x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

Transkript

1 Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],..., E[ξ n ]). (Från ettbetygsskrivning i matematisk statistik. Insänd av Lennart Råde.) Funktionen f är reellvärd, har kontinuerlig derivata på intervallet 0 x och f (0) = f () = 0. Visa följande påståenden: a) Om f (x) 0 för 0 x, så antar f / f alla reella värden, då x genomlöper intervallet 0 < x <. b) Om f (x), 0 x, så är 0 x f (x) dx /8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på x sådan att lim a a existerar. Visa att lim a a a f (x)dx = {a n } 0 är en talföljd sådan att 0 a n och lim n a n =. Sätt M n = [0, a n ] [, + a n ]... [n, n + a 0 ]. Visa att n= M n = [x : 0 x < ]. ([i, i +a n i ] betecknar det slutna intervallet {x : i x i + a n i }.) Ange två positiva talföljder {a n } och {b n} sådana att /a n och /bn båda är divergenta men /(a n + b n ) konvergent En funktion är deriverbar i x 0 och f (x 0 ) = 0. Visa, att f är deriverbar i x 0 om och endast om f (x 0 ) = Visa, att om x och y är heltal med x > y, så gäller att x 2 y 2 2 x. n ( ) 260. Visa, att lim exp n k 2 = e 3/4. (exp(x) betecknar e x.) k=2 26. Visa att < 0. (Ledning: Beteckna vänsterledet med x och studera x y, där y = ) f (x) x dx

2 Årgång 50, 967 Elementa 262. {a n } är en talföljd sådan att a n 0, då n. Sätt b n = a n a n+. Visa att b n är konvergent och att dess summa är a För vilka reella tal x gäller sin3x 4sin x? (Svar: π/6 + nπ x π/6 + nπ, n heltal) 264. En stokastisk variabel ξ har täthetsfunktionen f, där f (x) = ax +b, x, a och b reella konstanter, samt f (x) = 0, x >. Mellan vilka värden kan a och b variera? Mellan vilka värden kan förväntan E(ξ) och variansen σ 2 (ξ) variera? (Ledning: Det gäller att f (x) 0 och f (x)dx =.) (Svar: /2 a /2; b = /2; /3 E(ξ) /3; 2/9 σ 2 (ξ) /3) Andra häftet 265. A är en matris med n rader och n kolonner, sådan att A k = 0 för något naturligt tal k. Visa att matrisen E A är inverterbar. (E är enhetsmatrisen med n rader och n kolonner.) (Bengt Klefsjö.) 266. Låt a i, i =, 2, 3,..., vara en strikt växande följd naturliga tal, som inte innehåller något primtal och som enbart består av relativt primiska tal (dvs. a i och a j har ingen gemensam faktor större än om i j ). Visa att < a i i= (Paul Erdös i Elemente der Mathematik.) 267. f är en kontinuerlig reellvärd funktion på < x < sådan att det för varje x finns något naturligt tal n (som kan bero av x) så att f n (x) = x. Här betecknar f n den n gånger sammansatta funktionen f n (x) = f (f n (x)), för n = 2, 3,... och f = f. Visa att f är strikt monoton Antag att x M x (M M 3 ) M 2 och att M 3 M 2. Medför detta a) M M 2, b) M M 3? (Här är M i delmängder av en viss grundmängd M och (M i ) är komplementet av M i ) (Svar: a) Nej, b) Ja) ( z ) 2, 269. Visa att z, z =, är reellt. + z 2

3 Elementa Årgång 50, För vilka värden på a är vektorerna (a,, a +) och (4, a, 3a) linjärt beroende? (Svar: a = 2) 262. En urna innehåller 7 lappar numrerade från till 7. Tre lappar drages utan återläggning. Vad är sannolikheten att det näst lägsta av de dragna numren är 4. (Svar: 9/35) Talet a väljes slumpvis i intervallet 0 a 0. Vad är sannolikheten att ekvationen x 2 + ax + = 0 får reella rötter? (Ledning: Lös ekvationen för att få villkor på a som ger reella rötter.) (Svar: 4/5) Visa att ekvationen log x arctan(x ) = 0 har två olika positiva rötter. (Ledning: Studera den funktion som definieras av vänsterledet.) a i är en konvergent serie. Undersök om i= (exp(a i ) ) är konvergent om a) a i 0, alla i, b) a i har godtyckligt tecken. (Svar: a) Konvergent, b) Ej nödvändigtvis konvergent) Bestäm alla två gånger deriverbara funktioner f med f (x) > 0 för alla x och lim x f (x) = 0, som uppfyller f (x)f (x) = ( f (x) ) 2 för alla x. (Svar: f (x) = Ae Bx, A och B godtyckliga positiva konstanter) Om talen c i, i =, 2,... uppfyller antingen 0 c i för alla i, eller c i för alla i, och vidare 0 p, så gäller för alla n n n ( p + pc i ) p + p c i. i= i= Tredje häftet Betrakta polynomet P(x) = n ν=0 a ν x ν, där a v är konstanter, a n 0. Låt k vara ett fixt naturligt tal, k < n. Beteckna nollställena till den k :te derivatan P (k) (x), med x µ, µ =, 2,..., n k. Visa att n k µ= x µ = k n n an a n. (Anders Huszár Jr.) En triangel med sidolängderna a, b och c och ytan S är given. Från en punkt i planet drages normalerna mot sidorna. Visa att summan av kvadraterna på normalernas längder är större än eller lika med 4S 2 /(a 2 + b 2 + c 2 ). (Bengt Klefsjö.) 3

4 Årgång 50, 967 Elementa I den harmoniska serien /n strykes all termer /n för vilka gäller att talet n innehåller siffran 9. Är den uppkomna serien konvergent eller divergent? Visa att det inte finns heltal k, m och n sådana att [ (k + n 2)/n ] 3 = 2. (Ledning: använd att 2 är ett irrationellt tal.) 263. Bestäm de komplexa tal z som uppfyller z 2 = z 2. (Svar: Re z =. Re betecknar realdelen) Visa att för varje komplext tal z 0 är Re z2 z 2 = 0. z Visa att för varje naturligt tal n gäller att n! n n/2. (Ledning: Använd t.ex. att ( + /n) n < 3.) 4 x y Visa att + x 2 + y 2 i området som bestäms av x2 + y 2, x och y reella tal. Kan likhet gälla? (Ledning: Använd t.ex. olikheten x y x2 +y 2 2.) (Svar: Ja, för x = y = 2 2 ) Funktionen f är definierad för alla reella x genom f (x) = x a x för x 0 och f (0) = 0. För vilka reella värden på konstanten a är f deriverbar i origo? (Svar: a > 0) Beräkna lim x n för de reella x för vilka gränsvärdet existerar. + xn n (Svar: 0 för x <, /2 för x =, för x > ) a är ett reellt tal och P = (a, 2a) är en punkt med koordinater a och 2a i ett visst koordinatsystem. För vilka värden på a ligger P inuti eller på randen av triangeln med hörn i punkterna ( 2, 3), (3, 4) och (, ). (Svar: 5/8 a 7/9) För vilka reella värden på a är ekvationssystemet x + az = 2x + ay + z = 5/2 (a )x + 6z = 2 lösbart? För vilka reella a finns entydig lösning? (Svar: Lösbart för a 2. Entydig lösning för a 0, 3 och 2) 4

5 Elementa Årgång 50, 967 Fjärde häftet f är en reellvärd, begränsad och kontinuerligt deriverbar funktion på (, ) sådan att f (x) + f (x) för alla x. Visa att f (x) överallt. (Torgny Lindvall.) f är en reellvärd funktion på (, ). Visa att mängden av punkter på (, ), där f har strikta maxima, är numrerbar M är mängden av punkter i det öppna intervallet 0 < x < och M 2 mängden av punkter i det slutna intervallet 0 x. Bevisa att det finns en motsvarighet mellan M och M 2, dvs en omvändbar funktion från hela M till hela M a, a 2,..., a n är givna tal och s k = k a i för k =, 2,..., n. Visa att 2 n s i a i = n a 2 i + s2 n Funktionen f är reellvärd och kontinuerlig i origo och f (x) lim = A > 0. x 0 x a) Visa att f är deriverbar i origo och bestäm f (0). b) Visa att lim x +0 (f (x)) x existerar och beräkna gränsvärdet. (Ledning: (f (x)) x = exp{x log f (x)} om f (x) > 0.) (Svar: A respektive ) Lös ekvationen z 3 + z 2 + z + = 0. (Svar: ; ±i ) f är en reellvärd funktion definierad i ett öppet intervall I som innehåller origo. Vidare är f deriverbar i origo med f (0) = 0 och f (0) =. För varje x I finns ett öppet intervall I (x) som innehåller origo, så att f (x + y) = [f (x) + f (y)]/[ f (x)f (y)] för alla y I (x). Visa att f är deriverbar och att f (x) = + ( f (x) ) 2 för x I. (Ledning: Bilda (f (x + y) f (x))/y.) Visa att i föregående uppgift f (x) = tan x, x I Låt S vara klassen av 2 2 matriser av typen ( n 2n 0 0 ), där n är ett heltal skilt från noll.. Visa att S är sluten under matrismultiplikation, dvs. att M S och M 2 S medför att M M 2 S. 5

6 Årgång 50, 967 Elementa 2. Visa att S har ett neutralt element vid matrismultiplikation, dvs. att det finns en matris E S så att M E = E M = M för alla M S. 3. Har varje element i S en invers i S vid matrismultiplikation, dvs. finns det, för varje M S, ett element M 2 S, så att M M 2 = M 2 M = E, där E är ett neutralt element? ( ) 2 (Svar: 2. E = är neutralt element Nej. Om vi vid definitionen av S hade betraktat rationella tal n 0 istället för heltal, hade svaret varit ja ) x, x 2,..., x n är reella tal med medelvärde m, dvs m = n n x i.. Visa att n i= (x + a) = 0, a reellt, om och endast om a = m. 2. Bevisa att n (x i m) 2 < n (x i a) 2 för alla reella a m. 3. Gäller det för varje val av {x i } n att n x i m n x i a för alla reella a? (Svar: 3. Nej. Ex.: n = 3, x = x 2 =, x 3 =, a = ) 6