Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Transkript

1 Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av det som redovisas i föreläsningarna. 1 Standardgränsvärden Vi presenterar utan bevis en lista av standard gränsvärden som involverar elementära funktioner: α (1) e = 0, (obestämd form: ) ln (2) = 0, för α > 0 (obestämd form: α ) (3) = 1 (obestämd form: 0 0 ) (4) e 1 = 1 (obestämd form: 0 0 ) (5) (1 + ) 1/ = e. (obestämd form: 1 ) Anmärkningar. Alla gränsvärden (1)-(5) har obestämd form. Den geometriska tolkningen av (1) är att funktionen e divergerar mot då snabbare än α ; på liknande sätt innebär (2) att α (α > 0) divergerar snabbare än ln då. Gränsvärdet (3) betyder att konvergerar mot 0 då 0 lika snabbt som. Gränsvärdet (4) har en liknande tolkning. Gränsvärdet (5) kan användas för att definiera talet e. I flera fall kan gränsvärden med obestämd form reduceras till ett i lista (1)-(5) genom variabelsubstitution. Eempel 1. Beräkna e

2 Vi omskriver gränsvärdet som e 3 1 = 3 e3 1 3 Sätt y = 3; då 0 är ekvivalent med y 0. Därför e 3 1 = 3 e y 1 y = 3 e = 3 2. Beräkna ln(1 + ). 7 Låt = e y 1. Då 0 är ekvivalent med y 0. Därför 3. Beräkna ln(1 + ) 7 = ln(1 + (e y 1)) 7(e y 1) = 2 ln(5) + ln e y 7(e y 1) = 1 7 Låt = 1/y. Då 0 + är ekvivalent med y +, därmed y e y 1 = ln(5) = + y y ln 5 y = 2 2 ln 5 ln y (ln 5 ln y) = 2 y y y y y y = Beräkna Vi skriver Vi har Därför 5. Beräkna Vi skriver 1 då 0 och sin(3) sin(3) = sin(3). sin(3) = sin(3) 1 3, då 0 sin(3) = 1 3 ( ) 2n n n ( n [( = 1 + n n) 1 ) n ] 2 = e 2 n n 2

3 2 Gränsvärden av rationella funktioner Låt p() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 vara ett polynom med grad n > 1. Då har vi Till eempel, p() = p( 0 ), för alla 0 R = (1) 4 = 0 Gränsvärden av p() när ± beror på tecknet av a n och på om n är udda eller jämn enligt följande reglerna: 1. Om a n > 0 då p() när ; om a n < 0 då p() när. Eempel: 2 = ; = Notera att i första eemplet divergerar båda termer 2 och till då och därmed deras summa har obestämda formen " ". För att bestämma gränsvärdet i detta fall använder vi att 2 = 2 (1 1 ). Eftersom 1 1/ 1 då då har vi 2. Om n är jämn då gäller att 2 = 2 (1 1 ) = 1 =. p() =, om a n > 0 och Om n är udda då gäller att Till eempel p() =, om a n > 0 och p() =, om a n < 0. p() =, om a n < =, = etc. Låt p() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 vara ett polynom med grad n > 1 och q() = b m m + b m 1 m b 1 + b 0 vara ett polynom med grad m > 1. Betrakta rationella funktionen f() = p() q(). 3

4 Notera att en rationell funktion får alltid definieras på mängder av formen (, a] och [b, ) (varför?). Därför kan vi studera gränsvärdet av f då ±. Detta gränsvärde beror på endast högsta potenserna i polynomen. Till eempel: = 5 ( / / 3 + 7/ 5 ) 5 ( / + 457/ 3 + 1/ 5 I allmänhet har vi = 5 3 = Sats 2.1. Det gäller att p() ± q() = a n n b m. m Eempel: ± = ± ± = 4 6 = ± = = = 3 ± ± 4 4 = = = Om 0 tillhör definitionsmängden av f() då har vi f() f( 0 ) när 0. Till eempel = = 2 3 = 2 3. Låt oss nu betrakta ett eempel med kvadratroten av polynom. Till eempel Detta gränsvärde har obestämd form. För att bestämma värdet beräknar vi = ( ) = = (1 + 3/ 3 1/ 6 ) + 3 = ( 1 + 3/ 3 1/ Därför = = 3. 4

5 3 Asymptoter Definition 3.1. Låt f : D R vara en funktion så att (a, ) D, för något reellt tal a R. En rät linje y = k + m kallas asymptot till f då om [f() (k + m)] = 0. I detta fall skriver vi f() k + m då. På liknande sätt definieras vad som menas med asymptot av en funktion då. Därför om y = k + m är en asymptot till f då, så blir grafen av f närmare och närmare till grafen av räta linjen y = k + m då blir större och större (rita figur) Eempel. 1. f() = Då är Därmed 3 3 f() = 4 = 3 2 (f() 3) = (3 3) = 0 Därför är y = 3 asymptot till f då, d.v.s., f() 3 då. 2. f() = sin(1/). Eftersom och 1/ 0 + då då har vi Därmed f() 3 + då. 2 sin( 1 ) = sin(1/) (1/) f() = 3 + sin(1/) (1/) = Kontinuerliga funktion Definition 4.1. En funktion f : D R sägs vara kontinuerlig i 0 om 0 D och f() = f( 0 ) (1) 0 Om f är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd kallas den kontinuerlig. 5

6 Anmärkning: om 0 är en inre punkt i D är gränsvärdet i (1) lika med både höger och vänstergränsvärdet (om dessa två gränsvärden inte är lika med varandra då är es i (1) inte ens definierad). Om 0 inte är en inre punkt i D då står es i (1) för höger eller vänstergränsvärdet, beroende på vilket kan definieras. Till eempel betrakta funktion { 2 vid = 0 f() = Då är f() kontinuerlig för > 0 men f() = + + Alltså är f inte kontinuerlig i = 0. då > 0 Uppgift 4.1. Kom ihåg att stegfunktion definieras av { 1 då > 0 H() = 0 då < 0 Är H kontinuerlig? = 1 f(0) = 2. Alla elementära funktioner diskuterades hittills är kontinuerliga. Därmed om f, g är kontinuerliga så är även f f + g, fg, g, f g kontinuerliga i respektive definitionsmängder. I själva verket, för att definiera en diskontinuerlig funktion, måste man ange två olika funktionsregler på två olika mängder, som visades i eempel (2) ovan. Om f inte är kontinuerlig i 0 D då säger man att f är diskontinuerlig i 0. Detta betyder att åtminstone ett av höger/vänstergränsvärden av f då 0 är inte lika med f( 0 ). Om f är diskontinuerlig i 0 då gör grafen av f ett hopp vid = 0 (rita figur) Två viktiga egenskaper av kontinuerliga funktioner är följande: 1. Om en funktion f är definierad och kontinuerlig i ett intervall [a, b] och f(a) f(b) då antar f varje värde mellan f(a) och f(b). (Rita figur) 2. Om funktionen f är kontinuerlig på slutet intervallet [a, b] så har f ett största och ett minsta funktionsvärde på detta intervall, d.v.s., det finns 0, 1 [a, b] så att f( 0 ) f() f( 1 ) Eempel på tillämpning av 1. Visa att funktionen f() = 1/ e 2 cos har en rot i intervallet [0, π] (d.v.s., finns 0 [0, 1] så att f( 0 ) = 0). Lösningen: f(0) = 1/2 1 = 1/2 < 0 och f(π) = 1/2 50π 2 + e 2π 42.5 > 0. Eftersom f är kontinuerlig då, enligt 1, måste f antar alla värden mellan f(0) och f(π) och därmed måste det finna 0 [0, π] så att f( 0 ) = 0. 6 (2)