5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Transkript

1 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje sidans längd. (4) b) Hur stor kan triangelns area maximalt vara? () c) I en rätvinklig triangel delar en linje den räta vinkeln i två vinklar som är, respektive 6. Linjen delar hypotenusan i två längder som är 8 cm respektive cm. Hur långa är kateterna i triangeln? () Lösning: a) Vi antar att a = 8 m, b = m och kallar den tredje sidans längd för c. Om motstående vinklar kallas α, β och γ har vi nu tre fall att ta ställning till; α = 6, β = 6 och γ = 6. I det första fallet säger cosinussatsen att a = b + c bc cos 6 = b + c bc Vi löser denna andragradsekvation för c och får c = b ± ( b Alltså saknas reella lösningar i detta fall. I det andra fallet får vi Vi löser på samma sätt ut c och får ) b + a = 5 ± 4. b = a + c ac cos 6 = a ac + c c = a ± (a ) a + b = 4 ± = 4 ± Eftersom den ena lösningen är negativ är det bara c = 4 + = 5 m som är möjlig i detta fall. I det tredje fallet får vi c = a + b ab cos 6 = a ab + b = = 9

2 och det ger en positiv lösning c = 9 m. De möjliga värdena på den sista sidan är alltså c = 5 m eller c = 9 m. b) Enligt areasatsen ges triangelns area av (/)ab sin γ. Om γ = 6 får vi därmed att T = ab sin 6 = 8 = 6. Om däremot β = 6 får vi T = ac sin 6 = 8 5 =. Alltså är det största möjliga värdet för arean areaenheter. c) Vi kallar triangelns sidor för a, b och c, där c är hypotenusan. Motstående vinklar kallar vi α, β och γ. Eftersom γ = 9 har vi α = 9 β. Om vi låter d vara avståndet från hörnet med den räta vinkeln till linjens skärning med hypotenusan har vi enligt sinussatsen att sin β d = sin 8 cm och sin(9 β) sin 6 = d cm Eftersom sin(9 β) = cos β kan vi dela dessa ekvationer med varandra och få tan β = sin β cos β = sin 4 cos = 4 Eftersom triangeln är rätvinklig har vi b = a tan β och enligt Pythagoras sats är c = a + b = a ( + 48 ) = 49a 48 Eftersom c = + 8 = cm får vi a = 4 /7 = 4 /7 cm och därmed b = a tan β = /7 cm. Om man har tänkt sig indelningen av hypotenusan tvärtom får på samma sätt a = / 9 och b = 4/ 9. Svar: a) Den tredje sidan kan vara c = 5 m eller c = 9 m. b) Arean av triangeln kan maximalt vara areaenheter. c) Kateternas längder är a = 4 /7 cm och b = /7 cm.

3 . a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen ( ) x π sin =. b) Bestäm den minsta positiva lösningen till ekvationen (), sin x +, 4 cos x =, 54 med två gällande siffrors noggrannhet. (4) c) Använd sinussatsen för att härleda additionssatsen för sinus i det fall då alla inblandade vinklar ligger mellan och 8. () Lösning: a) Eftersom sinus antar värdet / för två värden i intervallet x π, nämligen 4π/ och 5π/ får vi lösningarna till ekvationen genom dvs eller dvs x = x = x π = 4π + πn ( ) 5π + πn = 5π + πn x π = 5π + πn ( ) 6π + πn = π + πn = πn. b) Vi skriver först om vänsterledet på formen A sin(x+φ) = A sin x cos φ+a cos x sin φ. För att vi ska få rätt vänsterled krävs att { A cos φ =, A sin φ =, 4 vilket ger tan φ =, 4/,, och φ, 86. Genom trigonometriska ettan får vi A = A sin φ + A cos φ = (, 4) + (, ) =, 4 och därmed A =, 4, 84. Vi behöver nu hitta den minsta positiva lösningen till dvs, 84 sin(x +, 86) =, 54 sin(x +, 86) =, 9 vilket ger x =, 86 +, + πn eller x =, 86 + (π, ) + πn. Den första positiva lösningen i den första serien ges av n = och x =, 86+, +6, 8 = 5.7

4 och den första positiva lösningen i den andra serien ges av n = där x =, 86 + (, 4, ) =, 98. Ekvationens minsta positiva lösning är alltså x, 98, c) Vi vet att summan av vinklarna i en triangel är 8. Vi får därför att sin(α + β) = sin(8 γ) = sin(γ). Med höjden mot sidan c kan vi dela in sidan c i två delar vars längder är a cos β och b cos α. Enligt sinussatsen gäller att Vi får därmed att a = c sin α/ sin γ och b = c sin β/ sin γ c = a cos β + b cos α = c sin α cos β sin γ + c sin β cos α sin γ När vi multiplicerar detta med sin γ och dividerar med c får vi sin γ = sin α cos β + sin β cos α. vilket tillsammans med sin(α + β) = sin γ ger additionssatsen för sinus. Svar: a) Lösningarna till ekvationen ges av x = 5π/ + πn och x = πn, där n är ett godtyckligt heltal. (5 + n 54 och n 54.) b) Den minsta positiva lösningen ges av x,. 4

5 . a) Derivera funktionen f(x) = ex e x e x + e. x Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används och hur de används. () b) Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen g(x) = sin x + cos x på intervallet x π. Skissera också grafen för funktionen på samma intervall. (4) c) Härled derivatan av tan x direkt från definitionen av derivata. (Ledning: Använd att (sin x)/x går mot när x går mot noll.) () Lösning: a) Vi ser att funktionen kan skrivas som f(x) = g(x)/h(x) där g(x) = e x e x och h(x) = e x + e x. Enligt kvotregeln är och i vårt fall får vi att och f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) h(x) g (x) = e x ( )e x = (e x + e x ) = h(x) h (x) = e x + ( )e x = (e x e x ) = g(x) där vi har använt kedjeregeln för att derivera exponentialfunktionerna. När vi sätter in detta i uttrycket ovan får vi f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) h(x) = h(x) g(x) h(x) = 8 h(x) = 8 (e x + e x ) där vi använt att h(x) g(x) = (h(x) + g(x))(h(x) g(x)) = (e x )(e x ) = 4. b) För att hitta lokala extrempunkter ser vi på nollställen till derivatan av funktionen. Enligt kvotregeln kan vi beräkna derivatan av g(x) som g (x) = (sin x) ( + cos x) (sin x)( + cos x) ( + cos x) (cos x)( + cos x) (sin x)( sin x) = = + cos x ( + cos x) ( + cos x). 5

6 Vi ser att derivatan är definierad överallt eftersom nämnaren ligger mellan och. För att derivatan skall vara noll måste täljaren i uttrycket vara noll, dvs + cos x =. I intervallet x π inträffar detta vid x = π/ och x = 4π/. Vi sätter in dessa värden i funktionen och får / g(π/) = + ( /) = och g(4π/) = / + ( /) =. Vi jämför detta med funktionens värden i ändpunkterna av intervallet där g() = g(π) = + =. Alltså är funktionens största värde / och dess minsta värde /. Funktionens nollställen är samma som nollställena för täljaren och sin x = för x = nπ. Vi kan därmed rita upp funktionens graf som c) Vi ställer upp differenskvoten D(h) = tan(x + h) tan(x) h och skriver om den på gemensamt bråkstreck som D(h) = ( sin(x + h) h cos(x + h) sin(x) ) = ( ) sin(x + h) cos(x) sin(x) cos(x + h) cos(x) h cos(x + h) cos(x) Vi använder nu subtraktionssatsen för sinus för att se att D(h) = ( ) sin(x + h x)) = sin h ( ) h cos(x + h) cos(x) h cos(x + h) cos(x) När vi låter h gå mot noll har vi att (sin h)/h går mot och cos(x + h) går mot cos(x). Alltså har vi att D(h) går mot / cos x. Svar: a) Derivatan är f (x) = 8/(e x + e x ). b) Det största värdet är / och det minsta är /. c) Dervatan av tan(x) är / cos (x). 6

7 4. a) Kurvorna y = e x och y = e x avgränsar tillsammans med linjen x = ln() ett område i planet. Beräkna arean av detta område. () b) Beräkna integralen sin x + cos x dx. med hjälp av variabelbyte. () c) Bestäm det värde på konstanten a som minimerar (ax sin x) dx. Lösning: a) Eftersom e x e x för positiva x har vi att arean av området ges av integralen ln() ( e x e x) dx Eftersom derivatan av e x enligt kedjeregeln är e x är e x / en primitiv funktion till e x. På samma sätt är e x / en primitiv funktion till e x. Alltså kan vi beräkna integralen som ln() ( e x e x) [ e x dx = e x ] ln() = + = 9 8. ( e ln() + e ln() () ) ( ) e e + b) Vi använder variabelbytet t = + cos x, vilket ger omskalningen dt = sin x dx. När x = har vi t = + cos() = + = och när x = π har vi t = + cos(π) = + ( ) =. Alltså omvandlas integralen i variabelbytet till sin x + cos x dx = t dt = t dt Eftersom derivatan av ln(t) är /t är ln(t) en primitiv funktion till /t. Alltså får vi t dt = [ln(t)] = ln() ln() = ln() = ln() (, ). c) Vi börjar med att utveckla integranden med kvadreringsregeln och får (ax sin x) = a x ax sin x + sin x. På grund av linjäriteten hos integralen får vi I(a) = (a x ax sin x+sin x) dx = a 7 x dx a x sin x dx+ sin x dx

8 Eftersom I(a) är ett positivt andragradsuttryck har det sitt minimum vid derivatans nollställe, dvs där I (a) =. Vi har att I (a) = a och I (a) = innebär att a = x dx x sin x dx x dx x sin x dx Vi kan integrera täljaren i detta uttryck med hjälp av partiell integration x sin x dx = [x( cos x)] π ( cos x) dx = (π ( ( )) ( )) [ sin x] π = π ( ) = π. Nämnaren är ett polynom som vi kan integrera genom [ x x dx = Värdet som minimerar integralen är alltså ] π = π = π a = x sin x dx x dx = π π = π. Svar: a) Arean av området är 9/8 areaenheter. b) sin x dx = ln() + cos x c) Värdet på a som minimerar integralen är a = /π. 8