x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

Transkript

1 Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = a = 0 får vi 56+7a = 0, a = 8. Vi vet nu att systemet har antingen oändligt många eller inga lösningar då a = 8. Genom att lösa systemet med gausselimination får vi till sist Av detta förstår vi att det finns oändligt många lösningar. Vi sätter z = t som ger i andra ekvationen 10y + 14t = 24 eller y = t 5 Till sist kan vi så bestämma x genom ( 12 x t ) 3t = 7 5 x = t 5 Svar: Samtliga lösningar ligger utefter linjen x = t 5 y = t 5 z = t Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 2. Visa att skärningslinjen mellan planen x y 3z+1 = 0 och x+3y+z 2 = 0 är parallell med planet 5x+7y 3z+3 = 0 Lösning: Först bestämmer vi skärningslinjen mellan de två första givna planen genom { x y 3z+1 = 0 x+3y+z 2 = 0 Detta är ett underbestämt ekvationssystem. Genom att till exempel sätta z = t får vi ett ekvationssystem med två obekanta x och y. { x y 3t+1 = 0 som har lösningen x+3y+t 2 = 0 x = 8t 1 y = 3 4t 4 4 Vi har nu bestämt ekvationen för skärningslinjen x = t y = 3 4 t z = t Linjen har riktningsvektorn v = (2, 1, 1). Alla vektorer som är parallella med ett plan är vinkelräta mot planets normalvektor. Det tredje planet har normalvektorn n = (5, 7, 3). Eftersom v n = (2, 1,1) (5,7, 3) = 0 vet vi att skärningslinjens riktningsvektor är parallell med det tredje planet, vilket vi skulle visa Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Problem 3. Bestäm avståndet mellan planen 3x+6y 9z 4 = 0 och x+2y 3z 1 = 0 Lösning: För att det ska finnas ett avstånd mellan planen måste planen vara parallella. Detta kan man testa genom att jämföra planens normalvektorer, men vi utgår här från att de verkligen är parallella. Vi bestämmer en punkt i det ena planet och kan sedan bestämma avståndet från denna punkt till det andra planet. I det andra planet bestämmer vi att y = 0 och z = 0. Då får vi att x = 1. Punkten P(1,0,0) ligger alltså i det andra planet. Här ska vi använda oss av den formel som direkt ger oss svaret d = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B 2 +C 2 Där (x 0,y 0,z 0 ) är den aktuella punkten och (A,B,C) är planets normalvektor. Vi får d = = ( 9) Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Problem 4. För vilka a och b har ekvationssystemet, entydig, ingen eller oändligt antal lösningar? ax+ay+z = 2 ax y z = 4 2x+4y+4z = b Lösning: Vi bestämmer för vilka a systemet saknar entydig lösning a a 1 a = 0 ger lösningen a 1 = 1 och a 2 =. När a 1 eller a 1 2 har systemet entydig lösning. Återstår att undersöka systemet för a = 1 och a =. Vi startar med a = 1. Vi får följande totalmatris: b Efter tre steg har vi nått fram till b 10 Vi ser att då a = 1 och b = 10 finns oändligt många lösningar, men om b 10 saknas lösning. Nu över till a =. Vi får b som till sist ger b 16 Vi ser att då a = lösning. Svar: och b = 16 finns oändligt många lösningar, men om b 16 saknas a 1 och a Entydig lösning a = 1 och b = 10 Oändligt många lösningar a = 1 och b 10 Ingen lösning a = och b = 16 Oändligt många lösningar a = och b 16 Ingen lösning Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Problem 5. En pyramid har sina hörn i punkterna A = ( 3,1,5), B = ( 1,4,9), C = ( 4, 1,2) samt D = ( 4,0,7). Beräkna vinkeln mellan den linje som innehåller pyramidens kant AD och det plan som innehåller dess bas, triangeln ABC. Lösning: Först bestämmer vi riktningsvektorn till linjen genom AD. DA = ( 4,0,7) ( 3,1,5) = ( 1, 1,2) Vi bildar två vektorer som är parallella med pyramidens bas AB = ( 1,4,9) ( 3,1,5) = (2,3,4) CA = ( 3,1,5) ( 4, 1,2) = (1,2,3) Vi bestämmer nu en vektor n vinkelrät mot denna AB CA e x e y e z n = = (1, 2,1) Återstår att bestämma vinkeln mellan DA och n Svar: 60 cosθ = cosθ = θ = arccos 1 2 θ = 60 ( 1, 1,2) (1, 2,1) ( 1) 2 +( 1) ( 2) Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Problem 6. En pyramid har hörnen A = (0,1,2), B = (1,1,4), C = (4,7,4) och D = (3, 4, 4). Beräkna a) Arean av triangeln ABC, b) Beräkna pyramidens höjd genom punkten D (det vill säga avståndet från punkten D till planet genom punkterna A,B och C). Lösning: Med hjälp av vektorerna AB = (1,1,4) (0,1,2) = (1,0,2) och AC = (4,7,4) (0,1,2) = (4,6,2). Vi bestämmer nu n = AB AC = ( 12,6,6). n = ( 12) = 6 6 Triangelns area är då 3 6 ae. Eftersom vi har planets normalvektor kan vi lätt ta reda på planets ekvation D = 0 ger D = 18. Vi har ekvationen 12x+6y+6z 18 = 0. För att bestämma avståndet till punkten D = (3,4, 4) använder vi formeln som ger ( 4) 18 3 d = = 3 ( 12) Håkan Strömberg 6 KTH Syd