Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att

Transkript

1 Lektion, Envariabelanals den 8 september 999 = 0 Låt oss rita ut alla punkter i talplanet som har -koordinat nära det förmodade gränsvärdet 0 Vi får då en mängd som i figuren till höger Med nära 0 menar vi att ε -koordinaten ligger mellan ε och ε, där ε är något litet positivt ε tal Det numeriska värdet på ε är inte så viktigt utan det viktiga är att vi fierar något ε Om vi i vår figur också ritar in grafen till funktionen f() = / för > 0 så får vi figuren nedan till vänster För alla ε > 0 måste det finnas = (ε) så att ε < f() < ε för alla > I vårt eempel är f() = /, så vi ska alltså ta fram ett så att ε < < ε för alla > ( ) Vi kan alltid anta att > 0 varför den vänstra olikheten är uppflld Renodlar vi frågan blir den: För vilka positiva är / < ε Vi löser denna olikhet genom att först multiplicera med och multiplicera sedan med /ε < ε, /ε <, dvs om vi väljer > /ε så är olikheten ( ) uppflld Mao vi kan välja = /ε I och med detta har vi visat att = 0 Vad vi kan lägga märke till är att det finns ett -värde så att för > så ligger grafen helt inom den gråfärgade omgivningen till 0 Matematiskt skulle vi uttrcka detta som ε < f() < ε om > Givetvis beror värdet på av hur liten ε är Om ε väljs mindre än tidigare så blir vi tvungna att välja det na :et större Om vi vill vara tdliga ska vi skriva = (ε) ( beror av ε) Huvudidéen i gränsvärdesdefinitionen är att oavsett hur litet vi väljer ε ska det alltid finnas ett = (ε) så att grafen för > ligger inom den gråfärgade ε-omgivningen till 0 Om vi ska uttrcka detta i matematiska termer blir detta: 2 ( ( 2) 3 ) = Vi gör som i det tidigare eemplet och ritar ut de punkter i talplanet som har -koordinat i en omgivning av det förmodade gränsvärdet (figuren till vänster) + ε ε 2

2 I denna figur ritar vi också in grafen till funktionen f() = ( 2) 3 (figuren till höger) otera nu att i närheten av -värdet 2 ligger grafen inom den gråfärgade ε-omgivningen till -värdet Genom att välja ett litet intervall kring -värdet 2 kan vi få grafen helt inom den gråfärgade ε-omgivningen till Addera 2 Alltså kan vi välja δ = 3 ε ε > > 2 3 ε 2 + δ 2 δ ( ) 2 = Observera att när vi säger kring -värdet 2 så menar vi -värden i närheten av 2 men vi utesluter värdet 2 Vi kallar ett sådant intervall, som utesluter mittpunkten och har längd 2δ, för en punkterad δ-omgivning till 2 Gränsvärdesdefinitionen säger nu att oavsett hur litet vi väljer ε så ska det alltid finnas δ = δ(ε) > 0 så att grafen ligger inom den gråfärgade ε-omgivningen till då tillhör den punkterade δ-omgivningen till 2 Mera matematiskt lder detta: För alla ε > 0 måste det finnas δ = δ(ε) > 0 så att Vi ritar först ut de punkter i talplanet med -koordinat i en omgivning av (figuren till vänster) Med en omgivning av menar vi alla punkter med - koordinat större än något givet tal Precis som med ε är :s numeriska värde inte så viktigt ε < f() < + ε för alla 2 i intervallet (2 δ, 2 + δ) I vårt fall ska vi undersöka för vilka som Multiplicera med Addera ε < ( 2) 3 < + ε + ε > + ( 2) 3 > ε ε > ( 2) 3 > ε I vår figur ritar vi nu in grafen till funktionen f() = /( ) 2 (figuren till höger) Kring -värdet ligger grafen inom den gråfärgade omgivningen av, dvs det finns en punkterad δ-omgivning till där grafen helt tillhör omgivningen av Tag tredje roten ur + δ δ 3 ε > 2 > 3 ε

3 Gränsvärdesdefinitionen säger nu att oavsett hur vi väljer omgivningen av, dvs hur stor vi väljer, ska det alltid finnas ett δ = δ() > 0 så att grafen på en punkterad δ-omgivning till tillhör omgivningen av Den matematiska formuleringen blir: För alla måste det finnas δ = δ() > 0 så att Egentligen kan vi inte vara säkra på den första likheten innan vi vet att t 2 och (4 t) eisterar, och att (4 t) 0 Rent logiskt borde vi alltså först räkna ut dessa gränsvärden och därefter göra uträkningen ( ) Man brukar i vanliga fall inte vara så strikt utan undviker gärna denna dubbelskrivning av samma uträkningar f() > för alla i intervallet ( δ, + δ) Vi ska alltså undersöka för vilka som ( ) 2 > Multiplicera båda led med ( ) 2 (som är icke-negativ) och dela med, Ta kvadratrot Addera Alltså kan vi välja δ = > ( )2 < < < < Bestäm eller förklara varför gränsvärdet inte eisterar Om vi blint använder räknereglerna för gränsvärden får vi ( ) 3 2 = = (2 9) 0 Ovanstående uträkning är inte korrekt eftersom vi får 0 i nämnaren och då gäller inte gränsvärdesregeln om kvoter Vi måste istället skriva om gränsvärdesuttrcket till en form där vi kan använda våra räkneregler I detta fall faktoriserar vi täljare och nämnare, och förkortar bort den gemensamma faktorn ( 3)( 3) 3 2 = 9 3 ( 3)( + 3) = 3 ( 3) = 3 ( + 3) = 0 6 = 0 3 t 2 20 Bestäm eller förklara varför gränsvärdet inte eisterar t 4 4 t Vi använder räknereglerna för gränsvärden och får t 4 t 2 4 t = t 4 t2 t 4 (4 t) = ( 4)2 = 2 ( ) 4 ( 4) 4 + h 2 28 Bestäm eller förklara varför gränsvärdet inte eisterar h 0 h Med inspektion ser vi direkt att både täljare och nämnare går mot noll då h 0 Genom att förlänga med täljarens konjugat får vi bort kvadratrotsuttrcket i

4 täljaren i utbte mot ett harmlöst konjugatuttrck i nämnaren 4 + h 2 ( 4 + h 2)( 4 + h + 2) = h 0 h 0 h h( 4 + h + 2) h = h 0 h( 4 + h + 2) = = /4 h 0 h använda gränsvärdesräknereglerna = 2/ 2 ( / = 2/2 ) = (/ ) = Bestäm eller förklara varför gränsvärdet inte eisterar sin 36 Beräkna 2 + cos är 0 går täljare och nämnare mot 0 Vi förlänger med täljarens konjugat för att få bort beloppstecknen i differensuttrcket uppe i täljaren ( )( ) = 0 0 ( ) = 0 ( ) = ( ) ( ) 0 ( ) = 0 2 ( ) = = 6 Vi förlänger täljare och nämnare med / 2 och använder gränsvärdesräknereglerna 2 + sin 2 + cos = + sin 2 + cos 2 = + + De återstående gränsvärdesuttrcken beräknar vi med instängningsprincipen 2 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin ± 2 2 = 2 = 0 cos 2 cos ± 2 2 = 2 = * Beräkna 2 Genom att förlänga täljare och nämnare med / 2 får vi ett uttrck där vi kan Därmed är 2 + sin 2 + cos =

5 2 38 Beräkna Vilka är de horisontella och vertikala asmptoterna till = Vi förlänger med / = 2 / = / = { > 0} = För att komma vidare behöver vi följande räkneregel Gränsvärdet blir f() = f() 2 / 3 + / + / 2 (2 /) (3 + / + /2 ) = 2 3 De horisontella och vertikala asmptoterna bestäms av Om () = b då är = b en horisontell asmptot + 2 Om () = c då är = c en horisontell asmptot 3 Om a () = ± då är = a en vertikal asmptot Vi undersöker dessa fall = 2 5/ / = = 2 5/ 3 2/ = ämnaren blir 0 då = 2/3 Täljaren är är då negativ Alltså är () = 2/3 Alltså är = 2/3 och = 2/3 horisontella asmptoter, och = 2/3 är en vertikal asmptot 33 Beräkna gränsvärdet 3 3 2/3 2/3 Vi använder gränsvärdesräknereglerna 3 3 = 3 = = +