HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

Transkript

1 Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm & Håkan Strömberg Niclas Hjelm :15-12:15 Formelsamling: ISBN eller ISBN (utan anteckningar). Inga andra formelsamlingar är tillåtna! Miniräknare, penna, radergummi,, linjal, gradskiva För betyget P krävs 12p.. Slutbetyget på kursen gess av poängsumman från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha avklarats med betyg P. Poäng BetygB E D C B A Till samtliga uppgifter krävs k fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Infördaa beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst med blyertspenna! Lycka till!

2 Student som är godkänd på KS4 hoppar över uppgift u Beräkna om a) 7 b) Beräkna derivatan av med hjälp av derivatans definition. (1p) (1p) 3. Bestäm tangenten till kurvan y y ( x) x 2x då x= =1 4. Lös ekvationen 2 24 Dessa uppgifter gör alla 5. Albin sätter in 4000 kr på ett bankkonto med årsräntesatsen 1,40 %.% Efter hur många år harr Albin mer än 5000 kr på kontot? 6. En cirkel har medelpunkten i skärningspuns nkten mellan 6 och o 4. Bestäm ekvationen för cirkeln om den tangerar y-axeln. 7. Punkten P, med koordinaternaa (-a; 0,94), ligger på enhetscirkeln i andra a kvadranten. Bestäm talet a.

3 8. I triangeln ABC är AB=6,0 cm,, AC=4,0 cm och vinkeln C är 120. Bestäm B triangelns övriga vinklar. 9. Ett område består av två halvcirklar samt ett rektangulärt område. Runt detta område ska ett motionsspår med längden 5000 meter läggass (se nedan). Vilka mått ska den gula rektangeln ha om dess areaa ska vara maximal? (3p) 10. Funktionen skär y-axeln i punkten A. I punkten A dras en tangent till f(x) f. Denna tangent skär x-axeln i punkten B. Bestäm exakt längden av sträckan AB. 11. En mugg med kaffe placeras utomhus där temperaturen är 0,0 C. Temperaturen i muggen med kaffe avtar exponentiellt med tiden. Efter 5,0 minuter är temperature n i kaffet 50 C och efter 9,0 minuter har temperaturen sjunkit till 30 C. Vid vilken tidpunkt har kaffet k temperaturen 20? 12. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen 1 får ett minimum i punkten (1,1). (3p)

4 Förslag till lösningar: 1. Beräkna ` om a) b) Svar: a) b) 2. lim lim lim lim 2 2 Svar: (І) Tangentens ekvation är: y(x)=kx+m där k är lutningen. Lutningen beräknas genom att derivera (І): 2 Vi söker 1: 1 2 dvs Vi får tangentens ekvation: (ІІ)

5 Vi sätter in x=1 i (І) för att få fram y-koordinaten: Insättning av (1, -1) i (ІІ): 1 Dvs. tangentens ekvation är: Svar: Tangentens ekvation är lg 4 Ekvationen skrivs om med logaritmlagarna: 2 lg Pq- formeln ger: Ekvationens definitionsmängd är x>4 (eftersom och 4 inte är definierade annars) Lösningen 2 är därför inte giltig. Svar: Ekvationen har lösningen x=8. 5. Vi beräknar den tidpunkt då Albin har 5000 kr på sitt konto. Albins pengar ökar enligt formeln: där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. y är antalet kronor på kontot och x är tiden i år.

6 I uppgiften är årsräntesatsen 1,4 %, dvs a=1,014 och startvärdet 4000 kr. Vi får ,014 Vi ska bestämma x år, då y=5000 kr: ,014 1,014 Logaritmering ger: ln ln 1,014 ln ln 1,014 16,05, Svar: Efter 17 år har Albin över 5000 kr på kontot. 6. Cirkelns ekvation är: (1) Där medelpunkten är, samt r är cirkelns radie. I vårt fall är medelpunkten skärningspunkten mellan 6 (1) och 4 (2) Insättning av (2) i (1) ger: 462 dvs. cirkelns medelpunkt har koordinaterna (-4,2)

7 Radien r fås till 4 enheter eftersom, enligt uppgift, cirkeln ska tangeraa y-axeln(avståndet från cirkelns c medelpunkt med koordinaterna (-4,2)( och till y-axeln (där x=0) blir 4 enheter). Insättning i (1) ger: Svar: Cirkelns ekvation är 7. Koordinaterna för punkten P är (-a; 0,94) men enligt definitionen av a sinus och cosinus gäller även att: cos,sin Därför fås: 0,94 sin 70,05 eller ,05 109,95 Eftersom punkten P ligger i andra kvadrantenn är det vinkeln 109, 95 vi söker. Talet a blir då: 109,95 0,34 Svar: a= =0,34 8. I triangeln ABC är AB=6,0 cm,, AC=4,0 cm och vinkeln C är 120. Bestäm B triangelns övriga vinklar

8 Vinkeln B kan bestämmas genom sinussatsen:,, sin, 35,26 eller (B=180-35,26 =144,74.) Den sistnämnda lösningen förkastas eftersom B inte kan vara större än ä =60. Triangelns sista vinkel gås genom: ,26 =24,74 Svar: De övriga vinklarna i triangeln ärr 35 och Med beteckningar enligt figur blir arean av rektangeln: (1) Omkretsen för det inneslutna området är: 2 där O enligt uppgift är 5000 m.

9 Insättning ger: Ersätt x i ekvation (1): 2500 Arean är alltså här en funktion av d: 2500 För att ta reda på funktionens extrempunkter ska 0 beräknas: ,8 Extrempunktens karaktär kontrollera med andraderivatan: 0 för alla d, dvs. en maximipunkt Värdet på x beräknas: 1250 Svar: Rektangeln ska ha måtten 1250x796 m. 10.

10 3 31 skär y-axeln i punkten A. Då gäller att x=0: (vilket också är tangentens m-värde) Tangentens ekvation i punkten A (då x=0) fåss genom att derivera f(x) : 3 63 f (0) beräknas: Dvs. tangenten har ekvationen: 3 1 Punktenn B fås då tangenten skär x-axeln dvs. då y=o: Sträckan AB utgör hypotenusan i en rätvinklig triangel med kateterna och 1 enhet. Sträckan AB: a 1 Svar: Sträckan AB är enh eter lång enheter r (AB>0)

11 11. Eftersom temperaturen y avtar exponentiellt med tiden fås följande samband: där t är tiden i minuter samt y är temperaturen i C. Genom att vi vet att 5,0 50 och 9,0 30 får vi följande ekvationssystem: kan vi bestämma värdena på C och k: Ledvis division ger: 5,0,, 50, 9,0 30,,,,,, ln 4,0 0,1277 Insättning ger: 50,, 94,68 Vi får då: 94,68, Vi söker t då 20 : 20 94,98, Logaritmering ger: ln 0,1277,,, 20 94,98, 12,2 min Svar: Efter ca 12 minuter har kaffet temperaturen Bestäm konstanterna a och b så att funktionen 1 får ett minimum då s(1)=1. Vi söker extrempunkterna till 1

12 beräknas: 3 2. Vi vet att extrempunkter finns då t=1: Extrempunkter finns då 0 : 032 (1) Villkoret att 1 1 ger: (2) (1) och (2) ger ekvationssystemet: Ledvis subtraktion ger: 02 2 b fås då genom insättning i (2): Vi har alltså att 2 1 Kontroll behövs för att säkerställa att det är ett minimum. Andraderivatan beräknas: 64 men t=1 ger: dvs ett minimum. Svar: a=-2, b=1

13 Rättningsmall: 1. a) rätt/fel +1p/0p b) rätt/fel +1p/0p 2. Något smärre formellt fel -1p Fel svar -2p Använder ej derivatans definition -2p 3. Korrekt beräknat k-värde +1p 4. Ej förkastat falsk rot -1p 5. Helt korrekt uppställt samband med insatta värden +1p Svarar med 16 år inget avdrag 6. Korrekt beräknad medelpunkt för cirkeln samt insatt i cirkelns ekvation +1p 7. Beräknar vinkeln v korrekt eller beräknar ett värde på a med pythagoras sats +1p 8. En korrekt vinkel beräknad med någon metod +1p Använder sinussatsen utan att ta fram/kommentera två lösningar på en vinkel -1p 9. Korrekt uttryck för arean i en variabel +1p

14 Anger ej funktionens definitionsmängd -1p Kontrollerar ej typ av extrempunkt -1p 10. Korrekt beräknad tangent +1p Svarar inte exakt -1p 11. Korrekt beräknat k-värde +1p 12. Korrekt uppställt samband mellan a och b +1p Kontrollerar ej typ av extrempunkt -1p