MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:

Transkript

1 MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera och bevisa feluskattningen för linjära aroimationen.. Kontinuitet. i) Formulera de nitionen å funktion kontinuerlig i en unkt. ii) Två funktioner f och g;är båda ode nierade i unkten 0: f() arctan och g() cos ln( + ): Bestäm om någon av dessa funktioner kan utvidgas till unkten 0 (d.v.s. om f(0) eller g(0) kan de nieras i unkten 0) så att funktionen blir kontinuerlig i den unkten. I fall det är möjligt ange hur man kan göra det. Funktionen f är kontinuerlig i unkt a om a f() f(a). 0+ arctan y+ arctan (y). 0 arctan y arctan (y). Det visar att gränsvärde 0 arctan saknas och funktionen f kan inte utvidgas till 0. Funktionen cos är begränsad för 6 0: cos. Funktionen ln( + ) har gränsvärde 0 ln( + ) 0: Det gör att jln( + )j cos ln( + ) jln( + )j där både 0 jln( + )j 0 och 0 jln( + )j och squeeze theorem medför att 0 cos ln(+) 0: Man kan utvidga funktionen g till 0 med värdet g(0) def 0 och få en funktion kontinuerlig i origo enligt de nition.. Tillämning av derivator. Betrakta funktionen: g() ( ) de nierad för alla ( ) reella tal förutom. Bestäm asymtoter till grafen om de nns. Bestäm singulära unkter, lokala etremunkter, absolut maimum och absolut minimum om de nns. Bestäm de intervall där funktionen är väande, avtagande, böjningsunkter (in ection oints), och de intervall där funktionen är konkav uåt och konkav neråt. Rita en skiss av grafen till funktionen. () Vi observerar att + horisontella asymtoter. ( ) + och ( ) Vi tester om det nns lutande asymtoter. Beräknar f() ( ) ( ) 0. Det nns inga lutande asymtoter heller. ( ). Det nns inga ( ) f() + ( ) ( ) 0.

2 ( ) ( ) + och. Detta medför att det nns en vertikal ( ) ( ) asymtot och grafen närmar sig den linjen när + och å olika sätt: går oändligt uåt från höger och oändligt neråt från vänster av. + Det betyder också att det nss inget absolut maimum och inget absolut minumum hos funktionen. Vi beräknar derivatan av f() och söker kritiska unkter d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : Endast rot av första derivatan är kritisk unkt :Derivatan är ositiv för nära och >. Derivatan är negativ för nära och < :Första derivatans test medför att funktionen har ett lokalt minimum f() i den unkten. Det är inte absolut minimum enligt tidigare analys. Derivatan är ode nierad i unkten 0 som är singulär unkt. Derivatan är ositiv för små ositiva och är negativ för små ositiva :Detta medför enligt första derivatans test att funktionen har ett lokalt maimum f(0) 0 i singulära unkten 0. Derivatan f 0 () är ositiv för < < 0, negativ för 0 < <, negativ för < <, ositiv för < < +. Detta medför att funktionen väer för < < 0, avtagar för 0 < <, avtagar för < <, väer för < < +. Beräknar andra derivatan: d ( ) d ( ) ( + ) ( ) + ( ) 7 ( + ) Andra derivatan är ode nierad i 0. ( ) Vi söker rötter av andra derivatan som är rötter till olynom ; +. Andra derivatan f 00 () är ositiv för < < 0, ositiv för 0 < < för < <, +. Det har rötter:, negativ ositiv för < < +, negativ för + < < +. Detta medför att f är konkav uåt för < < 0, konkav uåt för 0 < <, konkav nedåt för < <, konkav uåt för < < +, konkav nedåt för + < < +. Andra derivatan byter tecknet i unkter + och i, och första derivatan eisterar i dessa unkter så det nns tangent till grafen i och i och funktionen har böjningsunkter i och i. Grafen till f() ( ) är ( )

3 y Taylors olynom. Betrakta funktionen f() sin( + ) och dess aroimation med Taylors olynom av grad två för 0; : Uskatta feltermen å Lagranges form för den aroimationen och ange intervallet där värdet sin( + 0; ) måste ligga enligt dessa uskattningar. Taylors olynom aroimerar en funktion när aunkt a å följande sätt: f() f(a) + f 0 (a)( a) + f 00 (a) ( a) + E (), med feltermen E () f 000 (s) ( a), 6 där unkten s ligger mellan a och : I fall med konkreta funktionen a, a 0; ; f(a) sin(). f 0 (a) cos() ; f 00 (a) sin() ; f 000 (s) cos(s). sin( + 0; ) + 0; 0; + () ( ) (0; ) + (6) ( cos(s)) (0; ) +0; 0 0; 00+(6) ( cos(s)) (0; 00) +0; 07+( cos(s)) (0; 00) 6 cos(s) är avtagande funktion för < s < + 0;. cos() 0;. Detta medför att cos(s) E () < 0, je ()j (0; 000) 6. Detta medför att sin( + 0; ) ligger i intervallet + 0; 07 (0; 000) 6; + 0; 07 :. Gränsvärden och Taylors olynom. sin( ) Beräkna gränsvärdet: ( e( )) ln () Vi kommer att använda Taylor olynom med felterm å stora O from for att beräkna gränsvärdet. sin( ) y sin(y) Inför ny variabel y : ( e( )) ln () y0 ( e(y)) ln ( + y) Vi lägger märke till att sin(y) y y 6 + O(y ); e(y) + y + O(y ); ln( + y) y + O(y );och sätter in desssa uttryck in i uttrycket för : y sin(y) y (y y 6 + O(y )) y0 ( e(y)) ln ( + y) y0 ( ( + y + O(y ))) (y + O(y )) (y + O(y )) y 6+O(y ) y0 y 6+O(y ) ( y+o(y ))(y+o(y ))(y+o(y )) y0 ( y +y O(y )+yo(y )+O(y 6 )) y0 y 6+O(y ) y +O(y ) 6+O(y ) y0 6 +O(y)

4 6. Geometri i rummet. Tre unkter är givna A (; ; ), B (; 6; ), C (; ; ): Beräkna avståndet mellan unkten B och linjen genom unkterna A och C: Sökta avståndet kan beräknas å två sätt. ) Vi kan framställa vektorn AB som summa: AB u + w där u AB AC j ACj vektor rojektion av AB å AC och vektor w är vinkelrät mot B och linjen genom unkterna A och C : d j w j ar längden av vektorn w. AC - är AC. Avståndet mellan ) Annan lösning använder formeln för avståndet mellan en unkt B och linjen genom unkten A med riktningsvektorn AB: d j AB ACj j ACj Vi använder andra lösning. AB B A 6 ; AC 0 0 AB AC i j k det AB AC : AC Svar: d : 7. Geometri i rummet. Ange en ekvation för lanet genom två givna unkter M (; ; ) och P (; ; ) så att det är vinkelrät mot lanet med ekvationen y + z 0: Vi söker ekvation för ett lan genom en unkt, t.e. M med en normalvektor N : r M N 0: Normalvektorn N här är okänd. Den måste vara vinkelrät mot normalvektron n till givna lanet och till vektorn MP mellan unkter M och P som ligger i sökta lanet. Längden av normalvektorn selar ingen roll för lanets ekvation, så vi kan välja N i j k MP n det 6

5 : Sökta lanet har ekvation ( ) (y + ) (z + ) 0 eller y z Vektorer. Vektorer a ; b har längder: j a j ; b. Bestäm värden av arametern för vilka vektorer a + b och a mot varandra. b blir vinkelräta () Skalär rodukt av vektorer a + b och a b måste vara noll för att ha dem vinkelräta mot varandra. a + b a b 0; a + b a b a a a b + a b b b j a j b 0; 0; Svar:. Tis: Börja lösa ugifter från den som verkar vara lättats, ta sedan den som känns vara näst lättast o.s.v. Maoäng: 0 ; : 0; : 0; : 0