 eller k > k 1, där k 1 = e+1 e Inga om a < 1, en om a = 1 och två om a > Ingen lösning om a > 1 e, en lösning om a = 1 e 0 < a < 1 e. eller om a 0, två lösningar om 178. Två då k > k 1 eller k < k, tre då k = k 1 eller k och fyra då k < k < k 1. Här är k 1 = 14 3 och k = En om a > a 1 eller a 3 < a < a, två om a = a 1 eller a eller a 3, tre om a < a < a 1 eller a < a 3, där a 1 = 5, a = 19 4 och a 3 = Funktionen f är strängt väande på hela R med en terrasspunkt (1, 5), vidare är f konve för 1 och för Funktionen är konkav för 3 och för Dessutom ligger kurvan y = f() över sin asymptot y = + (jämför uppg. 95!) precis då > a Funktionen f är strängt väande på hela R med en terrasspunkt ( 1, 1), vidare är f konve för + 3 och för 1 3. Funktionen är konkav för 1 och för Dessutom ligger kurvan y = f() över sin asymptot y = + (jämför uppg. 96!) precis då > a = Funktionen f är strängt väande då 1 (terrasspunkt i (, 6)), strängt avtagande då 1 3 och strängt väande då 3. Det lokala maimivärdet i = 1 är och det lokala minimivärdet i 3 är 10. Vidare är f konkav för och för Funktionen är konve för och för Dessutom ligger kurvan y = f() ovanför sin asymptot y = (jämför uppg. 97!) precis då > 185. a a a

29 188. En då 0 < a < a 1 eller a > a, två då a = a 1 eller a = a, tre då a 1 < a < a. Här är a 1 = 3 e 1/4 och a = e 3/ Tre om a > 3, en om a Inget då a a 1, ett då a a och två då a 1 < a < a. Här är a 1 = π och a = π a) y = a (1+a ) ( a) a b) 0 < b Tre om a a 1, två om a = a 1 och en om a < a 1, där a 1 = Två då a > ln eller a = ln 4 1, tre då a = ln, fyra då ln 4 1 < a < ln och ingen då a < ln (0,e 3/ ) samt (0,y) för y = ± a) Lokalt minimum 1 e då = 1 e. b) a + (1 + ln a)(y aln a) = 0. c) Ingen då k 0, en då 0 < k < k 1 eller k > k, två då k = k 1 eller k = k och tre då k 1 < k < k där k 1 = 1 e och k = 3 e y =