Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Transkript

1 Moment 8.5 Viktiga eempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar gång på gång... f () = f () = +4 f () = 4 f IV = 4 f V = 0... f MCCXXXIV () = 0 Vad händer om man deriverar funktionen f() = sin ett antal gånger? f () = cos f () = sin f () = cos f IV () = sin Så f IV () = f() och f V () = f () och så vidare. Om f() = e vilken derivata i ordningen är då f? () = e Asymptoter Definition. Lodrät asymptot. Den räta linjen = a är en lodrät (vertikal) asymptot till funktionen f() om f() ± då a + eller a Det vill säga om minst en av följande påståenden gäller f() = + a + f() = a + f() = + a f() = a Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter. En vertikal asymptot kan inte finnas i en punkt a där funktionen är kontinuerlig f() = f(a) a Håkan Strömberg KTH Syd

2 Eempel. Bestäm eventuella lodräta asymptoter till funktionen f() = +3 4 Funktionen är definierad för ±, D f = { : ±} Eftersom + f() = + har funktionen en lodrät asymptot i =. (Även f() = gäller) Eftersom f() = + har funktionen en lodrät asymptot i =. (Även + f() = gäller) Här är funktionens graf med asymptoterna inritade Definition. Höger, vågrät asymptot Den räta linjen y = b är en vågrät (horisontell) asymptot till funktionen f() då + om följande gränsvärde eisterar f() = b, där b R + På samma sätt definierar vi vänster, vågrät (horisontell) asymptot då Definition 3. Vänster, vågrät asymptot Den räta linjen y = b är en vågrät (horisontell) asymptot till funktionen f() då om följande gränsvärde eisterar f() = b, där b R Eempel. Bestäm eventuella vågräta asymptoter till funktionen Metod. Vi beräknar direkt f() = f() = ± ± + = ± + = Eftersom resultatet är ett reellt tal, inte ± finns här en vågrät asymptot för y = Håkan Strömberg KTH Syd

3 Metod. Används ofta för rationella funktioner för att enklare beräkna gränsvärdena då ±. När vi söker vågräta eller sneda asymptoter kan det vara praktiskt att skriva om funktionen f() som summan av två delar där f () 0 då ±. Då är f() = f ()+f () f() = f ()+0 ± ± Speciellt då f () = b, där b är en konstant, då har uppenbart funktionen en vågrät asymptot. I vårt eempel kan vi med hjälp av polynomdivision Vi får alltså Eftersom : + = f() = + + ± + = 0 ser vi genast att y = är en vågrät asymptot till funktionen Definition 4. Höger, sned asymptot. Den räta linjen y = k+m är en sned asymptot till funktionen f() då + om följande gäller (f() (k+m)) = 0 + Definition 5. Vänster, sned asymptot. Den räta linjen y = k+m är en sned asymptot till funktionen f() då om följande gäller (f() (k+m)) = 0 Följande, ekvivalenta definitioner, använder vi ofta för att bestämma k och m Definition 6. Höger, sned asymptot. Den räta linjen y = k+m är en sned asymptot till funktionen f() då + om följande gränsvärden eisterar (och är reella tal) f() = k, där k R + f() k = m, där m R + Definition 7. Vänster, sned asymptot. Den räta linjen y = k+m är en sned asymptot till funktionen f() då om följande gränsvärden eisterar (och är reella tal) f() = k, där k R f() k = m, där m R Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Eempel 3. Bestäm eventuella sneda asymptoter till funktionen f() = + Metod ( f() k = + = + ) + + ( ) = ( + ) = ( ) + m = (f() k) = = + = + Vi får att y = + är en sned asymptot till f(). Metod Vi skriver o funktionen f() som summan av två delar f() = f ()+f () = där andra delen f () = 0 ± Om vi får att f () = k+m då är y = k+m en sned asymptot till f(). Om f () är ett polynom av grad, så saknar f() sneda asymptoter. Vi tar till polynomdivision Vi får Då +0 + : = + + f() = ++ ± = 0 har f() en sned asymptot y = +, (både vänster och höger). Dessutom har funktionen en lodrät asymptot =. Se grafen Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Eempel 4. Bestäm eventuella asymptoter till funktionen f() = ln( 5) Funktionen är definierad då 5 > 0 och 0, D f = { : > 5} Vertikal asymptot. Vi beräknar ln( 5) = 5 Alltså har vi en vertikal asymptot då = 5 Vågrät asymptot ln( 5) = = Medför att y = 0 är en vågrät asymptot till f(). [ ] ln0 = 5 5 = 5 = Eempel 5. Bestäm eventuella asymptoter till f() = 43 3 Funktionen har definitionsområdet D f = { : 3} Vertikal asymptot. Vi beräknar 3 Alltså har vi en vertikal asymptot då = 3 Vågrät asymptot. Vi beräknar = f() saknar vågräta asymptoter = 08 0 = 4 ( 3 3 ) = 4 ( 3 ) = Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Eempel 6. Bestäm eventuella asymptoter till f() = + D f = { : } Vi startar med att utföra polynomdivision Vi får + : = 0 + f() = + Vi konstaterar att f() har en lodrät asymptot = eftersom f() = och + f() =. När vi delar upp f() så ser vi att f() = f ()+f () = + ± = 0 och att detta innebär att f() har en sned asymptot y = Eempel 7. Bestäm eventuella asymptoter för D f = { : }. Vertikal asymptot f() har en vertikal asymptot för = f() = 3 3 = 0 = Polynomdivision ger och vi får 3 : = 4 f() = + Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 som ger + ± = + ( ± ) = f() har en horisontell asymptot y = Eempel 8. Bestäm eventuella asymptoter för f() = ln+ ln D f = { : 0 < < e eller > e}. ty ln = ; = e Vertikal asymptot ln+ e ln = 0 = Horisontell asymptot ln+ ln = = f() har en horisontell asymptot y = = Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Eempel 9. Bestäm eventuella asymptoter för d f = R f() = 3+e Vertikal asymptot f() är definierad för hela R och därför saknas vertikala asymptoter. Horisontella asymptoter f() har en horisontell asymptot för y = 3 3+e = 3+ e = 3+ 0 = Eempel 0. Bestäm eventuella asymptoter för D f = R f() = 5+e Vertikal asymptot f() är definierad för hela R och därför saknas vertikala asymptoter. Horisontella asymptoter f() har en horisontell asymptot för y = 5 5+e = 5+ e = 5+ 0 = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Eempel. Bestäm eventuella asymptoter för D f = R f() = + Vertikal asymptot f() är definierad för hela R och därför saknas vertikala asymptoter. Horisontella asymptoter + = f() har en horisontell asymptot för y = då + = f() har en horisontell asymptot för y = då + = + = Konvea och konkava funktioner En funktion sägs vara konve i ett intervall I, om dess graf har egenskapen att varje korda, som förbinder två godtyckliga punkter på grafen i sin helhet ligger ovanför (eller tangerar) grafen. Har funktionen f() en andraderivata i intervallet I, så är f() konve om f () 0 för alla I (för alla i intervallet I) En funktion sägs vara konkav om dess graf har egenskapen att varje korda, som förbinder godtyckliga punkter på grafen i sin helhet ligger under grafen. Har funktionen f() en andraderivata i intervallet I, så är f() konkav om f () 0 för alla I (för alla i intervallet I) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Infleionspunkt Funktionen f() har en infleionpunkt i (a, f(a)) om funktionen för = a övergår från att vara konve till att vara konkav, eller tvärt om. Då gäller att f (a) = 0 och att f () ändrar tecken i = a. Eempel. Vi tittar närmare på funktionen med grafen f() = Har den några infleionspunkter och i så fall var? Vi startar med att ta fram f () och löser sedan ekvationen f (0) = f () = f () = ++ Återstår att lösa andragradsekvationen ++ = 0 som har rötterna = och =. Byter f ( ) tecken före och efter =? f ( 3) = 4 och f( ) =. Ja, vi har hittat en infleionspunkt. Samma undersökning runt =. f (0) = och f () = 4. En infleionspunkt till! Fler kan det inte finnas. I SAOL (Svenska akademiens ordlista) finns den förklarande teten för infleionspunkt: punkt där en kurva byter krökningsriktning Tillämpningar av derivatan Sats. Differentialkalkylens medelvärdessats Om funktionen f är deriverbar i intervallet a b så finns (minst) en punkt c i intervallet a < < b sådant att f(b) f(a) = f (c)(b a) f (c) = f(b) f(a) b a I någon punkt mellan a och b är tangentens lutning lika med medellutningen Eempel 3. För funktionen f() = i intervallet 4 4 söker vi en tangent med k-värdet f () = f(4) f( 4) 4 ( 4) = 6 ( 34 8 = 0 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 Vi vet att det finns åtminstone ett i intervallet där detta är uppfyllt. Vi söker alltså sådana att f () = 0 Ekvationen = 0 har två rötter = 3± och Båda ligger i intervallet och det finns alltså två tangenter med k-värdet 0. Om vi koncentrerar oss på får vi f ( ) = (8+ 57) 9 Vi har nu en punkt och ett k värde. Återstår att finna tangentens m-värde. (8+ 57) 9 Vi får m och kan skriva tangentens ekvation Se grafen ovan. = y = 0+ ( ) 9 Sats. Om f är deriverbar i intervallet I och f () > 0 för alla I, så är f strängt väande i I. Om f är deriverbar i intervallet I och f () < 0 för alla I, så är f strängt avtagande i I. Bevis: Tar vi och i I, sådana att <. Enligt medelvärdessatsen gäller att det finns c i intervallet I s inre så att f( ) f( ) = f (c)( ) +m Eftersom > 0 så har f () samma tecken som f( ) f( ). överallt i intervallet, medför att f( ) > f( ) f (c) > 0 Sats 3. OM y = f() är deriverbar i intervallet I och 0 är en ma- eller minpunkt till f i det inre av I så gäller f ( 0 t ) = 0 Definition 8. En etrempunkt är en punkt som antingen är en ma- eller minpunkt Definition 9. Om f ( 0 ) = 0 säger vi att 0 är en stationär punkt. Sats 4. Om 0 är en stationär punkt till f och f ( 0 ) eisterar så gäller f ( 0 ) > 0 f har minpunkt f ( 0 ) < 0 f har mapunkt Håkan Strömberg KTH Syd

12 Sammanfattning Kandidater till f() s etrempunkter är Stationära punkter till f Intervall-ändpunkter Icke deriverbara punkter Eempel 4. Låt f() = Var är funktionen strängt väande respektive var är den strängt avtagande? Plan Derivera funktionen Lös ekvationen f () = 0 3 Avgör om de nollställena är ma-, min- eller terrasspunkter. Lösning: f är strängt monoton förutom då f () = 0. f () = f () = 0 då 3 +9 = 0 Ekvationen har två rötter = och = 3. De stationära punkterna är (,f()) = (,0) och (3,f(3)) = (3, 4). Vi har nu att studera tre intervall: ( < < ), ( < < 3) och (3 < < ). Det räcker att vi sätter in en punkt från varje intervall för att få reda på derivatans tecken. f (0) = 9 f () = 3 f (0) = 89 Vi kan konstruera följande schema över f (0) < = < < 3 = 3 > 3 ր 0 ց 0 ր Vi förstår att (, 0) är en mapunkt och (3, 4) en minpunkt. Vi ska dessutom avgöra detta med f. f () = 6 och f () = 6 medför mapunkt och f (3) = 6 medför minpunkt. Håkan Strömberg KTH Syd

13 Eempel 5. Bestäm tangentens ekvation till då = Plan: Ta fram f () med hjälp av kvotregeln. f() = 3 Bestäm f (), som är tangentens k-värde 3 Bestäm f(). 4 Nu har vi tangeringspunkten (,f()) och k-värdet. Återstår att bestämma m-värdet. Lösning: Detta är tangentens k-värde f () = (3 ) ( ) (3 ) = 6 (3 ) f () = (3 ) ( ) (3 ) = 8 f() = 3 = 4 Tangenten går genom punkten (,4) och har lutningen 8. Tangentens ekvation erhålles genom att lösa ekvationen 4 = 8 +m, m =. Svar: y = 8 Eempel 6. Bestäm etremvärden till f() = 4 + och ange om de är ma- eller minvärden. Plan: Bestäm f () Lös ekvationen f () = 0 3 Bestäm f() för ekvationens rötter 4 Avgör med hjälp av andraderivatan typen av etrempunkter. Lösning: f () = f () = 0 då = 0 Ekvationen har en trippelrot = ( f ) ( = 4 ( + ) ) = 9 8 f () = 4. f ( ) = 6 > 0 medför minpunkt. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 Problem. Bestäm de stationära punkterna till funktionen f() = e ( +3) Bestäm f () och bestäm f () = 0. För derivatan behöver vi produktregeln f () = e ( +3)+e ( ) = e ( +) f () = 0 när någon eller båda faktorerna är = 0. e > 0 för alla. + > 0 för alla. Ekvationen f () = 0 har alltså ingen lösning. Funktionen är strängt väande för hela R. Problem. Om man kastar ett föremål rakt uppåt med hastigheten 0 m/s, så når det en höjd av h(t) = 0t 4.9t efter t sekunder. Vilken är den högsta höjd föremålet når? Lösning: Funktionen är en parabel med negativ t term detta betyder att funktionen har ett mapunkt. Vi startar med att derivera h (t) = 0 9.8t. Ekvationen h (t) = 0 ger oss tiden då föremålet når sin högsta punkt t = 0 ger t = Höjden får vi nu genom ( ) 0 h = 0 0 ( ) Problem 3. Bestäm samtliga etrempunkter till funktionen Plan: f() = Bestäm f () = 0 Lös ekvationen f () = 0 3 Ta med hjälp av f () reda på om det handlar om ma- eller minpunkter. Lösning: f () = 3 f () = 0 leder till en tredjegradsekvation där vi direkt hittar roten = 0. De andra två rötterna får vi genom ekvationen = 0, som har rötterna = och 3 =. Vi bestämmer f () = 3 och karaktäriserar de tre nollställena f ( ) = 3 > 0 minpunkt f (0) = < 0 mapunkt f () = 6 > 0 minpunkt Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 Vi studerar grafen Problem 4. Bestäm ma- och minpunkterna till då 0 π. Lösning: Vi startar med att derivera Nu över till att lösa f () = 0 f() = 4 sin 3 3 sin f () = 4 3 sin cos 3 cos 4 3 sin cos 3 cos = 0 3 cos(4 sin ) = 0 3 cos( sin )( sin+) = 0 Den sista delen av faktoriseringen erhålls med hjälp av konjugatregeln. Ekvationen har inte mindre än se rötter. 3 cos = 0 = π och = 3π sin = 0 sin = = π 6 och = 5π 6 sin+ = 0 sin = = 7π π och = Π Π 3Π Π Svar: Minpunkt för = π, 7π 6, π 6. Mapunkt för = π 6, 5π 6, 3π Håkan Strömberg 5 KTH Syd

16 Problem 5. Bestäm samtliga ma- och minpunkter för funktionen Plan: Bestäm f () = 0 Lös ekvationen f () = 0 3 Skissa kurvan i en tabell Lösning: f() = e f () = e + e Vi löser ekvationen genom att faktorisera den e (+) = 0 Det finns två rötter = 0 och =. För dessa två -värden finns grafens ma-, mineller terrasspunkter. < = < < 0 = 0 > 0 e f () f() ր ma ց min ր Håkan Strömberg 6 KTH Syd