Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Transkript

1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall Känna till och använda öppna och slutna intervall, samt begreppet omgivning Känna till något om supremumegenskapen 2. Funktioner. Förstå och använda funktionsbegreppet Förstå och använda begreppen definitionsmängd, värdemängd, funktionsgraf Förstå och använda begreppen begränsad, udda, jämn (om funktioner) 3. Gränsvärde. Förstå definitionen (på någon nivå) och dess roll. Använda räkneregler, omskrivningar mm för att beräkna enklare gränsvärden Känna till och använda att sin x/x går mot 1 när x går mot 0 4. Kontinuitet. Förstå definitionen och dess roll. Känna till klassen av elementära funktioner, avgöra om en funktion är elementär Förstå och använda satser om kontinuerliga funktioner på kompakta intervall 5. Trigonometri, polynom, absolutbelopp. Räkna med sin, cos, tan och cot i radianer Använda enhetscirkeln och kunna funktionsvärden för enkla vinklar Använda trigonometriska formler och lösa trigonometriska ekvationer Räkna med polynom, använda faktorsatsen Kunna linjens ekvation på olika former Räkna med absolutbelopp, både med definitionen och med avståndstolkningen Lösa ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp

2 2. SAMMANFATTNING AV MODUL 1 1. Mängden av reella tal, R. Den här kursen handlar om reellvärda funktioner av en reell variabel. Man kan tänka på de reella talen som decimaltal med en decimalutveckling som eventuellt är oändlig och hur komplicerad som helst. Bland de reella talen finns heltalen och de rationella talen (bråktalen), men också irrationella tal som 2, π och e. Man åskådliggör ibland de reella talen med en oändlig tallinje, där varje punkt motsvarar ett reellt tal. 0 kallas ofta origo. De funktioner vi studerar kommer för det mesta att vara definierade på intervall av reella tal. Det viktigt att man förstår och kan använda den notation som förekommer. Till exempel betyder [2, 3] intervallet som består av alla reella tal x som uppfyller att 2 x 3. Detta intervall kallas slutet eftersom ändpunkterna är medtagna. När ändpunkterna inte är med kallas intervallen öppna, t ex det intervall som består av alla reella tal x sådana att 1 < x < 5. Detta betecknas ofta (1, 5) (obs att den senare beteckningen också skulle kunna betyda koordinaterna för en punkt i xy-planet när beteckningen används brukar det vara lätt att från sammanhanget förstå vilken betydelse som avses). En del intervall är obegränsade, t ex (2, ) som består av alla tal större än 2. Intervall som är både slutna och begränsade kallas ibland kompakta. Ibland används mängdklamrar för att beskriva mängder. Intervallet (1, 5) skulle med mängdklamrar kunna skrivas x R : 1 < x < 5}. Med en omgivning till en punkt menar man ett öppet intervall som innehåller punkten. Supremumegenskapen. Mängden alla reella tal R har en viktig egenskap: varje icketom uppåt begränsad mängd av reella tal har en minsta övre gräns (supremum). Supremum för en mängd är det minsta tal som är större än eller lika med alla tal i mängden. Supremum kan, men måste inte, själv tillhöra mängden. Exempel: Om M = x R : x 2 < 2} så är supremum av M talet 2. I detta fall tillhör supremum inte mängden. Poängen är att supremum finns. Q, de rationella talen, har inte supremumegenskapen. Exempel: Om N = x Q : x 2 < 2} så är N en icke-tom uppåt begränsad mängd av rationella tal, men det finns inget rationellt tal som är en minsta övre gräns till N - där mängden tar slut finns det inget tal (kom ihåg att 2 inte är rationellt). 2. Funktioner. Med en funktion f : A B menas en regel som till varje element a A ordnar ett entydigt bestämt element f(a) B. Mängden A kallas definitionsmängd till funktionen. Mängden av alla de element y B sådana att y = f(x) för något x A kallas värdemängd till funktionen. Värdemängden är alltså en delmängd till mängden B men behöver inte vara hela B. 2

3 De flesta av våra funktioner kommer att vara definierade på intervall av reella tal. Om man anger definitionsmängden explicit så är det den angivna mängden som är definitionsmängd, även om funktionen egentligen skulle kunna ha en större definitionsmängd. Exempel: den funktion f som ges av f(x) = x 1, x > 10, har som definitionsmängd alla reella tal som är större än 10. Om man däremot inte anger definitionsmängden explicit så antas att definitionsmängden är den största mängd reella tal för vilken funktionsuttrycket är definierat och är ett reellt tal. Exempel: den funktion h som ges av h(x) = x 1 har som definitionsmängd alla reella tal som är större än eller lika med 1. Observera att f och h ovan inte är samma funktion (de har ju olika definitionsmängd). En viktig funktion är absolutbeloppsfunktionen, som skrivs x och definieras x, om x 0 x = x om x < 0 Man kan kontrollera att x mäter avståndet från punkten x till origo på reella linjen. På samma sätt kan a b tolkas som avståndet från punkten a till punkten b på tallinjen. En stor klass av funktioner är de elementära funktionerna. Den klassen består av alla polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner, samt alla kombinationer av sådana funktioner med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning. Ett exempel på en elementär funktion är f som ges av f(x) = 43x9 sin x 5 e 4711x2 1 + x + ln(1 + tan x). Ett exempel på en funktion som inte är elementär är Heaviside-funktionen H som ges av 1, om x 0 H(x) = 0 om x < 0 Med sammansättning av funktioner menar man f g(x) = f(g(x)). Observera att absolutbeloppsfunktionen är en elementär funktion eftersom x = x 2 för alla x. Ytterligare terminologi. Det finns några ytterligare termer som man måste kunna. Man säger att en funktion f är begränsad om det finns ett tal C sådant att f(x) C för alla x i definitionsmängden. 3

4 Man säger att en funktion f är jämn om f( x) = f(x) för alla x i definitionsmängden. Man säger att en funktion f är udda om f( x) = f(x) för alla x i definitionsmängden. Med funktionsgrafen till en funktion f menar man alla de punkter med koordinater (x, y) i planet sådana att y = f(x). Exempel. Funktionerna g och k som ges av g(x) = cos x och k(x) = sin x är båda begränsade (som konstanten C kan man i båda fallen ta talet 1). Funktionen g är jämn och funktionen k är udda. Observera dock att de flesta funktioner varken är jämna eller udda. 3. Gränsvärde. Här är bara en kort uppräkning av det viktigaste, se boken för en fullständig genomgång. Observera att gränsvärdesdefinitionen är till för att slå fast vad begreppet gränsvärde betyder. Den är alltå ingen räkneregel, utan just en definition. Oftast räknar man ut gränsvärden på andra sätt än genom att använda definitionen. Men definitionen talar om vad det är man i så fall har räknat ut, vad begreppet gränsvärde står för. Definition. Att gränsvärdet av f när x går mot a är L, ofta skrivet lim f(x) = L, betyder: för varje tal ɛ > 0 finns ett tal δ > 0 sådant att f(x) L < ɛ för alla x som uppfyller att 0 < x a < δ. Översatt till vanligt (och lite mer oprecist) språk: Att gränsvärdet av f när x går mot a är L, ofta skrivet lim f(x) = L, betyder: vi kan få f(x) hur nära L som helst bara genom att välja x tillräckligt nära a. Sedan finns en motsvarande definition för gränsvärde när x går mot oändligheten också. Räkneregler för gränsvärden. Gränsvärden följer några enkla regler (som kan bevisas med hjälp av definitionen, se kursboken). Nämligen, om lim f(x) = L och lim g(x) = M, där L och M är reella tal, så gäller att: lim(f(x) + g(x)) = L + M (f(x) g(x)) = L M lim lim lim (f(x)g(x)) = LM (f(x)/g(x)) = L/M (om M 0) Om man i gränsvärdesdefinitionen begränsar sig till x som ligger till höger om a talar man om gränsvärde när x går mot a från höger, vilket skrivs lim + f(x). På samma sätt kan man titta på vad som händer när x går mot a från vänster, vilket skrivs lim f(x). 4

5 Observera att för att gränsvärdet lim f(x) ska existera så måste gränsvärdena från vänster och höger båda existera och de måste också vara lika. För Heaviside-funktionen är gränsvärdena från höger och vänster olika i origo, så den har inget gränsvärde där. Vi har också den så kallade instängningslagen: om en funktion ligger mellan två funktioner som har samma gränsvärde i en punkt så måste den instängda funktionen också ha detta gränsvärde i punkten. För precis formulering, se kursboken. Med hjälp av denna kan man bevisa ett viktigt standardgränsvärde närmligen sin x lim x 0 x = 1. Ibland talar man om gränsvärden som är oändliga och skriver lim f(x) =. Detta är i så fall ett så kallat oegentligt gränsvärde, dvs det är egentligen inget gränsvärde (eftersom oändligheten inte är ett tal), men det är ett praktiskt skrivsätt. 4. Kontinuitet. Här är bara en kort uppräkning av det viktigaste, se boken för en fullständig genomgång. Definition. En funktion f är kontinuerlig i en punkt a om lim f(x) = f(a). För att vara kontinuerlig i a ska alltså f ha ett funktionsvärde i punkten a, ha ett gränsvärde när x närmar sig a, och gränsvärdet och funktionsvärdet ska dessutom vara lika. En funktion som är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd sägs vara en kontinuerlig funktion. Heaviside-funktionen H ovan är inte en kontinuerlig funktion. Den är nämligen inte kontinuerlig i 0, som ju tillhör definitionsmängden (men den är kontinuerlig i alla andra andra punkter. ) Med hjälp av räknereglerna för gränsvärden och satsen som säger att sammansättningen av två kontinuerliga funktioner är kontinuerlig och med hjälp kontroller av polynomfunktioner, rationella funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner och inversa trigonometriska funktioner kan man bevisa följande sats: Sats. De elementära funktionerna är kontinuerliga i alla punkter där de är definierade. Med hjälp av bl a supremumegenskapen för de reella talen kan man visa följande två viktiga satser om kontinuerliga funktioner på slutna och begränsade intervall. Sats. En funktion som är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall antar både ett största och ett minsta värde. Sats. En funktion som är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall antar alla mellanvärden, dvs: om funktionen antar två olika värden så måste funktionen också anta alla värden mellan dessa två värden. 5

6 5. Polynom och Trigonometriska funktioner. I kapitel P i kursboken finns avsnitt om polynom och trigonometriska funktioner. Detta har studerats både i gymnasiet och i introduktionskursen under mottagningsperioden och tas därför inte upp här. Men det förutsätts att man kan detta mycket bra. Den som har luckor behöver lägga ner extra tid på detta på egen hand. Särskilt när det gäller sinus, cosinus, tangens och cotangens så är det viktigt att man har mycket goda kunskaper om dessa funktioners egenskaper. Räta linjens ekvation på olika former är det också mycket viktigt att man kan bra. Missa inte enpunktsformeln (point/slope equation i boken). Den kommer att användas om och om igen i kursen! Fråga gärna assistenterna vid övningarna. Använd mattejouren. 3. REKOMMENDERADE ÖVNINGSUPPGIFTER UR BOKEN Kap P1: uppg 7, 11, 19, 29, 39. Kap P2: uppg 13, 15, 17, 23. Kap P3: uppg 3, 7, 43, 49. Kap P4: uppg 1, 3, 7, 11, 31, 33, 53. Kap P5: uppg 9, 25. Kap P6: uppg 1, 7, 17. Kap P7: uppg 1, 3, 7, 19, 25, 26, 51. Kap 1.2: uppg 9, 13, 21, 25, 30, 49, 50, 78, 79. Kap 1.3: uppg 3, 6, 11, 13, : 13, 29. Kap 1.4: uppg 7, 8, 12, 15, 17, 20, 21, UPPGIFTER ATT ARBETA MED Uppgift 1. Lös ekvationerna (var noga med att hitta alla lösningar): (a) x + 2 = 3 (b) x x = 3 Uppgift 2. Lös olikheterna: (a) x + 1 > 3 (b) x + 1 x < 0 Uppgift 3. Lös ekvationerna (var noga med att hitta alla lösningar): (a) cos 2t = 0 (b) sin 3t = 3/2 (c) tan 4t = 1 Uppgift 4. Finn ekvationer för nedanstående räta linjer: (a) Den linje som går genom punkterna (2, 5) och (4, 1) (b) Den linje som har riktningskoefficient 7 och går genom punkten ( 1, 3) (c) Den linje som går genom punkten (2, 1) och är vinkelrät mot linjen i (b) 6

7 Uppgift 5. Bestäm definitionsmängderna till nedanstående funktioner x2 + 1 (a) f(x) = 7x 5 (b) g(x) = sin(x 1) 2 x (c) h(x) = 1 + cos 2x Uppgift 6. I vilka punkter är funktionerna i uppgift 5 kontinuerliga? Uppgift 7. Avgör om några av nedanstående funktioner är udda eller jämna: x2 + 1 (a) f(x) = 7x 5 (b) g(x) = sin(3x + 1) (c) h(x) = cos 3x Uppgift 8. Faktorisera nedanstående polynom så långt som möjligt i reella faktorer: (a) f(x) = x (b) g(x) = x 2 + 2x 3 Uppgift 9. Gör enkla skisser av graferna till nedanstående funktioner: (a) f(x) = x x + 1, då x > 2 (b) g(x) = x 1, då x 2 Uppgift 10. I vilka punkter är nedanstående funktioner kontinuerliga? (a) f(x) = cos2 x + 1 x 2 1 sin 2x (b) g(x) = x, då x 0 2, då x = 0 x 2 + 1, då x > 1 (c) h(x) = 2 sin x, då x 1 Uppgift 11. Visa att nedanstående funktioner har minst ett nollställe i intervallet [ 1, 1]: (a) f(x) = x 3 + x + 1 (b) g(x) = cos x + 2x + 1 (c) h(x) = sin x + x2 4 + x 2 7

8 Uppgift 12. Tar dessa funktioner ett största och ett minsta värde på intervallet [ 1, 1]: (a) f(x) = cos2 x + 1 x cos 2x, då x 0 (b) g(x) = x 2 2, då x = 0 x + 1, då x > 0 (c) h(x) = x + 1/2, då x 0 Uppgift 13. Låt f vara den funktion som är definierad genom f(x) = x 2 1 x 1 πx tan 4 då x 1 2, då x = 1 (a) I vilka punkter är f kontinuerlig? (b) Tar f ett största och ett minsta värde på intervallet [ 1, 0]? (c) Tar f ett största och ett minsta värde på intervallet [0, 1]? (d) Tar f ett största och ett minsta värde på intervallet (0, 1)? Uppgift 14. Låt H vara Heaviside-funktionen som har värdet 0 för alla negativa t och värdet 1 för alla icke-negativa t. Betrakta funktionen f som ges av (a) Bestäm definitionsmängden för f. (b) I vilka punkter är f kontinuerlig? (c) Är f begränsad? (d) Är f udda eller jämn? (e) Skissa grafen för f. f(t) = H(t) sin t H(t 2π) sin t. Uppgift 15. Beräkna nedanstående gränsvärden: (a) lim x 5 x 2 25 x 5 (b) lim x 5 x 5 x 2 25 (c) lim x 0 sin x + x sin x (d) lim x 0 sin kx x (e) lim x 0 sin 2x sin x (f) lim x 0 tan x x 8

9 De sista två uppgifterna kan man spara till senare om man vill: Uppgift 16. Bestäm ekvationer för nedanstående kurvor: (a) Cirkeln runt origo med radie 2 (b) Linjen genom origo som också går genom punkten (a, b) (c) Cirkeln med medelpunkt i (2, 1) och radie 9 (d) Ellipsen med medelpunkt i origo och halvaxlar 2 och 3 (finns det flera?) Uppgift 17. Skissa nedanstående andragradskurvor: (a) x 2 + 2x + y 2 + 4y = 4 (b) x 2 + 2y 2 = 1 (c) x = y 2 Titta inte i facit förrän du har löst uppgifterna så bra du kan! 9

10 5. FACIT OCH LÖSNINGSTIPS 1. (a) Lösningarna är x = 1 och x = 5, (b) Lösningarna är x = 1 och x = 2 2. (a) x > 2 eller x < 4, (b) x < 1/2 3. (a) t = π/4 + nπ/2, n heltal, (b) t = π/9 + n2π/3, n heltal, eller t = 2π/9 + n2π/3, n heltal, (c) π/16 + nπ/4, n heltal 4. (a) y = 2x + 9, (b) y 3 = 7(x + 1), (c) y 1 = ( 1/7)(x 2) 5. (a) x > 5/7, (b) x 1/2, (c) x π/2 + nπ, n heltal 6. Samma svar som i uppgift 5 dessa funktioner är elementära! 7. (a) Varken udda eller jämn, (b) Varken udda eller jämn, (c) Jämn, eftersom cos( 3x) = cos 3x för alla x. 8. (a) Kan ej faktoriseras ytterligare eftersom det saknar reella nollställen. (b) (x 1)(x + 3) 9. (a) Ser ut som y = x men skiftad ett steg åt höger och ett steg uppåt. (b) Följ receptet i funktionen och skissa de olika delarna helt enkelt. 10. (a) Alla x ±1, (b) Alla x (för nollskilda x är funktionen automatiskt kontinuerlig eftersom då är given av ett elementärt uttryck, för noll måste man undersöka att funktionsvärdet är lika med gränsvärdet och det är det.) (c) Alla x Använd satsen om mellanliggande värden! 12. (a) Ja (kontinuerlig på hela det slutna intervallet), (b) Ja (kontinuerlig på hela det slutna intervallet) (c) Nej 13. (a) x 2 + 4n, n heltal, (b) Ja, (c) Ja, (d) Nej 14. (a) Alla x, (b) Alla x, (c) Ja, (d) Nej, varken udda eller jämn, (d) Ser ut som en sinussvängning på intervallet [0, 2π] och är 0 för övrigt. 15. (a) 10, (b) 1/10, (c) 2, (d) k, (e) 2, (f) x 2 + y 2 = 4, (b) y = bx/a, (c) (x 2) 2 + (y 1) 2 = 81, (d) x 2 /4 + y 2 /9 = 1 eller x 2 /9 + y 2 /4 = (a) Cirkel, (b) Ellips, (c) Parabel 10