2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Transkript

1 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda håll: Två linjer i ett plan är parallella om det inte finns någon punkt som ligger på båda linjerna. Man kan även säga att linjerna aldrig möts: En del av en linje som begränsas av två punkter, s.k. ändpunkter, kallas en sträcka: Sträckans storlek, dvs. avståndet mellan ändpunkterna, kallas längd. För att ange längden används längdenheter. En vanlig längdenhet är meter (skrivs m ). Genom att använda prefix fås bl.a. följande enheter: Längdenhet Motsvarar Med tiopotens 1 mm 0,001 m 10 3 m 1 cm 0,01 m 10 2 m 1 dm 0,1 m 10 1 m 1 km 1000 m 10 3 m 1 mil m 10 4 m 1000 mm 1 m 10 3 mm 100 cm 1 m 10 2 cm 10 dm 1 m 10 1 dm 0,001 km 1 m 10 3 km 0,0001 mil 1 m 10 4 mil En vanlig linjal brukar vara graderad i millimeter och centimeter. Med denna kan man både mäta och rita sträckor. Genom att rita flera sträckor kan man skapa en geometrisk figur. Ett sådant exempel är en rektangel, vilken består av fyra punkter, s.k. hörn, mellan vilka det dras fyra sträckor. Dessa sträckor kallas för sidor, uppdelade i bredd och längd. Summan av sidornas längder kallas rektangeln omkrets.

2 För rektangeln gäller att vinkeln mellan två sidor i ett hörn är rät (90 ) och att motstående sidor (dvs. sidor mitt emot varandra) är parallella samt lika långa. Ovanstående rektangel har längden 4 m och bredden 3 m. Omkretsen = = 14 m. Rektangeln utgör en begränsad yta. Storleken på ytan kallas area. För att ange arean används areaenheter. En vanlig areaenhet är kvadratmeter (skrivs m 2 ). Arean (A) för en rektangel beräknas genom att multiplicera längd (l) och bredd (b) och det kan skrivas med hjälp av en formel: För ovanstående rektangel är arean A = 4 3 = 12 m 2 Ovanstående areaformel motiverar varför areaenheten är m 2. Genom att multiplicera l och b kan man säga att längdenheterna m och m multipliceras. Därmed fås m m = m 2. 1 m 2 kan ses som en kvadrat (rektangel med lika långa sidor) där varje sida är en meter lång. Eftersom 1 m = 100 cm så är varje sida 100 cm. För att ange arean uttryckt i cm 2 så används areaformeln ovan: A = = cm 2 Observera här skillnaden mellan längd och area vid s.k. enhetsomvandling: 1 m = 100 cm 1 m 2 = cm 2 Då decimaltecknet flyttas två steg vid omvandling av längdenheter så flyttas det dubbelt så många steg, fyra steg, vid omvandling av areaenheter.

3 Några vanliga areaenheter: Areaenhet Motsvarar Med tiopotens 1 mm 2 0, m m 2 1 cm 2 0,0001 m m 2 1 dm 2 0,01 m m 2 1 km m m 2 1 mil m m m mm 2 mm cm 2 1 m cm dm 2 1 m dm 2 0, m km 2 km 2 0, m mil 2 mil 2 Dessutom förekommer: 1 a ( ar ) = 100 m 2 1 ha ( hektar ) = m 2 1 ha = 100 a

4 2. 2 G e o m e t r i s k a f i g u r e r Här följer några av de vanligaste geometriska figurerna med en beskrivning av deras egenskaper samt omkrets- och areaformler. Triangel Beskrivning: En triangel består av tre sidor som möts i tre hörn. Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (b). Rektangel Beskrivning: En rektangel är en fyrhörning där vinklarna är räta. Kommentar: Istället för b (bredd) och h (höjd) används ofta beteckningarna b (bredd) och l (längd). En rät linje, som inte motsvarar en sida i rektangeln, från ett hörn till ett annat hörn, kallas för diagonal (betecknas d i ovanstående figur).

5 Kvadrat Beskrivning: En kvadrat är en fyrhörning där vinklarna är räta och sidorna lika långa. Parallellogram Beskrivning: En parallellogram är en fyrhörning med parvis parallella sidor. Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (b). Romb Beskrivning: En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa.

6 Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (s). Diagonalerna d 1 och d 2 delar varandra mitt itu. Vinkeln mellan diagonalerna är rät (90 ). Parallelltrapets Beskrivning: En parallelltrapets är en fyrhörning med två parallella sidor. Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (b). Cirkel Beskrivning: Alla de punkter i ett plan som befinner sig ett bestämt avstånd från en medelpunkt, bildar tillsammans en kurva som kallas cirkel. För att kunna räkna ut cirkeln omkrets och area krävs en konstant (dvs. ett visst oföränderligt tal) som skrivs π (en grekisk symbol) och uttalas "pi". Denna konstant är förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, dvs. π = O/d. På din miniräknare kan du få fram ett närmevärde för π genom knappen π 3,

7 Kommentar: Radien betecknar en sträcka från medelpunkten till en punkt på cirkeln. Diametern (d) är dubbelt så lång som radien (r). Allmänna kommentarer om geometriska figurer Triangeln, kvadraten, rektangeln, romben, parallellogrammen och parallelltrapetsen är exempel på månghörningar eller polygoner. Andra exempel är femhörningen, sexhörningen osv. med fem sidor och hörn respektive sex sidor och hörn. Kvadraten, rektangeln, romben, parallellogrammen och parallelltrapetsen är exempel på fyrhörningar, eftersom de alla har fyra hörn. Kvadraten, rektangeln, romben och parallellogrammen är exempel på parallelltrapetser, eftersom de alla är fyrhörningar med (minst) två parallella sidor. Kvadraten, rektangeln och romben är exempel på parallellogrammer, eftersom de alla är fyrhörningar med parvis parallella sidor. Kvadraten är ett exempel på en rektangel, eftersom den är en fyrhörning där vinklarna är räta. Kvadraten är ett exempel på en romb, eftersom den är en fyrhörning där alla sidorna är lika långa. En halv cirkel kallas halvcirkel och en fjärdedels cirkel kallas kvartscirkel.

8 2. 3 P y t h a g o r a s s a t s o c h k v a d r a t r o t e n I flera tusen år har människan känt till ett speciellt samband som idag kallas Pythagoras sats. Trots att satsen fått sitt namn efter den grekiska matematikern Pythagoras (verksam för ca år sedan) så var det inte han som upptäckte sambandet, utan det var känt långt tidigare. Pythagoras anses dock ha varit den första som bevisade satsen. Pythagoras sats handlar om rätvinkliga trianglar, dvs. trianglar med en rät vinkel (90 ). I en sådan triangel kallas de sidor som möts i den räta vinkeln för kateter och den tredje sidan för hypotenusa. Pythagoras sats kan med ord formuleras: Med matematiska symboler skrivs Pythagoras sats: Det är även möjligt att vända på slutsatsen: Ett exempel på en rätvinklig triangel: Summan av kvadraterna på kateterna är = = 25 Kvadraten på hypotenusan är 5 2 = 25

9 Dvs. Pythagoras sats stämmer eftersom triangeln är rätvinklig: = 5 2 Pythagoras sats kan användas för att ta reda på en okänd sida i en triangel. Antag exempelvis att en rätvinklig triangel har kateter vars längder är 12 mm respektive 16 mm och att du vill ta reda på hur lång hypotenusan är. Antag att hypotenusans längd är c mm lång. Enligt Pythagoras sats gäller: = c 2 Termerna räknas ut: = c 2 Summan beräknas: 400 = c 2 Likheten vänds: c 2 = 400 Denna likhet kan formuleras som frågeställningen Vilket tal, c, multiplicerat med sig självt är lika med fyra hundra? eller Vilket tal, c, upphöjt med två är lika med fyra hundra? Genom huvudräkning kan man nå resultatet 20 mm men det finns även ett sätt att bestämma talet med hjälp av miniräknaren, nämligen genom att använda funktionen kvadratroten. Vi skriver Detta kan uttalas c är lika med kvadratroten ur fyrahundra är lika med tjugo. kallas rottecken. På din miniräknare kan du använda knappen På vissa räknare skapas en vänsterparentes automatiskt när kvadratrotsknappen trycks in och då krävs en högerparentes i slutet: På andra miniräknare krävs inga parenteser och då kan följande tryckningar fungera: Egentligen finns det två svar på frågan vad c är då c 2 = 400. Utöver 20 så kan c även vara 20, eftersom ( 20) ( 20) = 400. Man kan skriva c = ±20 för att visa båda möjligheterna. I detta speciella fall där c är en sida i en triangel så är det negativa alternativet inte relevant. Alltså bortser man från

10 det här. Om resultatet av kvadratroten ur inte är ett heltal så anger miniräknaren ett närmevärde. Exempelvis gäller att Observera att det inte är möjligt att dra kvadratroten ur ett negativt tal eftersom inget tal multiplicerat med sig självt kan vara negativt (om du fortsätter läsa matematik på högre nivåer så kommer du dock så småningom att kunna dra kvadratroten ur negativa tal genom att använda s.k. komplexa tal).