Tentamensproblem i Matematik 1B Sammanstallda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfstrom 6 maj 1997

Transkript

1 Tentamensproblem i Matematik Sammanstallda av Tomas laesson Utskrivna av Kjell Elfstrom 6 maj 997

2 . Derivator. For vilka varden pa den reella konstanten a galler att x 3, 5x 2 +3x +3 a for alla x? jan 96:4 2. Skissera grafen till funktionen f(x) = x2, 2 x x 2 +2 x : Ange sarskilt lokala extrempunkter, ungefarliga skarningar med x-axeln samt eventuella asymptoter. jan 96:7 3. Lat p(x) vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna p(x) =lnx; x > och p(x) =lnjxj ; x 6= har hogst n + respektive n + 2reella rotter. jan 96:8 4. a) Avgor for vilka varden pa konstanten c den kubiska parabeln y = x 3, 2x 2 + 2x + c tangerar x-axeln i en punkt. (3 p.) b) I forekommande fall ange, om det ar fraga om ett lokalt maximum eller ett lokalt minimum eller nagot annat. (2 p.) dec 95:3 5. Visa att for x> ar 4x, 3 arctan x>2ln +x 2 : aug 95:2 6. Rita funktionen f(x) = x2, e,x x 2 + e,x : Ange lokala extrempunkter samt eventuella asymptoter. maj 95:4

3 7. Rita kurvan y = ln 2 (2x2, 2x + ) + arctan. Ange sarskilt eventuella lokala 2x, extrempunkter och asymptoter. maj 95:5 8. Rita kurvan y = ex. Ange sarskilt eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. x 2,3 dec 94:3 9. Lat f(x) = arctan x x,, arctan 2x,. a) erakna f (x). b) estam lim x! + f(x) respektive lim x!, f(x). c) Vad ar f(x) da x< 2, 2 <x< respektive x>? dec 94:5. Visa att x> ex, e x + ; x>: aug 94:3. Ange vardemangden till funktionen f denierad genom f(x) = arctan x x : aug 94:5 2. Lat n vara ett positivt heltal och visa att ekvationen e x + x n =3 har precis en positiv rot x = a n. Visa att a n har ett gransvarde da n! och bestam detta. jun 94:8 3. Visa att arctan x> x +x 2 =3 for x>: maj 94:2

4 4. For vilka varden pa den reella konstanten a galler for nagot > olikheten ( + x) a > +3x nar <x<? jan 94:8 5. Visa att sin x tan x + 2 ln cos x> da <x<=2? dec 93:3 6. Ange for varje varde pa den positiva konstanten a antalet punkter pa kurvan y = 4x ln x p 3 som har avstandet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem. jun 93:7 7. Skissera grafen till funktionen f(x) = x + 2 arctan x och angiv sarskilt eventuella lokala extrempunkter till f samt asymptoter till grafen. jan 93:2 8. Lat a och b vara positiva tal. Hur lang ar den kortaste stracka genom origo (i ett ortonormerat koordinatsystem) som har sin ena andpunkt pa linjen y = b och sin andra andpunkt pa linjen x = a? jan 93:7 9. Visa att ekvationen x + x n = for varje positivt heltal n har exakt en losning x = a n iintervallet ]; [ och bestam lim a n! n: jan 93:8 2. Visa att x 2 +2lnx +3> 4x da x>. dec 92:2

5 2. Funktionen f ar deriverbar pa intervallet [; ], och for alla x 2 [; ] galler < jf(x)j + jf (x)j < 2. Visa att f har hogst ett nollstalle i [; ]. dec 92:8 22. estam antalet reella rotter till ekvationen 2 arctan x + x, 2 =: aug 92:4 23. Ange for varje varde pa a hur manga linjer som gar genom punkten (a; ) och tangerar kurvan x y = p +x 4 i nagon punkt. jun 92:7 24. Rita kurvan,x x +3 y = e x, : Ange alla eventuella lokala extrempunkter, terrasspunkter och asymptoter. maj 92:2 25. I ett koordinatsystem ar A = (; ) och = (; 2). Var pa positiva x-axeln ska punkten P ligga for att vinkeln AP ska bli maximal? maj 92:7 26. Visa att for varje reellt varde pa konstanten a har ekvationen x 4 +2ax, a = 2 minst en rot i det slutna intervallet [; ]. jan 92:7 27. Visa att e x cos x>da <x< 3. jan 92:5

6 28. estam antalet reella losningar x till ekvationen 2 arctan x + (x =4: +) 2 jun 9:3 29. Visa att tan x +ln cos 2 x > da <x< 2 : dec 9:4 3. estam vardemangden till funktionen f denierad genom f(x) = arctan x + x2, x +2 x 2 + : aug 9:5 3. Visa att 2xe x <e 2x, for x>: aug 9:7 32. estam for varje varde pa den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan y = xe,x2 som skar x-axeln da x = a. jun 9:8 33. Visa att x +x 2x < arctan x< +x om x>: maj 9:4 34. estam for varje varde pa den reella konstanten a antalet skarningspunkter mellan kurvan y = x 3 +7x, 3och parabeln y = ax 2. maj 9:6 35. Visa att x + 3 x 8, 4; x>: 3 x jan 9:2

7 36. Funktionen f ar given av f(x) = p x4 + x 2 p x2 +3x +2 : estam forst dess denitionsmangd och sedan dess asymptoter. jan 9:6 37. Hur manga losningar har ekvationen for olika k-varden. x 4, kx 3 +5x 2, 4 3 = dec 89:4 38. Visa att arctan x2, = 2 arctan x + da x> 2x dar ar en konstant. estam ocksa konstantens varde. aug 89:3 39. a) Ange tangenten till kurvan i den punkt pa kurvan dar x = a. y = +x 2 b) For vilka varden pa b skar en tangent till kurvan y-axeln i den punkt dar y = b? aug 89:6 4. estam for varje varde pa konstanten a antalet lokala extremvarden till kurvan y = x + 2 arctan x + ax 2 : maj 89:8 4. Visa att da x>. x + < arctan x < 2 x + jun 88:3

8 42. a) Rita kurvan y = x ln x; x>. b) Ange normalen till kurvan i punkten (a; a ln a) ; a>. c) estam for varje punkt (k; ) pa x-axeln antalet normaler som gar genom denna punkt. maj 88:6 43. For vilka reella tal x galler olikheten ln x< p x, p x? dec 87:5 44. Rita kurvan y = x2 +4 p x2 +6 : Ange eventuella asymptoter och lokala extrempunkter. jun 87:2 45. Ange for varje varde pa den reella konstanten a antalet skarningspunkter mellan kurvan y =lnx; x>, och den rata linjen y = ax. jan 87:4 46. Visa att e< + p x 2 +x+ 2 x da x>: jan 87:8 47. evisa att da x> ar 2 arctan p x2,, x = + arctan p x 2, for nagon konstant. estam ocksa denna konstant och ange arctan 48. Visa att funktionen x 2,=2 + x, ln + x ar strangt avtagande for x>och att + x p x 2 +x <e: 2, p 3. dec 86:2 dec 86:3

9 49. Hur manga punkter har kurvan gemensamma med parabeln y = x 2? y = x 3, 6x, 2 dec 86:4 5. Genom ekvationen y 3 +3 x2, y, 2x 3 = denieras y som en deriverbar funktion av x for x. estam denna funktions minsta varde. aug 86:6 5. Undersok funktionen f(x) =x + +x 2, arctan x med avseende pa lokala extremvarden och asymptoter samt upprita funktionens graf i dess huvuddrag. maj 86:4 52. Rita kurvan y = x, 8+2 p x 2, x + 7 med angivande av eventuella extremvarden och asymptoter. jan 86:5 53. Visa att funktionen ln +, x +, x 2 ar avtagande for x>och att e< + x+ 2 ; x>: x jan 85:3 54. Hur manga lokala extrempunkter har funktionen f(x) =x 2 + ax + x ; x 6= for olika val av den reella konstanten a? jan 85:5

10 55. Rita kurvan y = f(x) = p 3x 2 +5, p x 2 +: Ange darvid alla lokala extrempunkter till f och bestam eventuella asymptoter till kurvan. maj 84:6 56. Rita kurvan y(x) = ( + x) 2 e,jxj ; x 2 R: Hur ser kurvan ut nara x =? jan 84:4 57. Visa att ekvationen e =x = nx har precis en losning a n for varje n =; 2; 3;::: Visa att a n ln n! da n!: jan 84:8 58. Hur manga losningar har ekvationen e x + x e x, x = k for olika val av den reella konstanten k? jan 83:2 59. Visa att om x> sa ar ln (x +), ln x = x + dar << 2 : jan 83:8 6. a) estam en ekvation for normalen i punkten P = e x, x. h; e h, h till kurvan y = b) Lat Q vara den punkt dar normalen skar y-axeln. estam granslaget av Q da P narmar sig (; ). aug 8:4

11 6. estam vinkeln ; < =2; sa att arean av det skuggade omradet blir sa liten som mojligt. y x x 2 + y 2 = maj 79:5

12 Svar. a 4. 4,(e ln 2)2 2. Lok. min., da x =, lok. max da x = 2.Tre skarningar med x-axeln: 4+(e ln 2) 2 ln 2 x =4,x 2 =2och x 3 mellan, och. y =, och y =ar asymptot da x! resp. x!, a) c =, eller b) Max. resp. min. 6. Lok. min., da x =,lok. max 4,e2 4+e 2 da x =,2. y =och y =, ar asymptot da x!resp. x!,. 7. Lokalt minimum =4 da x =, asymptoter saknas. (x = =2 ar ej lodrat asymptot.) 8. x = p 3 ar lodrata asymptoter, y =ar asymptot da x!, lok. max., 2e da x =,, lok. min. e3 da x = a).. b) =4 resp.,3=4. c) =4,,3=4 resp. =4.. y arctan 3 4 eller y<, a En da <a<a eller a>a 2, tva da a = a eller a = a 2, tre da a <a<a 2 dar a = 2 p3 e,=4 och a 2 =2e,3=4. 7. Lok. max., da x =,, =2, lok. min. da x =+=2, y = och y =, ar asymptoter da x!resp. x!,. 8. a 2=3 + b 2=3 3=2. 9..

13 Tre om jaj >a, tva omjaj = a och en om jaj <a dar a = 2 5= Inga lok. extrempunkter, (,;,e) terrasspunkt, x = lodrat asymptot, y = asymptot da x!. 25. x = p , =2 <y<+= Tre om jaj >a, tva omjaj = a och en om jaj <a dar a = En om a > a eller a 3 < a < a 2, tva om a = a, a = a 2 eller a = a 3, tre om a 2 <a<a eller a<a 3 dar a =5,a 2 =9=4 och a 3 =,7= x >, eller x <,2. y = x, 3=2 och y =,x +3=2 asymptot da x! resp. x!,. x =, och x =,2 ar lodrata asymptoter. 37. Tva da jkj >k eller jkj <k 2, tre da jkj = k eller jkj = k 2 och fyra da k 2 < jkj <k, dar k =4=3 och k 2 =3= =,= a) y =, 2a (+a 2 ) 2 (x, a)+ +a 2. b) <b 9=8. 4. Inget da jaj a, ett da jaj a 2 och tva da a < jaj < a 2 dar a = och a 2 = a) Lok. min.,=e da x ==e. q 3 2.

14 b) x, a +(+lna)(y, a ln a) =. c) Ingen da k, en da <k<k eller k >k 2, tva da k = k eller k = k 2 och tre da k <k<k 2 dar k ==e och k 2 =3=e x>. 44. y = jxj da x!, lok. max. 4=4 da x =,lok. min da x = Ingen da a>=e, en da a ==e eller a, tva da <a<=e =,=2 resp. = En. q Lok. max. da x =, lok. min. 3=2, =4 da x =.y = x, =2 och y = x + =2 asymptot da x!resp. x!,. 52. Min.,3 da x =,. y = 3x, 9 och y =,x, 7 asymptoter da x! resp. x!, Tre om a>3, en om a p Lok. min. 2 2da x p =, lok. max. 5, da x =.y = da x!. p3, jxj asymptot 56. Lok. max. 4=e 3 da x =,3, min. da x =,, max. 4=e da x =.y =asymptot da x!. f () = och f +,() = Tva om < k < k, en om, < k eller k = k och ingen om k, eller k>k = e+ e, a) y =, x,h e h, + eh, h. 6. =4. b) (; 2).

15

16 2. Integraler 2. erakna integralen Z x arctan x dx: jan 96: 22. erakna foljande integraler: a) R (2x +)eax dx dar a ar en konstant 6= (2 p), b) R (2x +)3x dx (3 p). dec 95: 23. erakna integralen Z =2 x 2 cos x dx: aug 95: 24. Visa att for varje n 2. < nx k= k 2 < 2 aug 95:5 25. estam det x> for vilket integralen ar som storst. Z x, t +t 2 dt maj 95: 26. erakna integralen Z dx (x +)(x 2 + x +) : maj 95:3 27. erakna integralen Z 4 ln + p x dx: maj 95:5

17 28. Visa att sin x D n, x for n =; 2; 3;::: (D sin x x = x,n Z x = sin x x.) t n, sin t + n dt 2 dec 94:8 29. estam alla primitiva funktioner till +x x ( + x 2 ) x>: aug 94:4 2. Visa att for varje positivt heltal n. nx k= k 2 +2k +5 < 4 jun 94:6 2. Ange alla primitiva funktioner till (arcsin x) 2. jan 94:6 22. erakna integralen Z 2 q x +jx, j dx: dec 93: 23. Kurvan y = = (+x 2 ), x-axeln samt linjerna x = a och x = =a, dar a ar ett godtyckligt tal mellan och, begransar ett andligt omrade. evisa, att arean av detta omrade delas mitt itu av linjen x =.(Denna uppgift gavs i studentexamen november 96.) dec 93:6 24. erakna Z 2 ln ( + x + jx, j) dx: aug 93:3

18 25. erakna lim nx n! k= p k + p n 2 : aug 93:6 26. erakna integralen Z x + p x dx: jan 93: 27. erakna integralen Z 2,3 dx x 2 +4jxj +4 : dec 92: 28. Visa att nx k 2 + e,k < 3 for varje n 2 Z +. k= dec 92:5 29. erakna integralen Z 4 x p +2x dx: jan 92: 22. Visa olikheten nx k= for varje n =2; 3; 4;::: k 2 k 3 + > ln 2 n 3 +3n 2 +3n +2, 3 ln 3 dec 9:6 22. erakna Z, p, x 2 + p, x 2 dx: dec 9:7

19 222. erakna integralen Z =2 sin x + cos 2 x dx: aug 9: erakna integralen Z =2 cos x, 2 dx: maj 9: 224. Visa att NX k= 2k +k ln +N N 2 for N =; 2; 3;::: maj 9: erakna Z 2 dx x ( + x) 2 : aug 9: Visa att 99X k= p k 8: aug 9: erakna Z 4 ln x + p x dx: maj 9: estam lim n! n 3nX k=n+ q k n + q n k : dec 89: erakna Z =2 e 2x sin x dx: aug 89:2

20 23. erakna volymen av den kropp som uppkommer nar kurvan roterar kring x-axeln. y = xe x ; x jun 89:3 23. erakna lim 2nX n! k=n k +k 2 t.ex. genom att uppskatta summan uppat och nedat. jun 89: erakna volymen av den kropp som uppstar da kurvan roterar kring x-axeln. y = ( + x) p x ; x 2 maj 89: erakna arean av det omrade i planet som begransas av y-axeln, kurvan y = cos x och kurvans normal for x = =3. jan 89: estam en primitiv funktion till f(x) = 2 x (x 2 +2x +2) ; x>: aug 88: erakna integralen Z 2 3x +2 x 2 (x +2) dx: jan 88: erakna integralen Z x 2 +2x +2 x 2, 2x +2 dx: jun 87:4

21 237. estam alla primitiva funktioner till (, e,x ),. maj 87: erakna n 2 X+6n lim pk : n! k=n 2 maj 87: Visa att Z =2 dx + cos sin x = sin ; < 2 : maj 87:7 24. estam da n!gransvardet av summan nx k= arctan k n 2 : jan 87:6 24. estam alla primitiva funktioner till f(x) = x2 +2x, (x +) 2 (x 2 +) : maj 86: 242. erakna Z 8 3 x + p +x dx: dec 85: a) Visa att Z =2 Z =2 ln (sin 2x) dx =2 ln (sin x) dx + ln 2 2 : b) erakna Z =2 ln (sin x) dx:

22 dec 85: erakna integralen Z, x 2=3 3=2 dx: jan 85: erakna integralen Z sin x, 2 dx: jan 85: estam det x> for vilket integralen ar som storst. Z x, t p +t dt maj 84: 247. Visa att 99X p k 666: k= maj 84: erakna integralen Z =2 x sin 3 x dx: jan 84: Visa att Z x e t2 dt x + x3 3 da x : maj 83:6 25. erakna integralen Z arcsin p x dx: aug 83:6

23 25. Visa att Z 2 s t, t t + dt p =ln 2+ 3, =3: jan 83: Rita kurvan y = 2 x 2, x 2 4 ; x ; och berakna volymen av den kropp som uppstar da kurvan roterar kring x-axeln. jan 83: For vilket heltal N ar N < X 6 k=8 p k <N+? jan 83: a) erakna Z t 4 (, t) 4 dt: b) erakna Z t 4 (, t) 4 +t 2 dt: c) Visa att 22 7, 63 <<22 7, 26 : aug 82: erakna Z =2 x (sin x) 2 dx: aug 8:

24 Svar 2. =4, =2: 22. a) (3a,2)e a,(a,2) a 2 : b) 4 2ln3, (ln 3) =4, 2: x =: 26. ln p p 6 3 : 27. 3ln3, =2: ln x, 2 ln ( + x2 ) + arctan x + : x (arcsin x) 2 +2 p, x 2 arcsin x, 2x + : p 2, : 24. 4ln2, : 25. 2ln2, : 26. 5=3, 2ln2: 27. =2: : , 3: 222. =4: 223. p 3,, =2: 224.

25 225. ln 4 3, 6 : ln3+4ln2, 2: p 3, 2, =6: (2e +): (e2, ) : 23. ln 2: 232. ln 4 3, 6 : 233. p p 3 27, 6 : 234. ln x, 2 ln (x2 +2x +2), arctan (x +): ln3 2 : 236., 2ln2+: 237. ln je x, j + : : =2: , ln j+xj + ln x+ 2 (x2 + ) + arctan x + : + ln 3: a) : b), ln 2: p3,, 2 : 246. x =: =9: 249.

26 25. =4: y() = y() = och y max = 2 p 2 for x = p 2. Kurvan har lodrat tangent da x = och da x =. Rotationskroppen (som ser ut som ett agg) har volymen = N = 982: =6+=4:

27

28 3. Taylors formel 3. estam konstanten a sa att gransvardet lim x!, cos x, a x 2 existerar andligt samt berakna gransvardet for detta varde pa a. jan 96:3 32. estam konstanten a sa, att gransvardet lim x! sin 2 x, a x 2 existerar, samt berakna detsamma i detta fall. dec 95:4 33. erakna gransvardet lim x! x, : 2 tan 2 x aug 95:3 34. erakna gransvardet lim x! arctan 2 x, sin 2 x : maj 95:2 35. erakna p 5 lim x5 +, 3p x 3 + x 2 x! : maj 95:6 36. erakna gransvardet da x! av y = ( + x2 ),=2, cos x x sin x, ln ( + x 2 ) : jan 95:2

29 37. Deniera talfoljden a ;a 2 ;::: genom ekvationen + n n+an = e; n =; 2; 3;::: erakna lim n! a n. jan 95:7 38. erakna gransvardet da x! av y = ex, e sin x x, sin x : dec 94:4 39. erakna ln (, x)++sinx, cos x lim : x! x 3 aug 94: 3. erakna lim x!, cos x e x + e,x, 2 : jun 94: 3. erakna p+x p ln (+x), 2, +x 4 lim : x! cos x, maj 94:4 32. erakna a) f (), f () och f () om f(x) =x x. b) lim t! (+t) +t,,t,t 2 t 3. dec 93:5 33. Lat funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a; b] och sadan att a<f(x) <x da a<x b: Deniera talfoljden (a n ) genom Visa att a = b och a n+ = f (a n ) for n =; ; 2;::: a) a n konvergerar mot a da n!.

30 b) <a n+, a k (a n, a) da a n, a, omf dessutom ar deriverbar och for nagot < med a + b. f (x) k da a x a + c) < a n+, a M 2 (a n, a) 2 da a n, a, om f ar tva ganger kontinuerligt deriverbar och f (a) = och f (x) M da a x a + b: dec 93:8 34. erakna lim x! e x2, x arctan x, : x 3 sin x jun 93:2 35. estam konstanten a sa att gransvardet lim x! e ax, p +x, x 2, cos ax existerar andligt. erakna ocksa gransvardet for detta varde pa a. dec 92:4 36. erakna lim x! x arctan x + 2 cos x, 2 : x ln ( + x 3 ) aug 92: 37. erakna =2 =3 lim x, 2x +x 2 2 x!, +x 3 : jun 92:6 38. erakna lim x! p +x2, cos x, x 2 : ln ( + x 4 ) maj 92:4

31 39. Ange ett polynom p(x) av andra graden sa att lim x! p +x + x2 + sin 2 x + p(x), cos x =3: dec 9:3 32. erakna gransvardet lim x!! e x2 ln (, x) + : sin x aug 9:3 32. Visa att sin x x, +x2 6,6 om < jxj, : jun 9: Har funktionen f(x) = 2, 6x + x 2 e x, 2, 6x, x 2 ett lokalt extremvarde da x =? maj 9: erakna gransvardet lim x! sin 2 x, x 2 x 2 (, cos x) : jan 9: 324. erakna lim x! cos 2 x, e,x2 sin 2 x, sin x 2 : dec 9: erakna lim x! sin 2x, 2 arctan x sin x, x cos x : aug 9:

32 326. erakna lim x! ln ( + x 2 ) + cos 2 x, : x 3 arctan x jun 9: 327. erakna Z, cos x x 2 med ett fel vars absolutbelopp understiger ; 5,3. dx jun 9: a) erakna lim nx n! k= k n 2 : b) estam gransvardet av produkten ny k= + k n 2! da n!. (Observera att logaritmen av en produkt ar en summa av logaritmer.) maj 9: erakna lim x! p +x, sin x 2, cos x x 2 : jan 9: 33. erakna e x cos x,, arctan x lim : x! x 4 dec 89: 33. Visa att, cos x, x 2 2 < 2,3 da < jxj < : aug 89:4

33 332. erakna! =3 lim x! x5 +x 3, x6, x3 : 3 aug 89: erakna (sin x)ln(+x), x arctan x lim : x! x 3 jun 89: 334. erakna lim x! ln ( + x 2 ), x arctan x : x (x, sin x) maj 89: 335. Funktionen f denieras genom cos x = 2, 5x2 2 + x 2 + x6 f(x): erakna lim x! f(x). jan 89: estam lim x! x + 3 ln + 2, x + 2! : x 2 maj 88: erakna integralen Z sin 2 x x 2 med ett fel mindre an,2 genom att forst visa att dx sin 2 x = x 2, 3 x4 + R(x) dar jr(x)j 2x6 45 : maj 88: erakna Z med ett fel pa hogst ; 5. e x, x dx jun 88:5

34 339. a) Undersok om funktionen cos 2x +2x 2, x,4 har nagot gransvarde da x!. b) Undersok om funktionen f(x) = cos 2x +2x 2 har nagot lokalt minimum eller maximum da x =. dec 87:4 34. erakna gransvardet tan 2 x, sin 2 x lim : x! x 4 aug 87: 34. erakna gransvardet av da a) x!, b) x!. sin 4 x x 2, sin 2 x cos x jun 87: 342. erakna gransvardet av da a) x!, b) x!. sin 2 x cos 2 x, x 2 sin 2 x, x 2 maj 87: 343. erakna integralen Z sin x 2 dx med ett fel som ar mindre an,3. dec 86:5

35 344. erakna sin x, arctan x lim x! tan x, arcsin x : aug 86: erakna lim x! e,x2, +x sin x p, x2 + ax 2, for alla varden pa a. jan 86: erakna lim x! p ln +2x, arctan x : x sin x maj 85: Avgor om funktionen f(x) =x 4 3, 2 sin 2 x, 3 sin 4 x har ett lokalt maximum eller minimum i origo. jan 85: estam alla positiva varden pa konstanten a sadana att x ax + < ln ( + x) for alla x>: maj 83: erakna sin x, x p cos x lim : x! x 3 jan 83:4 35. erakna sin x, x (cos x) =3 lim : x! x 5 jan 83:6

36 35. Lat A vara en punkt pa en cirkel med radien r och P en annan punkt pa denna cirkel. Valj punkten Q pa cirkelns tangent i A sa att langden av AQ ar lika med langden av bagen AP. R ar den punkt dar linjen genom P och Q skar normalen till AQ i A. estam granslaget av R da P gar mot A. (Ledning: Lagg in ett koordinatsystem pa lampligt satt i guren.) R P Q A dec 79:7

37

38 Svar 3. a =2och = a =och = = =3. 35.,= = ,=2. 3. =2. 3. = a),2och 3, b) = = a ==2,,2=7. 36.,= =3. 38.,=6. 39.,, x=2+x 2 = = Nej. 323.,2= =2.

39 325., ,= = a) =2, b) p e =8. 33.,= ,= ,= , = = = = a) 2=3, b) Lokalt minimum a) 6=5, b) a) 4, b) = da a 6= =2,,8=3 da a == , Lokalt minimum.

40 348. a = = = En punkt pa avstandet 3r fran A.

41

42 4. Serier och generaliserade integraler 4. Undersok om den generaliserade integralen Z e,x ln +e,x dx konvergerar och berakna i sa fall dess varde. jan 96:5 42. Avgor konvergensen av foljande serier. a) P 2 k k 2,, P b) e,=(ln k)2, c) 2 P 2 d) P e) 2 P 2 (ln (k +), ln k) 2,, k ln k e,(ln k)2. jan 96:6 43. Avgor, om den generaliserade integralen J = Z, e x+jxj e 4jxj + dx ar konvergent, samt berakna i sa fall dess varde. dec 95:6 44. erakna den generaliserade integralen Z ln ( + e x ) e x dx: aug 95:6 45. Konvergerar eller divergerar serien X k=2 (ln k) ln (ln k)? aug 95:8

43 46. Konvergerar eller divergerar X n=2 n, n(n,)? n maj 95:5 47. Talfoljden (a k ) k= denieras av att a =; a k+ = sin a k ; k =; ; 2;::: a) Visa att a k! da k!. b) Visa att P k= a 3 k konvergerar, texgenom att jamfora med P k= (a k, a k+ ). maj 95:8 48. estam konstanterna a och b sa att den generaliserade integralen Z konvergerar och har vardet. 2x 2 + bx + a x (2x + a),! dx maj 95:7 49. Undersok om den generaliserade integralen Z ln (x +) x 2 konvergerar och berakna i sa fall dess varde. dx jan 95:4 4. Avgor om foljande serier konvergerar eller divergerar. a) b) c) P k= P k= P k= ln k k,, sin (=k) tan (=k) + k,k., jan 95:6

44 4. Undersok om den generaliserade integralen Z ln x x 2 dx konvergerar och berakna i sa fall dess varde. dec 94: 42. Avgor om foljande serier konvergerar eller divergerar. a) b) c) P k= P k= P k= ln k k 2, tan k, sin k, k k., dec 94:6 43. For vilka varden pa den reella konstanten a konvergerar den generaliserade integralen Z arctan x x ap +x dx: aug 94:6 44. Avgor om foljande serier ar konvergenta. a) b) c) P k= P k= P k= +p p k k 2 + k, k+ 2k+3 k, ln 2+ k 2. jun 94:3 45. Avgor om foljande serier ar konvergenta. P a) sin, b) c) k= P k= P k= k sin 2 k, (sin k) e,k. maj 94:5

45 46. Avgor om foljande integraler ar konvergenta och bestam i forekommande fall deras varden. a) b) R 2 3R 2 dx (x,) 2 (x+) 2, dx (x,2) 2 (x+2) 2. maj 94:6 47. Visa att den generaliserade integralen Z ar konvergent och berakna dess varde. x, ln + x dx jan 94:4 48. Konvergerar eller divergerar serien X k=2 tan =k ln k? jan 94:7 49. Undersok konvergensen av a) b) c) P k= P k= P k= p k +k, 2 k +2 k, 2,k +2,k. dec 93:2 42. Visa forst att den generaliserade integralen Z 4 (x +2)dx q (x, 2) x (x, ) (x, 4) ar konvergent och sedan att den ar lika med Z 4,4 dx q = (4, x)(4+x) genom att borja med variabelombytet t = x+2. For full poang kravs att den sista x,2 likheten ovan, dvs att integralen ar lika med, visas. dec 93:7

46 42. Avgor om foljande serier ar konvergenta eller divergenta. a) b) c) P k=2 P k= P k= +p k (k,) 2, p k cos k 2, k!. k k jun 93: a) Visa att arctan x + arctan x = 2 ; x>: b) Visa att alla generaliserade integraler i sambandet Z arctan x Z +x + x dx + arctan x 2 +x + x dx = 2 2 ar konvergenta och bevisa detta samband. c) erakna Z arctan x +x + x 2 dx: Z dx +x + x 2 aug 92: For vilka reella konstanter ar den generaliserade integralen konvergent? Z x sin x+ p arctan x dx dec 92: Undersok om foljande serier konvergerar: a) b) c) P p k+ k(+e,k ), k= P k= P k= ln + p k k, 6 k k!(2k)! (3k)!. aug 92:5

47 425. Visa att den generaliserade integralen Z dx ( + x) p x ar konvergent och berakna dess varde. jun 92: a) Visa att P k= ln k k 3 b) Satt s n = P k=n ln k k 3 ar konvergent. och avgor for vilka varden pa a som P n= s a n konvergerar. jun 92: Undersok om foljande serier konvergerar: a) b) c) P k= P k= P k= k sin k, pk2 +2, p k + 2, sin k. k 2 maj 92: erakna den generaliserade integralen Z dx x 2 (x +2) : maj 92: Visa att den generaliserade integralen Z konvergerar och berakna dess varde. arctan x x 2 dx dec 9: 43. Visa att den generaliserade integralen Z konvergerar och berakna dess varde. ln x (x +) 3 dx aug 9:4

48 43. Visa att for varje positivt tal s. <s X n= < +s s+ n aug 9: Undersok om den generaliserade integralen Z p x4 + x +2, p x 4 + x, dx ar konvergent eller divergent. jan 92: Undersok om foljande serier konvergerar: P p a) k sin, k 2 b) c) k= P k= P k= p k cos k 2, k!. k k jun 9: Undersok om de generaliserade integralerna Z ln ( + p x) x 2 dx och Z ln ( + p x) x 2 dx ar konvergenta eller divergenta. estam vid konvergens integralens varde. maj 9: For vilka varden pa x konvergerar X k= k (x 2 +2x +) k? jan 9: Undersok konvergensen av a) b) P k= P k= sin (k,2 ), k+ 2k, k

49 c) P k= p k (ln (k 2 +), ln (k 2 )). jan 9: For vilka varden pa a konvergerar Z ln ( + x) x a dx? a+2 + x jan 9: Undersok konvergensen av a) b) c) P k= P k= P k= e =k2, p4 k +3, p 4 k +, k 2k (2k)!. dec 9: Avgor om foljande serier konvergerar a) b) c) P k= P k= P k= p k++ p k k p +k 2,, 3 k,2 k ln e =k + e,=k,. aug 9:6 44. Avgor om foljande serier konvergerar. a) b) c) P k= P k= P k= cos k 4, (k!) 2 (2k)!, p e =k 3,. jun 9:6

50 44. For vilka a konvergerar den generaliserade integralen Z ln ( + x 2 ) x a dx? erakna integralen for nagot av dessa varden pa a. dec 89: Undersok konvergensen av a) b) R c) P k= P k= k 3 3 k, (x + x 3 + x 5 ),=3 dx, k tan,. k maj 9: Undersok om foljande serier konvergerar. a) b) c) P k= P k= P k=, k k ; k,=2 e =k, e,=k ; p +2k, p 2 k : aug 89: For vilka varden pa x konvergerar serien X k? x2, 3x + k= jun 89: Undersok om foljande serier konvergerar. a) b) c) P n= P n= P n= cos 2 n ; n 3n ; (3n)! n, sin n =3 : maj 89:6

51 446. erakna integralen Z dx +e : x jan 89: Undersok konvergensen av a) b) c) P k= R k 2 2 k ; ln (+x) dx; x 3=2 +x 5=2 P n= (n+) n n n+ : jan 89: estam lim X N! k=n N k 2 : jun 87: Undersok om de generaliserade integralerna Z dx x + x 2 och Z dx x + x 2 ar konvergenta eller divergenta. estam vid konvergens integralens varde. maj 88:2 45. Konvergerar a) b) c) P k= P k= P k= p k +k ; 2 k ; +2 k 2,k +2,k? maj 88:3 45. Undersok konvergensen av a) b) P k= e =k2 ; P, sin 2 k 2 k k cos ; k=

52 c) R sin 4 xdx x 2,sin 2 x cos x : jun 87: Undersok konvergensen av a) b) c) P k= R cos k 2 ; dx ;,e,x P k= (2k)! k 2k : maj 87: Undersok om den generaliserade integralen Z dx x p x 3, ar konvergent eller divergent. estam vid konvergens integralens varde. jan 87: Visa att Z dar m och n ar heltal. x m (ln x) n dx = (,)n n! (m +) n+ jan 86: Avgor om integralerna ar konvergenta och berakna vardet i forekommande fall a) b) 9R 9R pdx 9,x ; dx 3, p : x maj 85: erakna Z xdx ( + x 2 )(+4x 2 ) : aug 86:3

53 457. Konvergerar P p a) k ln + k ; 2 b) R k= e x e 2x + dx? jan 85: Undersok om de generaliserade integralerna Z x ln + dx och x 2 Z x ln + dx x 2 ar konvergenta eller divergenta. estam vid konvergens integralens varde. jan 85: Visa att X k=3 ln k k 2 < : jan 84:6 46. estam de a for vilka ar konvergent. Z arctan x ( + x) a ( + x 2 ) x a dx maj 83:6 46. Undersok konvergensen av a) b) R c) P k= q 4 k+2 k 2 (k 2 +) ; p dx x+2x 2 +x 3 ; P pk4 +, k 2 : k= jan 83: Undersok om den generaliserade integralen Z dx x 2 +3x p x +3x + p x ar konvergent och berakna i sa fall dess varde. jan 83:3

54 463. Finns det nagot heltal N for vilket Ange isa fall nagot sadant N. X k=n ln k k 3 <,2? jan 83:7

55

56 Svar 4. Konvergent med vardet 2ln2,. 42. a) Divergent, b) divergent, c) konvergent, d) konvergent e) konvergent. 43. Konvergent med vardet ( + 2 ln 2) ln Divergent. 46. Konvergent a = b =2e, Konvergent med vardet 2ln2. 4. Samtliga ar divergenta. 4. Konvergent med vardet. 42. Samtliga ar konvergenta. 43. =2 <a< a) Konvergent, b) konvergent, c) divergent. 45. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 46. a) Konvergent med vardet, ln 3, 3 4 b) divergent ln2,. 48. Divergent.

57 49. a) Divergent, b) divergent, c) konvergent a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent a) b) c) p ,=2 << a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent = a) b) a>= a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent. 428., ln ln ln 2, Konvergent a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent Divergent respektive konvergent med vardet.

58 435. x<,2 eller x> a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent. 437., <a< a) Divergent, b) konvergent, c) divergent Samtliga ar konvergenta. 44. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 44. <a<3, for a = Samtliga ar konvergenta a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent <x< eller 2 <x< a) Divergent, b) konvergent, c) divergent ln a) Konvergent, b) konvergent, c) divergent Divergent respektive konvergent med vardet ln a) Divergent, b) divergent,

59 c) konvergent. 45. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent a) Divergent, b) divergent, c) konvergent Konvergent med vardet = a) Konvergent med vardet 6, b) divergent ln ada ar konvergenta Konvergent med vardet ln 2 respektive divergent ,=2 <a< a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent Konvergent med vardet Ja, till exempel N =.

60 5. Dierentialekvationer 5. Los begynnelsevardesproblemet +x 2 y = xy; y()=2: jan 96:2 52. estam samtliga losningar till dierentialekvationen y + y =4x cos x: aug 95:4 53. En klotformig doftkula har som ny volymen 3 cm 3.Pa grund av avdunstning minskar doftkulans volym pa ett sadant satt att volymminskningen hela tiden ar proportionell mot doftkulans area. Efter en manad har volymen minskat till 2 cm 3. Hur mycket aterstar av kulan efter 4 manader? aug 95:7 54. estam den losning till dierentialekvationen y (x) + y(x) x = 2 x 2, ; x>; for vilken y(2) = : maj 95: 55. Los dierentialekvationen y + x + y = x (x 2, ) ; x>: maj 95:3 56. Kalle har ett badkar som rymmer 4 liter vatten. Nar han drar ur proppen i bottnen rinner vattnet ut med en hastighet som enligt Torricellis lag ar proportionell mot roten ur mangden vatten i badkaret. a) Stall upp en dierentialekvation som beskriver hur mangden vatten i badkaret beror av tiden nar Kalle dragit proppen ur det fulla badkaret. b) Om det efter tva minuter runnit ut 75 liter, nar blir da badkaret tomt? maj 95:7

61 57. estam en losning till dierentialekvationen y, 2y, 3y = 4e,x som uppfyller y() = och y(x)! da x!. jan 95:3 58. Dierentialekvationen y + g(x)y = 3x; x > har en losning y = x 2. estam funktionen g och samtliga losningar. dec 94:2 59. Visa att det nns oandligt manga varden pa konstanten a sa att dierentialekvationen y +2y +(+a 2 ) y =har en losning som inte ar identiskt lika med noll och som uppfyller y() = y () =. dec 94:7 5. Los begynnelsevardesproblemet y + y x =lnx; y() = : aug 94:2 5. Los, t ex genom att satta t = =x, dierentialekvationen x 4 y +2x 2 (x, ) y + y =; x>: aug 94:7 52. Los dierentialekvationen xy (x)+3y(x) =x 4 ; x>; dar y() = =6. Kontrollera att losningen satiserar ekvationen och uppfyller bivillkoret. maj 94: 53. estam den losning till dierentialekvationen xy (x), 2y(x)+ x2 x + =; x>; for vilken lim x! y(x) x =. jan 94:5

62 54. Los dierentialekvationen y (x) + y(x) =lnx; x + x>: Visa sedan att varje losning har ett andligt gransvarde da x! +. dec 93:4 55. Los dierentialekvationen y +2y, 3y = e x : jun 93: 56. estam den allmanna losningen till dierentialekvationen y (3) +3y, 4y =(3x, ) e x : jan 93:4 57. estam den losning y = f(x) till dierentialekvationen xy +2y = x 2 + x ; x>; for vilken lim x! + xf(x) =: dec 92:3 58. estam den losning till dierentialekvationen for vilken y() = y () =. y + y = cos x jun 92:3 59. a) Los dierentialekvationen y + y 2(+x) = 2+x p +x e x : b) Visa att precis en losning har lokalt extremvarde da x =. Ange denna losning och om det ar lokalt maximum eller lokalt minimum. jun 92:5

63 52. Ange den allmanna losningen till dierentialekvationen y, 4y +3y =+e,x : maj 92: 52. estam den losning till dierentialekvationen for vilken y() = y () =. y + y, 2y = e x dec 9: estam alla losningar till dierentialekvationen +x 4 y +2x3 y = p +x 4 : aug 9: 523. a) estam samtliga losningar till dierentialekvationen y, y = x +(x, 2) e x : b) Undersok om det bland dessa losningar nns nagon som har lokalt extremvarde da x =och avgor isa fall om det ar lokalt maximum eller lokalt minimum. jun 9: Los dierentialekvationen, x 2 y, xy + y = x; jxj < texgenom att satta x = sin t. jun 9: a) I vilken ekvation overgar dierentialekvationen vid substitutionen y = =z? dy dx + y + y2 = b) estam den losning y(x) till den ursprungliga ekvationen for vilken y() =. maj 9:4

64 526. Los dierentialekvationen y +4y = cos x: jan 9: Los dierentialekvationen y, 2y + y = e x : jun 9: En bil som har hal i bensintanken forlorar liter bransle i timmen. ensinforbrukningen beror bland annat pa bilens hastighet v och antages vara + v liter per mil dar v mats i km per timme. Hur langt kan bilen maximalt koras pa liter bensin? (Hastigheten v kan antagas vara konstant.) maj 9: estam den funktion y(x) som uppfyller y +2xy = x 4 e,x2 ; y() = 2; y () = : jan 9:7 53. Los dierentialekvationen y +2y + y = xe,x : dec 89:3 53. Los dierentialekvationen y, 2y +2y =4xe 2x : maj 89: Los dierentialekvationen y, 2y x = p +x 2 ; x>: maj 89: Los dierentialekvationen y, y = e,2x : jan 89:

65 534. Los dierentialekvationen y + y, 2y = xe x : jun 88: estam den losning till dierentialekvationen for vilken y() = och y () =. y, 2y + y =6xe x maj 88: 536. Los dierentialekvationen y +2y +2y = e,x cos x: aug 87: estam den losning till dierentialekvationen som gar genom punkten (; ln 2). xy + e,y =; x> jun 87: Los dierentialekvationen y = 6 sin 4 x: Ar y =3x 2, 3 sin 2 x, sin 4 x en partikularlosning? jun 87: estam den losning till dierentialekvationen xy + y 2 = y; x>; for vilken y ==2 da x =. jan 87:3 54. estam den losning till dierentialekvationen for vilken y =da x =. xy + y 2 = dec 86:

66 54. Los dierentialekvationen i<x<=2. y, x + cot x y = x sin x, sin x x aug 86: Los dierentialekvationen xy, y = x 2 sin 2 x; x>: jan 86: Los dierentialekvationen y, 3y +2y = x: maj 85: Undersok om dierentialekvationen y + x y = x 2 ; x>; har nagon losning som har ett lokalt extremvarde for x =. jan 85: estam den losning till dierentialekvationen (e x, ) y (x)+e x y(x) =; x> som har ett andligt gransvarde da x! ;x >. estam ocksa gransvardet. jan 84: Man vet att dierentialekvationen y (5), 6y (4) +3y, 4y +2y, 8y = har en losning y = x 2 e 2x. Los ekvationen fullstandigt. jan 84: Fyra myror sitter i hornen pa ett kvadratiskt bord med sidan a. De borjar samtidigt rora sig med konstant hastighet, var och en i riktning mot myran narmast till hoger. a) Ange de kurvor som myrorna beskriver. b) erakna langden av den stracka varje myra tillryggalagger innan de mots. (Ledning: Lagg in bordet i det komplexa talplanet med mittpunkten i origo. Observera att om en myra representeras av det komplexa talet z, sa representeras myran narmast till hoger av iz. Overga sa smaningom till polara koordinater.) maj 8:8

67

68 Svar 5. y =2 p +x x 2 sin x + x cos x + A cos x + sin x. 53. V (t) =,kv (t) 2=3 sa att V (t) = (, kt) 2=3. V () = 3 och V () = 2 ger att V (4) = 54. y(x) = x ln x2, =3, 3 3 =3 3 ; y = ln (x,),ln x+ x a) m (t) =,k q m(t). b) Efter 8 minuter. 57. y =(, x) e,x. 58. g(x) ==x och y = x 2 + =x. 59. a = tan a har oandligt manga losningar! 5. y = 2 x ln x, 4 x + 4x. 5. y =(A + =x) e,=x. 52. y(x) = 7 x x, y(x) =x 2 ln ( + =x). 54. y(x) = +x=2 +x x ln x, x+x2 =4 +x + +x! da x! y =(A + x=4) e x + e,3x. 56. y =(x 2 =6, x=3+a) e x +(x + ) e,2x. 57. y = ln (+x) x y = x sin x + cos x + sin x a) y = p +xe x + p +x. b) y = p +xe x + 3 p +x har lokalt minimum. 52. y = e,x + e x + 2 e 3x. 52. y = 9 e,2x y = x+ p+x 4. 3 x, 9 e x.

69 523. a) y = 524. y = 2 x2, 2x + e x, x,. b) = 3 ger lokalt minimum. A, 2 arcsin x p, x2 + x a) dz=dx, z =. b) y(x) == (2e x, ) cos x + A cos 2x + sin 2x y =(x 2 =2+x + D) e x y = 4 v v+v 2 har sitt maximum =3 for v = y(x) ==5, (x 4 = + x 2 =5+=5) e,x y =(x 3 =6+Ax + ) e,x. 53. y =(2x, 2) e 2x +(A cos x + sin x) e x y =,x p x 2 ++x y = 3 e,2x + Ae x + e,x y =(x 2 =6, x=9+ ) e x + 2 e,2x y =(x 3 + x) e x y = 2 xe,x sin x +(A cos x + sin x) e,x y =ln(+x) y =3x 2, 3 sin 2 x, sin 4 x + Ax +, dvs ja! 539. y = x= ( + x). 54. y =(x 2, ) = (x 2 +). 54. y = sin x, x cos x + xsin x y = 2 x2, x sin 2x + x x 2 =4+3x=4+Ae x + e 2x y = +ln x x 545. y(x) = x e x, har lokalt maximum.! da x! y =( + 2 x + 3 x 2 ) e 2x + 4 cos x + 5 sin x a) r = a= p 2, kt, =, ln b) a. a= p 2, kt + =, ln r +.

70 6. n-dimensionell geometri 6. Lat A vara en m k-matris och en n m-matris, och antag att dim V(A) + dim V() >m: Visa att produkten A inte kan vara nollmatrisen. jan 96:8 62. Lat A vara en kvadratisk matris av ordningen n, och X en kolonnvektor i R n. a) Visa att om A m, X 6= och A m X = for nagot positivt heltal m, sa ar X; AX; A 2 X;:::;A m, X linjart oberoende. b) Visa att om A k X =for nagot positivt heltal k, sa ar A n X =. mar 95:8 63. estam dimensionen av underrummet V(A)\N() i R 4 dar A = A och = 3 2,,2, A : aug 95:6 64. Lat A vara en mn-matris och en nm-matris, sadana att A ar enhetsmatrisen av format m m. Visa att m n. jan 95:7 65. Ange for varje varde pa den reella konstanten a dimensionen av det underrum i R 4 som genereras av vektorerna (; 2; ; 3), (; 3;a;5, 2a), (2;a+3; 3; 4) och (; 4;a, ; 7, a). dec 94:6 66. estam a och b sa att matrisen far rang tva. 2 2 a,3, 3 2, 7 3 b, A nov 94:5

71 67. Lat A vara matrisen ,,5 9 3,5 estam en bas for N(A) och V(A) samt bestam samtliga vektorer gemensamma for N(A) och V(A). A : apr 94:5 68. Finn alla 3 4-matriser X som uppfyller X + XA = dar A = ,2 2, ,3 A och =,,3 2,2 2 3, A : jan 94:5 69. Ange dim N(A) samt en bas for V(A) for varje varde pa den reella konstanten a dar A = 2 2 a + 2 2a a +,3 a, 7 4a a 2, 4 A : dec 93:6 6. For vilka varden pa a ar matrisen 2 a 2 a inverterbar? erakna inversen for dessa varden pa a. A nov 93:6 6. Ange samtliga 2 2-matriser A som uppfyller A 2 = E dar E ar enhetsmatrisen. aug 93:8

72 62. estam dimensionen av det underrum i R 4 som genereras av vektorerna (; ;,2; 3), (3;,2; 4; ), (,3; 7;,4; 7) och (,7; 3;,26; ). maj 93:3 63. Avgor om nollrummet N(A) och varderummet V(A) har nagon gemensam vektor 6= da 3,3,7 A,2 7 3 =,2 4,4,26 A : 3 7 maj 93:6 64. erakna for varje reellt a dimensionen av varderummet till matrisen a a a A : apr 93:4 65. Finn de 4 3-matriser X som uppfyller AX + X = dar A =,,,, 2,,,2,, A och = 2 3, 2, 2, A : jan 93:4 66. Lat A vara en n m-matris och en m k-matris, och antag att dim V(A) + dim V() >m: Visa att matrisprodukten A ej kan vara nollmatrisen. jan 93:8 67. Ange for varje varde pa den reella konstanten a dimensionen av det underrum i R 4 som genereras av vektorerna (; 2; ; ), (; 3; 3;a+), (2; 4, a;,a;,2) och (; 2, 2a;,, 3a;,7). dec 92:6

73 68. Ange en bas i det underrum i R 4 som genereras av vektorerna (; 2; 3; 4), (2; 2; 2; ), (3; 2; ; 6) och (2; 3; 5; ). dec 9:4 69. Ange for varje varde pa den reella konstanten a dimensionen av det underrum i R 4 som genereras av vektorerna (; ; 2;,), (2; 3; 4, a; 2a, 2), (;a+;,2; 7) och (; 3;,a; +3a). nov 9:6 62. Lat A vara en n n-matris och X en n -matris. a) Visa att om AX 6= och A 2 X =sa ar X och AX lineart oberoende. b) Visa att om A 2 X 6= och A 3 X =sa ar X, AX och A 2 X lineart oberoende. c) Visa att om A n, X 6= och A n X =sa ar X;AX;:::;A n, X lineart oberoende. maj 9:8 62. Los matrisekvationen X,!, 2! X =,,,! : jan 9: Lat A vara 3 3-matrisen +2a 9, 2a 2 4a 3 8a For vilka varden pa a har nollrummet till A och varderummet till A nagon gemensam vektor forutom nollvektorn? A : jan 9: estam en bas i det underrum i R 4 som genereras av vektorerna (; 3;,3;,7), (;,2; 7; 3), (; 5;,7;,5) och (3; ; 7; ). dec 9:2

74 624. Lat A = 2 3 2,,3,4 2,2 2 A : Ange en bas for nollrummet till A och en bas for varderummet till A. nov 9: Ange en bas for nollrummet till matrisen 2 4 6, , 3 2,2 6,6, 3,5 7 2 A : aug 89: Lat E vara enhetsmatrisen av typ n n. Lat X vara en n -matris sadan att X t X = (). ilda matrisen A = E, 2XX t. Visa att A ar inverterbar och att A, = A t. nov 9: Los matrisekvationen AX + X = dar A = A och =, A : apr 9: Ange en bas for V(A) och en bas for N(A) dar A =, ,,3 9 4,3 4 A : dec 89: estam en bas for varderummet V(A) till matrisen A = A : nov 89:

75 63. Ange en bas i det underrum av R 5 som genereras av vektorerna u =(2; ; 3; 2;,) ; u 2 =(4; 2; ;,2; 3) ; u 3 =(; ; 5; 6;,5) ; u 4 =(6; 3;,;,6; 7) och u 5 =(,; 2; 3; ; 2) : aug 89:6 63. Lat A och vara matriserna A = A och = A : a) estam A,. b) estam matrisen X sa att A t XA = : jan 89: Lat A vara matrisen a) Ange dim(n(a)) och dim(v(a)).,8 3, 2,6 3 3,4, 7 4,2 2 6 b) Ange alla vektorer som ar gemensamma for N(A) och V(A). A : jan 89: Ange en bas i underrummet av R 4 som genereras av vektorerna (; 2; 3; 4),(2; 3; 7; 6), (3; 5; ; ) och (4; 5; 6; 2). dec 88: erakna inversen till matrisen A =, 2,,,, A : nov 88:4

76 635. Lat A vara en n n-matris. a) Antag att N(A) \ V(A) =fg. Visa att om A 2 u =,sa maste Au =. b) Omvant, visa att om implikationen A 2 u = ) Au = galler, sa ar N(A) \ V(A) =fg. maj 88: Matrisen A ges av A = 2,2,,3 5 A : estam alla vektorer som ar gemensamma for V(A) och V(A t ). apr 88: For vilka reella tal b ligger vektorn (;b+; ; 2b +) i det underrum i R 4 som uppspanns av vektorerna (; ; ; ) ; (2; ; 2; ) ; (2; ; ; ) ; (;,; ; )? jan 88: Vektorerna u ;u 2 ;:::;u n utgor en bas for R n ; n 2. Lat u = u + u 2 + :::+ u n och v = u, u ; v 2 = u, u 2 ; :::; v n = u, u n : a) Visa att vektorerna v ;v 2 ;:::;v n utgor en bas for R n. b) En vektor w har i basen u ;u 2 ;:::;u n koordinaterna (; ; ;:::;). estam koordinaterna for w i basen v ;v 2 ;:::;v n. jan 88: estam matrisen X om AXA, =, dar A = 2 4, 2 3 A och = 2 7,3 2 3 A : apr 87:2

77 64. erakna, A, da A = 2,, A och = 4,7, ,2, 4 A : nov 86:2 64. erakna inversen av matrisen A = 3 2, 3,2 2 A : maj 86: For vilka varden pa a ar matrisen A = a 2a a a a + inverterbar? erakna iforekommande fall A,. A aug 85: estam en bas for nollrummet N(A) och en bas for varderummet V(A) da A = 2, 3 2 3,4 5 2, 2 A : jun 85: Los matrisekvationen AXA, =, dar A = 2 4, 2 3 A och =,, A : apr 85: 645. Los matrisekvationen AX = A, dar A = 2, 3, 2 2 A : jan 85:2

78 646. Lat A = 2 3 2, A : a) estam en bas for nollrummet N(A). b) estam en bas for varderummet V(A). aug 83: Visa att vektorerna (; 2; ;,), (; ; 3; 2), (2; 2;,; 2) och (;,2;,5; 7) i R 4 ar lineart beroende. Kan (; ; 3; 2) skrivas som en linearkombination av de ovriga? jun 83:3

79

80 Svar Dimensionen ar 2, 3och 4da a =,a = 2 respektive a 6= och a 6= a =,2; b = (2;,; ; ), (,4; ; ; ) ar en bas for N(A), (; ; 2; 3), (3; 2;,; ) ar en bas for V(A). Gemensamma vektorer ar t (,2;,; 3; 2) ; t 2 R. 68.,4 4 8,4 4,,2 2, A. 69. Om a =2ar dim N(A) =och (; ; ;,3), (2; 3; 4; 5), (2; ; ;,) ar en bas for V(A). Om a = ar dim N(A) = 2 och (; ;, 3), (; 2; 2; 4) ar en bas for V(A). Om a =, ar dim N(A) =och(; ; ;,3), (2; ;,2;,28), (; 2; ;,4) ar en bas for V(A). For ovriga varden pa a ar dim N(A) =och da ar (; ; ; ), (; ; ; ), (; ; ; ), (; ; ; ) en bas for V(A). 6. (2a 2, 3a +), 6. E eller p, bc c, 2, a 2a, 2, a a 2,, a 2a,, 2a b p, bc! dar bc : A ; a 6= =2; a 6= : 63. Ja, tex(;,4; 8;,5). 64. Dimensionen = , >< >: A. 3oma 6= och a 6=,2 2oma =,2 oma = Dimensionen ar 2 om a =2,3oma =,2 och 4 annars.

81 68. (; 2; 3; 4), (2; 2; 2; ), (2; 3; 5; ). 69. Dimensionen ar 2 om a =2,3oma =,2 och 4 annars ! a == (; 3;,3;,7), (;,2; 7; 3) (,; ; ; ; ), (2;,2; ; ; ), (;,2; ; ; ) resp. (; ; 2), (2;,; ) (,2; ; ; ; ), (;,2; ; ; ) ,3,2,2 A : 628. (,3; 4; ; ) resp. (; 3;,; ), (; 2;,3; 4), (2; 5; ; 4) (; ; ), (2; 5; 8), (2; ; 3) eller (; ; ), (; ; ), (; ; ). 63. u ;u 4 ;u 5. (Ej u ;u 2 ;u 3!) 63. a) b) a) 2och 2,,3,2 4,2 3,3,2,2 5,3,3 2 A : A ; b) t (2;,; 4;,2) ; t 2 R (; 2; 3; 4), (2; 3; 7; 6), (4; 5; 6; 2) , 2 2,, A : ,, t (; 3;,5) ; t 2 R.

82 637. b = ,, 6 4,,5, a(,a) A :,,, A : 6,5 4,5 5,2,,2 6,22 2,9,8, A : a,,a a 2 a(, a),a 2,a a A ; a 6= ;a6= : 643. (,3;,; 5; ), (,3; 4; ; 5) resp. (; 3; 3; 2), (2; ;,4;,) ,7,2 4 7,2,4, 5 8,4,8,3 23,2,2 35 A : A : 646. a) (,;,2; ; ), (,;,; ; ), 647. Nej. b) (; ; ;,), (; ; ; ).

83

84 7. Skalarprodukt i R n 7. Lat A = 2, , A : a) estam en ortonormerad bas for N(A). b) erakna det minsta avstandet fran (; ;,; ) till N(A). jan 96:5 72. Lat A =,2 3,3 2 5,,3 4 7 A : estam det minsta avstandet fran (; ;,; ) till N(A). nov 95:5 73. Lat U vara det underrum i R 6 som ges av x + x 3 + x 5 =. estam den punkt P 2 U som ligger narmast Q =(; ; ; ; ; ). aug 95:7 74. Lat U vara det underrum i R 5 som genereras av vektorerna u =(;,; ; ; ), u 2 = (; ;,; ; ), u 3 =(; ; ;,; ) och u 4 =(; ; ; ;,). estam den ortogonala projektionen av vektorn v =(; ; ; ; ) pa U. maj 95:6 75. estam en bas for det ortogonala komplementet V(A t )? till V(A t ) for matrisen A = 2, 2,,, 3 3,, A : maj 95:7 76. estam i R 4 den ortogonala projektionen av vektorn v = (2;,; 2; ) pa underrummet U som genereras av vektorerna u = (; ; ; ), u 2 = (5;,; 5;,) och u 3 =(,; 5;,; 5). apr 95:5

85 77. Ange den andragradskurva y = a + bt + ct 2 som, i minsta kvadratmening, ansluter sa nara som mojligt till foljande varden pa t och y. t,2, 2 y 2,2 2 dec 94:4 78. Underrummet U i R 4 genereras av vektorerna (; ; 2; ) och (; ; ; ). Dela upp vektorn u =(;,; ;,) i tva komposanter: u = u + u, sa att u ligger i U och u ligger i U?. nov 94:4 79. Lat A = 2,4,3, 5,3 A : a) estam N(A) och V(A). b) erakna vinkeln mellan N(A) och V(A). (Ortonormerat system.) aug 94:2 7. Lat U R 5 vara det underrum som genereras av vektorerna (2; ; 2; ; ) ; (; ; ; ; ) och (; ; ; ; ) : estam en ortonormerad bas for det ortogonala komplementet till U. aug 94:6 7. Lat A = 2 4,2,, 2 2,4,6 erakna det minsta avstandet fran (; ;,; ) till varderummet V(A). A : maj 94:5 72. Losningarna till ekvationssystemet ( x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2x +3x 2 + x 3 +3x 4 + x 5 = bildar ett underrum U i R 5.For u =(; 2; ; 2;,) nn u 2 U och u 2 U? sa att u = u + u. apr 94:6

86 73. Lat U vara underrummet av R 5 som genereras av vektorerna (; ; ; ; ) ; (2; ; ; ; ) ; (; ; ; 4; ) : estam vektorerna u 2 U och u 2 U? sa att u = u + u dar u =(3;,3; 2;,; 4) : dec 93:5 74. Lat A = 2, , A : a) estam en ortonormerad bas for N(A). b) erakna avstandet fran (; ; ; ) till N(A). c) estam en bas for V(A). nov 93:4 75. Lat A vara 3 4-matrisen,2 3,, 3 2,2,2 6 4 a) estam en ortonormerad bas for N(A). A : b) erakna avstandet fran (; ; ; ) till N(A). aug 93:4 76. estam en ortonormerad bas for R 4 sadan att tva av dess basvektorer ligger i nollrummet till matrisen! : apr 93:7 77. Lat U vara det underrum som ges av losningarna till ekvationssystemet 8 >< >: x +3x 2, 2x 3 + x 4 = 2x +3x 2, x 3, x 4 = : 4x +6x 2, 2x 3, 2x 4 = estam en ortonormerad bas for U. jan 92:5

87 78. Lat underrummet U i R 4 genereras av (3; 4;,;,2) och (2; 4;,4;,2). estam avstandet fran (6; 3;,2; 6) till U?. apr 9:4 79. estam det minsta avstandet fran vektorn (; ; 2; 2;,) till underrummet i R 5 som ges av ( x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = x 2 + x 3 + x 4 +2x 5 = : dec 9:5 72. estam den ortogonala projektionen av vektorn (;,; ;,) pa nollrummet till matrisen 3,2 2 5,3,4,7 3 A : dec 9:5 72. U ar det underrum i R 5 som spanns upp av vektorerna (,; 3; 2; ; ) ; (,;,; ; ; ) och (,; ; ; ; ) : estam en ortonormerad bas for det ortogonala komplementet till U. aug 9: U ar det underrum i R 6 som spanns upp av vektorerna (; 2; ; ; 2; ) ; (; ; ; ; ; ) och (; ; ; ; ; ) : estam en ortonormerad bas for U?. maj 9: estam den ortogonala projektionen av vektorn (; ; ; ) pa N(A) dar A = 3, ,5 2,3,4 A : dec 88: Ett underrum U i R 5 uppspanns av vektorerna (; ; ; ; ) och (; ; ; ; ). estam den ortogonala projektionen av (; ; ; ; ) pa U. aug 88:4

88 725. Lat A =, 3 2,2 2 A : a) estam dim N(A) och dim V(A). b) erakna det minsta avstandet mellan N(A) och u =(; ;,; ). maj 88: etrakta det underrum U till R 4 som denieras av ( x + x 2 + x 3 = x 2 + x 3 + x 4 = : erakna det minsta avstandet fran (2; ; ; ) till U. apr 88: erakna det minsta avstandet fran (6; 3;,2; 6) till underrummet i R 4 som ges av ( 3x +4x 2, x 3, 2x 4 = 2x +4x 2, 4x 3, 2x 4 = : apr 87: Lat U vara underrummet ( x + x2 + x3 =,x +3x 2 + x 3 + x 4 = i R 4 : Om u =(; 9; ; ), bestam u 2 U och u 2 U? sadana att u = u + u. jan 87: Lat A vara matrisen a) estam en bas for V(A). b) estam en bas for V(A)?., , ,6 2 c) estam den ortogonala projektionen av (,3; ; ;,4) pa V(A). A : nov 86:6

89 73. Matrisen A ges av A = 2 3 2,2, A : a) estam en bas for N(A). b) estam en ortonormerad bas for V(A). nov 85:5 73. Lat A = A : a) estam dimensionerna av nollrummet N(A) och varderummet V(A). b) erakna avstandet fran (,; ;,2; 3; 2) till V(A t ). jan 85: Lat A = 2 2,5,,,,7 7,, A : a) estam rangen av A. b) estam det kortaste avstandet fran (,3; 9; 5; 3) till V(A). jun 84: Lat U vara skarningen av detva hyperplanen x +x 2 +x 5 =och x +x 2,x 3 +x 4 = i R 5 och lat u =(; ; ; ; ). a) estam den ortogonala projektionen av u pa U. b) estam avstandet fran u till U. apr 84:7

90 Svar 7. a) p3 (;,; ; ), p (,; ; ; ). 3 q b) =3. q 72. 2= (; ; ; ; ; ). 74. (2;,3; 2;,3; 2) (; ; ; 2), (; ; 2; ). 76. (2; ; 2; ). 77. (5t2, 3t, 2). 78. u = (7;,4; 3;,4), 5 u = (,2; ; 2;,) a) N(A) =ft (; 2; ) ; t 2 Rg, V(A) =fy 2 R 3 ;2y + y 2, y 3 =g. b) =6. 7. p 3 (,; ; ; ; ), p 87 (,4; ; 6; 3;,5) u =(; ; ; ;,), u =(; 2; ; 2; ). 73. u =(2; ; 2;,2; 2), u =(;,4; ; ; 2). 74. a) b) p 3 (,; ; ; ), q =3. p 3 (,; ;,; ). c) (; 2; 3; 2), (2; ; 2; 3). 75. a) b) p3 (; ; ; ), p (; ; ;,). 3 q 2= p6 (;,2; ; ), p3 (2;,; 4; 3), (; ; ; ), (,3;,; ; 3). 2 p2 p3 (,; ; ; ), p (; ; ; ) p p (,;,2; ; ). 3

91 72. p 7 (; 2;,3; 2; ), p 935 (7;,; ; 6; 7) (; ; ; ; ; ), p 3 (;,; ; ; ; ), p 87 (,5;,4; ; ; 6; 3) (3; 2; ; 4) (2; 7; 7; 5; 5) a) 2 respektive 2. q b) =. q = p u =(; 2;,3;,2), u =(,; 7; 3; 2) a) (; 2; ; 2), (,; ; 2; 5), (2; ;,2;,6). b) (3;,2;,; ). c) (;,;,;,3). 73. a) (;,; ; ; ; ), (,; ; ; ; ; ), (,;,; ; ; ; ), (,2;,; ; ; ; ). b) (; 2; 2), (2;,2; ) a) 2 respektive 3. b) p a) 2. b) 2 p a) b) 8 q (5;,3; ;,;,2). 3=8.