Planering för Matematik kurs D

Transkript

1 Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar. Av dessa timmar avsätts timmar till prov, projektarbete, repetition inför NP, grafritarövningar mm. Resterande 7 timmar används till bokens fem kapitel, inklusive eventuella fördjupningar och repetitioner. Vi har här uppskattat hur lång tid som behövs till varje moment i en normalklass. Det är givetvis viktigt att tidsplanen anpassas till klassens nivå och kursens timtilldelning. Geometri sidor i boken antal timmar Trigonometri i rätvinklig triangel - 7 Enhetscirkeln, exakta värden 8-5 Area- och sinussatsen 6 -,5 Cosinussatsen - 6,5 Grafer och ekvationer 7 - Blandade uppgifter och Test 5-4 summa timmar Trigonometri Sinuskurvor 4-49,5 Ekvationen sin x =,5 5-55,5 Cosinuskurvor och ekv cos x =,5 56-6,5 Tangenskurvor och ekv tan x =,5 6-65,5 Ekvationen sin x = sin x Ekvationen cos x = cos x Radianer Mer om exakta värden Mer om grafer Tillämpningar 79-8 Blandade uppgifter och Test summa 6 timmar

2 Derivator Derivatans definition mm 9-94,5 Mer om derivatan Derivatan av /x, /x, x och ln x - 6,5 Derivatan av y = x 6-7 Derivatan av sin x och cos x 8 - Sammansatta funktioner - 6,5 Derivatan av en produkt 7-8,5 Derivatan av en kvot 9 -,5 Derivator av högre ordning -,5 Maximi- och minimiproblem - 5 Blandade uppgifter och Test 9-4 summa timmar 4 Integraler Primitiva funktioner 5-44 Beräkning av integraler 45-5 Arean mellan två kurvor 5-57 Tillämpning av integraler 57-6 Mer om area 6-64 Blandade uppgifter och Test 67-7 summa timmar 5 Formler och Numeriska metoder Ekvationen sin x = cos x 74-77,5 Additions- och subtraktionssatsen Formler för dubbla vinkeln 8-8 Förenkling, ekvationer och formler 8-84 Numerisk lösning av ekvationer 85-88,5 Numerisk lösning av integraler 88-9 Blandade uppgifter och Test summa timmar Övrigt Projekt, prov, repetition inför NP, grafritare timmar Summa totalt 9 timmar

3 Övningsprov i Matematik kurs D Provet kan lämpligen göras efter de fyra första kapitlen i Holmström/Smedhamres D-bok. Tid: ca timmar Hjälpmedel: Formelblad samt till del även räknare. Del Följande uppgifter ska göras utan räknare. Derivera a) y = 4 sin x b) y = (4x + ) c) y = x e x Beräkna exakt ( ) x x dx Lös ekvationen cos x =. Svaret ska ges i exakt form i radianer. 4 Bestäm f () då f(x) = ln x cos x 5 Låt f(x) = 4x + 5 sin,5x och bestäm den primitiva funktionen F(x) så att F() =. 6 Bestäm talet p så att ( x + px) dx = 5 Del Till följande uppgifter får räknare användas. 7 Hur stor är den största vinkeln i den triangel som har sidorna 65 m, 7 m och 98 m? Svara med tre värdesiffror.

4 8 Beräkna och svara med tre värdesiffror a) dx b) x e x dx 9 En villatomt ABCD kan delas i två triangulära områden ABC och ACD. Vinkeln CAD blir då 47 och vinkeln BAC 8. Bestäm tomtens area om AD = 4 m, AC = 56 m och AB = 49 m. Bestäm de lösningar till ekvationen sin x =,8988 som ligger i intervallet - o < x < o. Ett område begränsas av den positiva x-axeln samt kurvan y = 9x,5x. Bestäm områdets area. Bestäm för vilket x som y = då y = + 8. x 4 x Svara med tre värdesiffror. Kurvan y = cos x -,5x har en tangent då x =π. Beräkna var tangenten skär x-axeln. 4 Funktionen y = 4 sin,t beskriver en temperaturkurva, där temperaturen y C beror av tiden t minuter, < t < 6. Ett experiment börjar vid tiden t =. Under hur lång tid ökar temperaturen med en hastighet som är mindre än,5 grader/minut? 5 Grafen till funktionen y = p + x x saknar nollställe. Vilket är det största värde som konstanten p kan anta?

5 Lösningar och tips till övningsprov kurs D a) y = cos x b) y = 4(4x + ) c) y = xe e x x x x x = = =, 5 cos x =,5 x = π ± + n π x = ± π 9 + n π 4 f ( x) = - ln x sin x + x cos x f () = cos 5 F(x) = x 4 cos,5x + C F() = + C = C = Svar: F(x) = x 4 cos,5x + 6 Integralen = x + px = (8 + p) = 5 p =,5 7 Största sidan står mot största vinkeln. Cosinussatsen ger: 98 = cos v v 9, Svar: 9, 8 a) [ ln x ] = ln ln = ln,8 e x = e ( e ) = e,865 b) [ ] 9 Arean = 4 56 sin sin 8 + Svar: ca 7 m (75)

6 sin x =,8988 x = 64 o + n 6 o eller x = n 6 Detta ger x = + n 8 o eller x = 58 + n 8 I intervallet o < x < finns lösningarna x = x = 58 x = Svar: x = x = 58 x = Integrationsgränserna beräknas: 9x,5x = x = x = 8 Arean = 8 (9 x, 5 x ) dx = 9,5x x ,67 Svar: 457 ae y = x x y = x y = x 5 8 = 8 x = 5 Svar: x =,8 Tangeringspunkt: x =π y = cosπ,5π =,5π y = sin x,5 Tangentens k-värde = y ( π ) = sinπ,5 =,5 Tangentens ekvation: y = kx + m (,5π ) =,5 π + m m = y =,5x skär x-axeln då y =, dvs =,5x x = Svar: Tangenten skär x-axeln i punkten (, ) 4 y =, cos,t y =,5,t =,4 + n π t = 8 min Temp ökar tills y = dvs,t =π / t = 5 min Differens = 5 8 = 4 Svar: Ökning med mindre än,5 grader/minut under 4 minuter. 5 Inget nollställe Grafen y får ej skära x-axeln. Använd grafräknare för att rita funktionen y = x x. Funktionen har en maximipunkt. Konstanten p måste dra ner grafen så att maximipunkten ligger under x-axeln. y = x x y = x x ln x = x ( ln x) Då x = ln antar y ln sitt största värde, dvs y =,5 ln Största möjliga värde på p är alltså,5 Svar:,5