Repetition inför kontrollskrivning 2

Transkript

1 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln. Lösning: En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vi kan då teckna längdskalan: L = = = 3 4 Då längdskalan är 3 4 är areaskalan Vi antar att den lilla triangelns area är cm2. Nu kan vi teckna följande ekvation 12 = 9 16 = Svar: Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm 2 = 27 4 Problem 2. I den mindre av två likformiga femhörningar är en sida 12 cm. Motsvarande sida i den större femhörningen är 28 cm. Beräkna den mindre femhörningens area om den större har arean 980 cm 2. Lösning: Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsaken är att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i den andra. Då kan vi bestämma längdskalan. Detta leder direkt till areaskalan A = L = = 3 7 ( ) 2 3 = Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean cm = 9 49 = = 180 Svar: Den mindre av femhörningarna har arean 180 cm 2 Problem 3. Två likformiga parallellogrammer har areorna 65 cm 2 och 260 cm 2. En sida i den mindre parallellogrammet är 13 cm. Hur lång är motsvarande sida i den större parallogrammet? Lösning: Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given. Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan Vi vet ju att A = L 2 så då kan vi bestämma L A = = 1 4 L 2 = 1 4 L 2 = 1 4 L = 1 2 En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre. Alltså är den eftersökta sida 2 13 = 26 cm Svar: 26 cm. Problem 4. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m 3. Sidan i kvadraten är 2 m. En skalenlig modell har volymen 100 cm 3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat? Lösning: Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan ( l1 ) 3 = v 1 Detta ger l 2 ( ) 2 = = v = = = 5 Svar: 5 cm Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Övnings-KS2 1 Läa 1. Förenkla så lång möjligt (a b c) 3 b 3 (2c) 3 a a 1 b c 1 b 1 c Förenkla så långt möjligt Läa 2. ( ) 1 y y + + y y Läa 3. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8 med en av sidorna. Beräkna rektangelns sidor. Läa 4. I en likbent triangel är de lika stora sidorna 12 cm och basen 6 cm. En med basen parallell linje avskär ett parallelltrapets (röd del i figuren), där tre sidor är lika stora. Bestäm dessas längd. (Alla lösningar tack) Läa 5. Kalle har en mängd byggklotsar i form av kuber med sidan 6 cm. Han bygger av dem en stor kub med klotsar. Lillebor Pelle har också en mängd byggklotsar i form av kuber, men med sidan 3 cm. Han bygger av dem en stor kub med klotsar. Fyll i tabellen Kalle Pelle Kubens Kubens Kubens Sida Area Volym Beräkna därefter längd-, area- och volymskalan mellan Pelles och Kalles skapelser. Läa 6. En linje går genom punkterna P1(a,3) och P2(2, 2a) Vilket värde ska a ha för att linjen ska få lutningen k = 9? Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Läa 7. Lös ekvationssystemet { 3+2y = 8 2y 5 = 40 Lösningar Övnings-KS2 1 Läa Lösning 1. (a b c) 3 b 3 (2c) 3 a a 1 b c 1 b 1 c a3 b 3 c 3 b c 3 a a 1 b c 1 b 1 c a a a3 8 Svar: a3 8 Läa Lösning 2. ( 1 y + y ) y + y y y y y + + y y Svar: 1+y+ y y y y y y+ 1+y+ y y Läa Lösning 3. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8 med en av sidorna. Beräkna rektangelns sidor. Börja med att rita figur! Antag att rektangelns bas är cm och höjd y cm. Med hjälp av trigonometri får vi cos30.8 = och sin30.8 = y Svar: Sidorna är 9.45 cm och 5.63 cm Läa Lösning 4. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Antag att BD = DE = EC =. Då är AE = 12. Vi får = = 6(12 ) 12 = = 72 = 4 En annan möjlighet är att BD = BC = EC = 6. Då behöver man inte ens räkna. Svar: 4 cm eller 6 cm Läa Lösning 5. Kubens Kubens Kubens Sida Area Volym Kalle 10 6 = = = Pelle 10 3 = = = Skalorna blir då Längdskalan = 1 2 = 1 : 2 Areaskalan = 1 4 = 1 : 4 Volymskalan = 1 8 = 1 : 8 Läa Lösning 6. P1(a,3) och P2(2, 2a) Formeln för k-värdet till en linje måste man kunna k = y 2 y 1 = 3 ( 2a) 2 1 a 2 Vi får nu en ekvation där k värdet kan skrivas på två sätt 3 ( 2a) = 9 a 2 3+2a = 9(a 2) 3+2a = 9a 18 7a = 21 a = 3 Svar: a = 3 Läa Lösning 7. { 3+2y = 8 2y 5 = 40 { 3+2y = 8 ( 1) ( 5+2y) = ( 1) 40 3( 4)+2y = 8 2y = 8+12 y = y = 8 5 2y = 40 8 = 32 = 4 Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Övnings-KS2 2 Läa 8. Förenkla så långt möjligt (a 2 ) 2 (4b 3 ) 2 2(a b) 3 Läa 9. Förenkla så långt som möjligt Läa 10. I en rätvinklig triangel ABC är hypotenusan BC = 10 m och kateten AC = 7 m. Bestäm triangelns vinklar. Läa 11. Ett snapsglas, i form av en kon, rymmer 10 cl. Glaset är höjdmässigt till hälften urdrucket. Hur många centiliter finns kvar i glaset? Läa 12. I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm och hypotenusan 1 cm längre än den andra kateten. Beräkna triangelns area. Läa 13. En rät linje f() skär y-aeln för y = 4 och -aeln för = 3/2. En annan g() skär y-aeln i punkten y = 3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g() -aeln? Läa 14. Lös ekvationssystemet { 7(+2) 2(3 y) = 14 4(3 2y)+2(+1) = 10 Lösningar Övnings-KS2 2 Läa Lösning 8. Svar: 8 a b 3 Läa Lösning (a 2 ) 2 (4b 3 ) 2 2(a b) 3 a4 16 b 6 2 a 3 b 3 8 a b3 (+3) 3 (+3) Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Läa Lösning 10. A = 90. Antag att en vinkel är v. Vi bestämmer att AC är närliggande till v. Vi får cosv = 7 10 v = arccos 7 10 v Vi vet att vinkelsumman i en triangel är 180. Den tredje vinkeln är då Svar: Triangelns vinklar är 90, 45.6, ( ) = Läa Lösning 11. Den del av drycken som finns kvar i glaset utgör en kon för sig. Om dess höjd är a har konen som utgör hela glaset höjden 2a. Längdskalan är alltså 1 : 2 mellan konen som utgör hela glaset och konen som utgör den dryck som är kvar. Då längdskalan är : 2 är volymskalan ( 1 2 )) 3 1 : 8. Detta betyder att om det finns 10 cl i glaset från början så finns det endast 10 8 = 1.25 cl kvar. Läa Lösning 12. Antag att den andra kateten är cm. Då är hypotenusan +1 cm. Pythagoras sats ger = (+1) = = 2 = 24 De två kateterna utgör höjd och bas i triangeln och ger arean Svar: Arean är 82 cm 2 Läa Lösning 13. De två funktionerna g() = k g +m g och f() = k f +m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f() = Genom teten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f = 1. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g() = Då vi löser ekvationen g() = 0 får vi den efterfrågade roten = 0 = 8 g() skär -aeln i (8,0) Läa Lösning 14. { 7(+2) 2(3 y) = 14 4(3 2y)+2(+1) = y = y = 4 30 = 20 = 2 3 { y = y+2+2 = 10 7( ) 2(3 y) = y) = 14 2y = y = y = 2 3 { 4(7+2y) = y = 4 Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 Övnings-KS2 3 Läa 15. Förenkla så långt möjligt 2 (6 y) 2 (2 y) (12 y) 2 Förenkla så långt möjligt Läa 16. ( y)( + y) 2 2y+y 2 Läa 17. I en rätvinklig triangel är ena kateten 21 m och arean är 126 cm 2. Bestäm trianglarnas vinklar. Läa 18. I ABC är DE parallell med BC. AB = 12 cm, AC = 15 cm och AD = 4 cm. I vilka längder delas AC? Läa 19. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är triangelns bas 12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet? Läa 20. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L 1 och L 2 och som är parallell med L 3. L 1 : y = 2 L 2 : y = 2+3 L 3 : y = +2 Läa 21. Lös ekvationssystemet { y = y 312 = 361 Lösningar Övnings-KS2 3 Läa Lösning 15. Läa Lösning (6 y) 2 (2 y) y2 4 2 y2 1 (12 y) y y y 2 y2 4 ( y)( + y) 2 2y+y 2 (1 2 y 1 2)( 1 2 +y 1 2) 2) 2 2 2y+y 2 (1 (y 1 2)) 2 ( y) 2 y ( y) 2 1 y Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Läa Lösning 17. Rita figur! Eftersom vi har triangeln area och bas, kan vi bestämma höjden h. som ger h = 12 m. Vinklarna får vi nu genom Den resterande vinkeln får vi genom 126 = 21 h 2 tanv = v = arctan v ( ) = eller genom Svar: Vinklarna är och Läa Lösning 18. Rita figur! tanu = u = arctan u ADE ABC, då DE är en parallelltransversal. Antag att AE = cm. Vi får ger = 5. AC delas 5 respektive 15 5 = 10 cm Svar: 5 cm och 10 cm 4 = Läa Lösning 19. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är triangelns bas 12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet? Arean av området på kartan är A = cm 2 Areaskalan är 1 : = 1 : Detta betyder att arean i verkligheten är = cm m 2 Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 Ett annat sätt är att räkna om basen och höjden till verkligheten. Först höjden: och så basen Vi får nu arean genom Svar: 3000 m = 5000 cm 50 m = cm 120 m = 3000 m 2 Läa Lösning 20. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L 1 och L 2. { y = 2 y = 2+3 som ger 2 = = 2 = 5 = 5 insatt i L 1 ger y = 7. Vi har skärningspunkten ( 5, 7). Den sökta linjen har k-värdet 1, samma som L 3 :s k-värde. Återstår att med hjälp av punkten ( 5, 7) bestämma m i y = + m. Vi får 7 = ( 5) + m ger m = 12. Svar: y = 12 Läa Lösning 21. { y = y 312 = y = y = y = y = 5 { 312( y) = (115y 312) = 120 ( 361) = = = 3 Svar: = 3, y = 5 Håkan Strömberg 10 KTH STH