Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Transkript

1 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, , kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med resonemang och motivering ges Varje uppgift ska avslutas med ett tdligt markerat svar Endast svar ger inga poäng Bedömning: En uppgift bedöms med 0,, eller poäng För godkänt resultat (G) krävs sammanlagt minst 8 poäng För väl godkänt resultat (VG) krävs sammanlagt minst poäng Lösningar läggs ut på kurswebbsidan efter skrivtidens slut Två trianglar är likformiga Sidorna i den ena triangeln är cm, cm och 9 cm I den andra triangeln är skillnaden mellan den största och den minsta sidan cm Hur stora är sidorna i den sistnämnda triangeln? v en träkub svarvas största möjliga klot nge i eakt form förhållandet mellan klotets och kubens volmer I en triangel BC dras bisektriserna från och B Dessa skär varandra i punkten D ntag att vi vet att DB ( CB) Beräkna vinklarna DB och CB a Låt BC vara en liksidig triangel med sidan längd enheter Beräkna triangelns höjd b Visa hur man, givet en sträcka av längd, med hjälp av passare och linjal konstruerar sträckan med längden Var god vänd

2 Kurskod: 9G0 Provkod: STN 5 Linjen genom punkterna B och D ( på respektive bild) tangerar respektive cirkel i punkten B Beräkna för respektive bild vinkeln BD om du vet att CB Bevisa Pthagoras sats med hjälp av likformighet Två cirklar med respektive radie R och r ( R r ) och medelpunkterna i respektive O och Otangerar varandra (ser bilden) Linjen genom punkterna, S och S där ( S S ) tangerar båda cirklarna Beräkna arean av triangel O S, där är skärningspunkten mellan linjerna genom respektive OO och S S lcka till

3 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Facit /lösningsförslag : Låt beteckna den minsta sidan i den sistnämnda triangeln T trianglarna är likformiga gäller följande: 8 0, 9 9 lltså den minsta sidan är 0,8 cm och den största sidan är (0,8+) alltså, cm Låt beteckna den tredje sökta sidan Likformigheten ger då, ;8 ;8 0,8 0,8 0,8 Svar: Sidorna i den sistnämnda triangeln är 0,8 cm,, cm och, cm Om vi betecknar kubens sida med så blir radien för det största möjliga klotet Kubensvolm= ve Klotets volm= 8 8 ve Förhållandet mellan klotets och kubens volmer blir kubens volm volm klotets Svar: Förhållandet mellan klotets och kubens volmer blir då

4 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Låt,,, vara vinklar enligt figuren där vi utnttjat att D och BD är bisektriser B C Det var givet att Men vi har också 80 och 80 lltså 80 0, vilket ger Sätter vi in får vi Svar: Vinkel DB är 5 80, som ger 08 och vinkel CB är och lternativ lösning: med beteckningar givna i figuren gäller för respektive triangel följande och Insättning av i ger efter några förenklingar ger ) Sätter vi in får vi , som ger som ( ser ekvation från den första lösningen och 08 a) svar: Med hjälp av Pthagoras sats fås triangelns höjd till h le b) Givet en sträcka B med längd längd enheter Med den kan vi t e börja med att konstruera en dubbel så läng sträcka C genom att dra linjen genom och B och låta C vara skärningspunkten mellan denna linje och cirkeln med medelpunkt i B och radie le Vi avsätter nu två cirklar med radie och centra i punkterna och C Dessa cirklars skärningspunkter kallar vi D och E Linjerna C och DE skär varandra i punkten B Sträckorna BD och BE har nu båda längd le (Detta följer av att trianglarna CD och CE båda är liksidiga med sidan le, och att BD och BE är höjder i dessa trianglar)

5 Kurskod: 9G0 Provkod: STN 5 Vi börjar med att rita på respektive bild radier O och OB Vänster bild: Randvinkelsatsen ger oss att OB Då blir 80 BO 90, t radien OB är mot tangenten i punkten B blir BD 90 BO Höger bild: Randvinkelsatsen ger oss att OB 0 Då blir 80 0 BO 90, t radien OB är mot tangenten i punkten B blir BD DBO BO Svar: BD för respektive bild är lika med Bevis: ser föreläsningsanteckningar

6 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Vi börjar med att rita på bilden radie för respektive cirkel alltså O S och O S Vi ritar även sträckan O D som är mot O S Först beräknar vi arean av triangeln O O D (observera att triangeln OS är likformig med triangeln O O D ) Pthagoras sats ger oss följande samband O O DO R r R r Rr Rr DO Då blir O O D R r Rr R r Rr T trianglarna OS och O O D är likformiga med längdskalan får vi då att OS R R r R r R Rr Rr R r OS O D R R r Svar: OS R Rr ae R r