Lösningsskisser för TATA

Transkript

1 Lösningsskisser för TATA Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta ger följande teckentabell: Gränsvärdena 6( )( + ) ( + )( + 4 ), >. + + ( relevant) + + ( + )( + 4 ) + + f () f() + lok. ma. lim f() π π, lim + f() 5 π + 4 5π innebär att linjen 5π/ är en vågrät asmptot till grafen f(); lodräta asmptoter saknas. 5 arctan + π 5π/ π Svar: Lokalt maimum f() 5 arctan + π. Vågrät asmptot 5π/. Anm. f() är t.o.m. globalt maimum. Funktionen saknar däremot minsta värde. Anm. Uttrcket för f() är meningsfullt även för <, så man kan ställa samma fråga med definitionsmängden istället för >. I så fall skulle grafen se ut som till öger (en udda funktion, med olika gränsvärden från öger oc vänster i origo).

2 . Derivatans definition är f f( + ) f() () lim. (a) ( + ) då. + ln( + ) ln ln (b) ln( ) + / då. (c) / + / + ( + + ) + + ( + ) + ( + + ) ( + ) då. 3. Det går bra att t.e. sätta t e, men det blir ännu smidigare såär: ω d ω + e e d [ ] ω e + ln(e + ) ln(e ω + ) + ln(e + ) ln( + ) + ln ln, då ω. Svar: d ln. + e 4. (a) + 4 d [ ( + 4 ) 3/] ( 7 7). (b) 5 ( )( +) d ( ) [ + + d ln ln( + ) arctan ] (ln ln π 4 ) (ln ln ) 3 ln π. (c) π cos (/3) d π +cos(/3) d [ sin(/3)] π π Svar: Se ovan. 5. Beteckningar enligt figuren, där vi antar 4. (Det är uppenbart att enbart detta intervall är av intresse, för man tjänar ju inget på att springa en omväg. ) Välj tidsenet så att astigeten i skogen blir km per tidsenet; då blir löptiden f() tidseneter, vilket vi vill minimera. Vi ar km 4 km Start 3 km f () oc 3. Etremvärdena på intervallet [, 4] kan bara antas i ändpunkterna eller där derivatan är noll, så det räcker att jämföra funktionens värden i dessa punkter: samt f( 3) 4 3 f() + 9 5, f(4) + 5 5, , vilket är mindre än + 5. Det minsta av dessa tre värden är alltså f( 3), dvs. 3 ger minimum. Svar: Linnea ska springa 4 3 km längs stigen. Om Linnea springer mer än 4 km norrut längs stigen så blir både stig- oc skogssträckan längre än om on ade svängt av efter 4 km, oc om on springer söderut i början så blir båda sträckorna längre än om on direkt ade sprungit raka vägen genom skogen. Mål

3 6. För att kunna antera f () beöver vi veta i vilka intervall som f () är positiv respektive negativ. Derivera f() ( 3 + )e, faktorisera oc gör teckentabell som vanligt: f () ( 3)e + ( 3 + )( e ) ( )( 4)e e f () + Detta visar ur integralen ska delas upp, oc att räkna ut delintegralerna blir sedan en enkel matc eftersom f() såklart är en primitiv funktion till f (): f () d f () d + Svar: 5e + e + e 4 e 5. f () d f () d + f () d [ f() ] + [ f() ] 4 [ f() ] 5 4 f( ) f() + f(4) f(5). 4 4 f () d f () d 7. För att komma till ett läge där vi kan åberopa Rolles sats kan vi trcka iop funktionen f : R R till en funktion g : [ π, π ] R som är definierad på ett begränsat intervall istället för på ela R. Såär: sätt g() { f(tan ), π < < π, 7, ± π. Då blir g kontinuerlig ända ut i i intervallets ändpunkter, eftersom lim g() lim f(tan ) lim f(t) [enl. föruts.] 7 g(π/), (π/) (π/) t oc analogt för intervallets vänstra ändpunkt π/. Vidare är g deriverbar i intervallets inre; kedjeregeln ger g () f (tan ) cos. Oc för det tredje ar g samma värde i båda ändpunkterna: g(±π/) 7. Därmed uppfller funktionen g alla förutsättningarna för Rolles sats, som säger att det finns (minst) ett tal ξ ] π, π [ sådant att g (ξ ) f (tan ξ ) cos, ξ }{{ } dvs. f (tan ξ ). Genom att sätta ξ tan ξ eråller vi därmed ett tal ξ R som uppfller f (ξ), som önskat.

4 Alternativ lösning Man kan också föra ett resonemang som liknar det i beviset för Rolles sats, men man måste då vara noga med att tdligt förankra alla sina påståenden i andra satser oc definitioner från kursen. Om f är den konstanta funktionen f() 7 så är f (ξ) för alla ξ R, oc då är vi klara direkt. I annat fall finns det något tal sådant att f( ) 7. Antag först att f( ) > 7. Enligt förutsättning är lim f() 7. Per definition betder detta att det för varje ε > finns ett ω R sådant att 7 ε < f() < 7 + ε för alla < ω. Här är vi egentligen bara intresserade av den ögra oliketen f() < 7 + ε. Om vi sätter ε f( ) 7 > så får vi ju ur den oliketen att följande är sant, för något ω R: f() < f( ) för alla < ω. () Notera att eftersom uppenbart inte uppfller oliketen i () så kan inte < ω vara sant; alltså är ω. På samma sätt innebär lim f() 7 att det finns ett ω R sådant att f() < f( ) för alla > ω, () vilket speciellt medför att ω. Sammantaget ar vi därmed ω ω. (3) Låt nu a oc b vara två tal sådana att a < ω ω < b; enligt (3) måste då ligga strikt mellan a oc b, oc enligt () resp. () måste både f(a) oc f(b) vara strikt mindre än f( ). f( ) 7 a ω ω b Nu kan vi tillämpa satsen om största oc minsta värde: f:s restriktion till intervallet [a, b] är en kontinuerlig funktion (eftersom f enligt förutsättning är deriverbar, oc därmed kontinuerlig, på ela R), oc ar därmed ett största värde. Vi vet dessutom att inget av ändpunktsvärdena f(a) oc f(b) kan vara störst, eftersom det finns en punkt ]a, b[ där värdet f( ) är större. Alltså antar f sitt maimum på [a, b] i en inre punkt ξ, dvs. en punkt sådan att a < ξ < b. Oc vi ar ju en annan sats som säger att derivatan i en sådan punkt måste vara noll (om den eisterar, vilket den gör i alla punkter enligt förutsättning). Alltså f (ξ), som önskat.

5 (När vi ska åberopa satsen om största oc minsta värde måste vi specificera vilket intervall [a, b] vi använder, oc ela sftet med ovanstående resonemang var att itta ett intervall där vi är garanterade att största värdet inte antas i en ändpunkt. För om t.e. f(a) vore det största värdet på [a, b] så skulle det inte gå att dra slutsatsen att f (a).) [Alternativt, ta ett tal C strikt mellan ma ( f(a), f(b) ) oc f( ) oc åberopa satsen om mellanliggande värde (två gånger) för att få punkter A oc B sådana att a < A < < B < b oc f(a) f(b) C, oc använd sedan Rolles sats på intervallet [A, B].] Fallet f( ) < 7 beandlas på motsvarande sätt. Argument som inte fungerar Det kan också vara lärorikt att titta på några andra argument som inte riktigt åller. En idé är att tillämpa medelvärdessatsen på ett godtckligt intervall [a, b], såär: Om a < b finns det ett ξ mellan a oc b sådant att f (ξ) f(b) f(a). b a Om man låter a oc b så kommer ögerledet att gå mot noll: b a (f(b) f(a) ) (7 7). Detta ger i vänsterledet att även f (ξ), så det finns ett ξ med f (ξ ). Ett problem med detta är att vi inte ar definierat i kursen vad det egentligen innebär att samtidigt låta två variabler gå mot någonting, men det finns även allvarligare brister. Talet ξ beror på a oc b, men man ar ingen kontroll över ur ξ det beror på a oc b, så ur vet man att ξ konvergerar mot något tal ξ när a oc b? Oc även om man skulle veta det, ur vet man att f (ξ )? lim ξ ξ f (ξ)? (Det finns inte någon förutsättning i uppgiften om att derivatan f måste vara en kontinuerlig funktion.) Oc värst av allt: argumentet beror inte på att de två gränsvärdena i ± är lika! Allting skulle bli precis likadant om förutsättningen vore att f() A då oc f() B då, för även om A B så får man ju (B A). Oc då är det ju uppenbart inte sant att derivatan måste vara noll någonstans; ta t.e. f() arctan som moteempel. [Man kan försvaga förutsättningarna tterligare, oc bara anta att f är begränsad på R. Vad ovanstående argument då visar, om man stramar upp det lite, är att det för varje ε > finns någon punkt ξ där f (ξ) < ε.] En annan idé är följande motsägelsebevis: Antag att f aldrig är noll. Om f vore positiv överallt så skulle f vara strängt väande, men så kan det inte vara ifall f() 7 då ± (om man tänker efter lite). Likaså om f vore negativ överallt. Alltså måste f anta både positiva oc negativa värden. Någonstans däremellan, där f bter lutning, måste (väl?) f vara noll, vilket motsäger antagandet att f aldrig var noll. Det enda problemet med detta argument ligger i den sista meningen. Som vi nämnde ovan beöver f inte vara kontinuerlig, så man kan inte tillämpa satsen om mellanliggande värde för att rigoröst motivera att det verkligen finns ett ξ R där f (ξ). Det finns dock en annan sats, Darbou sats, som säger att en derivata f som är definierad i alla punkter i ett intervall alltid måste anta mellanliggande värden. Så det sista påståendet f (a) > oc f (b) < medför f (ξ) för något ξ mellan a oc b är faktiskt sant, men för att rättfärdiga det måste man änvisa till en icketrivial sats som inte ar tagits upp i kursen. (Eller bevisa den satsen från scratc med jälp av de satser vi ar gått igenom.)