Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Transkript

1 Vektorer för naturvetare Kjell Elfström

2 Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015

3 Innehållsförteckning 1 Vektorer Vektorbegreppet Operationer på vektorer Baser Lineärt beroende Koordinatsystem Ekvationer för linjer och plan Skalärprodukt Definition och räkneregler Ortonormerade baser Ekvationer för plan i ortonormerade system Avstånd Vinklar Övningsuppgifter 29 Övningsuppgifter till kapitel Övningsuppgifter till kapitel Svar till övningsuppgifter Sakregister 33

4

5 Kapitel 1 Vektorer 1.1 Vektorbegreppet Låt P och Q vara två punkter i rummet. Vi skall i denna text beteckna den riktade sträckan från P till Q med PQ. Punkten P är fotpunkten, och Q är ändpunkten. Om P och Q är samma punkt, så kan vi tänka på PQ som denna punkt. Vi noterar, att PQ och QP är olika riktade sträckor, utom då P och Q är samma punkt. Q S U V X P PQ RS TU VW T R W XY Y Figur 1.1: Riktade sträckor Vi säger, att två riktade sträckor är ekvivalenta, om de är parallella, lika riktade och lika långa. I figur 1.1 är PQ och RS ekvivalenta. TU är förvisso parallell med och lika riktad som PQ och RS, men TU är kortare än dessa och därför inte ekvivalent med dem. VW är parallell med och lika lång som PQ och RS men motsatt riktad. VW är därför heller inte ekvivalent med PQ och RS. XY är inte parallell med någon av de övriga riktade sträckorna. Av sträckorna i figuren är det bara PQ och RS som är ekvivalenta. För att beskriva en rätlinjig förflyttning kan man ange hur långt man skall förflytta sig och i vilken riktning förflyttningen skall ske. Man kan till exempel säga: Gå 2 kilometer i nordöstlig riktning. Antag att punkten Q ligger 2 kilometer nordöst om P. Börjar vi den angivna förflyttningen i punkten P, kommer vi att hamna i Q. Börjar vi i stället i R, kommer vi att hamna i S. Vi förstår av detta, att begynnelsepunkten och ändpunkten inte har någonting med själva förflyttningen att göra. Förflyttningen från P till Q är exakt samma förflyttning som den från R till S. Vi skall ta fasta på detta i den formella definitionen av vektorbegreppet.

6 6 KAPITEL 1. VEKTORER Definition 1 En vektor är mängden av alla riktade sträckor, som är ekvivalenta med en given riktad sträcka. Den vektor, som består av alla riktade sträckor, som är ekvivalenta med den riktade sträckan P Q, betecknas PQ. Vi säger, att en riktad sträcka, som tillhör en vektor, är en representant för denna vektor. Av definitionen följer det, att PQ = RS, om och endast om PQ och RS är ekvivalenta riktade sträckor. Med beteckningar som i figur 1.1 kan vi nu använda vektorn PQ för att beskriva den ovan angivna förflyttningen, som skulle ta oss från P till Q, men samma förflyttning skulle också ta oss från R till S, vilket avspeglas i att PQ = RS. De riktade sträckorna PQ och RS är två olika representanter för samma vektor PQ. 1.2 Operationer på vektorer Vi skall här bland annat definiera addition av två vektorer och multiplikation av en vektor med ett reellt tal. Vi börjar med att notera, att om u är en vektor, och P är en punkt, så finns det en punkt Q, sådan att u = PQ. Vi kan nämligen ta en godtycklig representant RS för u och parallellförflytta denna riktade sträcka så, att den börjar i punkten P. P PQ Q u = RS R S Figur 1.2: Parallellförflyttning Definition 2 Låt PQ vara en representant för u, och välj en representant QR för v. Vi definierar summan av u och v genom u+v = PR. R u+v v P u Q Figur 1.3: Vektoraddition Av figurerna 1.4 och 1.5 framgår det, att u+v = v+u och (u+v)+w = u+(v +w)

7 1.2. OPERATIONER PÅ VEKTORER 7 för alla vektorer u, v och w. Den första räkneregeln kallas kommutativa lagen för vektoraddition, och den andra kallas associativa lagen för vektoraddition. Vi har också, att PQ+ QR = PR för alla punkter P, Q och R. u v v+u u+v u v Figur 1.4: Kommutativa lagen (u+v)+w = u+(v+w) u u+v v+w w v Figur 1.5: Associativa lagen Definition 3 Med nollvektorn 0 menar vi den vektor, som innehåller alla riktade sträckor av formen PP. Om u = PQ, så definierar vi u = QP. Slutligen definierar vi u v = u+( v). Det följer av vektoradditionens definition och den associativa och den kommutativa lagen, att u+0 = u, u+( u) = 0 och u+(v u) = v för alla vektorer u och v. Det gäller också, att 0 = PP och PQ = RQ RP för alla punkter P, Q och R. Definition 4 Låt s vara ett reellt tal och u = PQ en vektor. Om s = 0 eller u = 0, sätter vi su = 0. Om s > 0 och u 0, väljer vi punkten R så, att PR är parallell med, lika riktad som, och s gånger så lång som PQ och sätter su = PR. Om s < 0 och u 0, sätter vi su = (( s)u). I vektoralgebran kallar man ofta reella tal för skalärer. Detta beror på att man kan införa andra typer av vektorer, och att man då ofta tillåts multiplicera med andra objekt än reella tal. Multiplikation med skalär illustreras i figur 1.6. Vi uppritandet har värdena s = 2 och s = 2 använts i det positiva respektive det negativa fallet. Detta avspeglas i att su är dubbelt så lång som u i båda fallen.

8 8 KAPITEL 1. VEKTORER u su då s > 0 su då s < 0 Figur 1.6: Multiplikation med skalär Trianglarna i figur 1.7 är likformiga. Detta visar den distributiva lagen s(u+v) = su+sv. u+v v su+sv sv u su Figur 1.7: En distributiv lag Vi sammanställer räknereglerna för vektorer i en sats. Förutom de hittills redovisade lagarna förekommer några tämligen enkla regler. Sats 1 Följande räkneregler gäller för räkning med vektorer. u+v = v+u u+(v+w) = (u+v)+w kommutativa lagen associativa lagen u+0 = u existens av ett neutralt element u +( u) = 0 s(tu) = (st)u (s+t)u = su+tu s(u+v) = su+sv existens av additiva inverser associativa lagen för multiplikation en distributiv lag en distributiv lag På grund av de associativa lagarna kan man tillåta sig, att skriva u + v + w och stu utan parenteser. Exempel 1 I figur 1.8 demonstrerar vi, hur man kan rita upp vektorerna 3u+2v och 3v 2u, när vektorerna u och v är kända. Exempel 2 Låt O, P och Q vara tre punkter, och låt M vara mittpunkten på sträckan PQ. Då gäller det, att OM = 1 2 ( OP+ OQ). Det gäller nämligen, att PM = 1 2PQ, eftersom M är mittpunkt på PQ. Vi får, att OM = OP + PM = OP + 1 2PQ = 1 2OP ( OP + PQ) = 1 2OP + 1 2OQ.

9 1.2. OPERATIONER PÅ VEKTORER 9 Av formeln, som kallas mittpunktsformeln, följer det, att diagonalerna i en parallellogram skär varandra mitt itu. Se figur v 2u v u 3u+2v Figur 1.8: Illustration till exempel 1 O OQ Q OP M P Figur 1.9: Mittpunktsformeln OP + OQ Exempel 3 Låt P, Q och R vara hörnen i en triangel och O en godtycklig punkt i rummet. Bestäm punkten T så, att OT = 1 3 ( OP + OQ+ OR). Om A, B och C är mittpunkterna på triangelsidorna enligt figur 1.10, så utgörs triangelns medianer av sträckorna P A, QB och RC. Enligt exempel 2 är PA = 1 2 ( PQ+ PR). Det gäller, att PT = OT OP. Se kommentaren efter definition 3. Vi får därför enligt definitionen av T, att PT = 1 3 ( OP + OQ+ OR) OP = 1 3 ( OP + OP + PQ+ OP + PR) OP = 1 3 ( PQ+ PR) = 2 PA. 3 Sträckorna P T och P A är därför parallella och lika riktade, och eftersom de utgår från samma punkt, och PT är kortare än PA, så ligger punkten T på medianen PA. Symmetri ger, att T ligger på alla tre medianerna, som därför skär varandra i punkten T. Det framgår vidare, att punkten T delar varje median i förhållandet 2 : 1 räknat från hörnpunkten. Punkten T kallas för triangelns tyngdpunkt. Exempel 4 Betrakta en tetraeder PQRS, och låt O vara en godtycklig punkt i rummet. Antag nu, att OT = 1 4 ( OP + OQ + OR + OS). Med en median till en tetraeder avses en sträcka från ett hörn till motstående sidas tyngdpunkt. Figur 1.11 föreställer en tetraeder och dess fyra medianer. Låt A

10 10 KAPITEL 1. VEKTORER vara tyngdpunkten i sidan, som står mot punkten P. Enligt exempel 3 är PA = 1 3 ( PQ+ PR+ PS). Det gäller därför, att PT = OT OP = 1 4 ( OP + OQ+ OR+ OS) OP = 1 4 ( OP + OP + PQ+ OP + PR+ OP + PS) OP = 1 4 ( PQ+ PR+ PS) = 3 PA. Detta visar, att T ligger på medianen PA. På grund av symmetri ligger T på alla fyra medianerna. Medianerna skär därför varandra i punkten T, som kallas för tetraederns tyngdpunkt. Vi noterar, att T delar varje median i förhållandet 3 : 1 räknat från hörnpunkten. 4 R O B A P C T Q Figur 1.10: Tyngdpunkten i en triangel S C B T A R P D Q Figur 1.11: Tyngdpunkten i en tetraeder 1.3 Baser Vi säger, att en vektor är parallell med en linje eller ett plan, om vektorn har en representant, som ligger på linjen respektive i planet. Ofta uttrycker vi detta genom att säga, att vektorn ligger på linjen respektive i planet, även om detta språkbruk inte är helt korrekt. En vektor ligger ju ingenstans. Två vektorer u och v säges vara parallella, om de har parallella representanter. Vi betraktar i detta sammanhang nollvektorn 0 som parallell med varje vektor. Man inser, att om u och v är parallella, och v 0, så finns det ett tal s, sådant att u = sv.

11 1.3. BASER 11 Definition 5 Vi säger, att en vektor e 1 utgör en bas för linjen l, om e 1 är parallell med l, och e 1 0. Två vektorer e 1 och e 2 säges utgöra en bas för planet π, om de är parallella med π men sinsemellan icke-parallella. Slutligen säges tre vektorer e 1, e 2 och e 3 utgöra en bas för rummet, om de inte är parallella med ett och samma plan. Ome 1 är en bas för linjenl, ochuär en godtycklig vektor, som är parallell med l, så finns det ett entydigt bestämt tal x 1, sådant att u = x 1 e 1. Om u 0 och pekar i samma riktning som e 1, så är x 1 > 0. Om u = 0, så är x 1 = 0. Om u 0 och pekar i motsatt riktning mot e 1, så är x 1 < 0. Vi kallar x 1 för koordinaten för u med avseende på basen e 1. Se figur 1.12a. l 2 l e 1 u (a) Linjen l l e 2 e 1 u u u l 1 (b) Planet π π e 3 e 1 e 2 u u u (c) Rummet π Figur 1.12: Baser Låt nu e 1,e 2 vara en bas för ett plan π och u en vektor, som är parallell med π. Vi avsätter en representant för u i planet och ritar sedan linjerna l 1 ochl 2 genom representantens fotpunkt så, attl 1 är parallell mede 1, ochl 2 är parallell med e 2. Av figur 1.12b framgår det, att det finns entydigt bestämda vektorer u och u, sådana att u är parallell med l 1, u är parallell med l 2, och u = u + u. Eftersom e 1 är en bas för l 1, och e 2 är en bas för l 2, så finns det entydigt bestämda tal x 1 och x 2, sådana att u = x 1 e 1, och u = x 2 e 2. Det följer, att det finns entydigt bestämda tal x 1 och x 2, sådana att u = x 1 e 1 +x 2 e 2. Vi säger, att vektorn u har koordinaterna (x 1,x 2 ) med avseende på basen e 1,e 2. Låt slutligen e 1,e 2,e 3 vara en bas för rummet. Vektorerna e 1 och e 2 är inte parallella. Vi kan därför välja ett planπ, för vilket de utgör en bas. Avsätt en representant för u med fotpunkten i π, och drag en linje l, som går genom ändpunkten och är parallell med e 3. Som framgår av figur 1.12c, finns det nu entydigt bestämda vektorer u och u, sådana att u är parallell med π, u är parallell med l, och u = u +u. Då e 1,e 2 är en bas för π, och e 3 är en bas för l, vet vi sedan tidigare, att det finns entydigt bestämda tal x 1, x 2 och x 3, sådana att u = x 1 e 1 +x 2 e 2, och u = x 3 e 3. Det följer, att det finns entydigt bestämda tal x 1, x 2 och x 3, sådana att u = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3. Vi säger, att u har koordinaterna (x 1,x 2,x 3 ) med avseende på basen e 1,e 2,e 3. Vektorn u i figur 1.12b kallas för projektionen av vektorn u på linjen l 1 längs linjen l 2. Eftersom definitionen är allmän, följer det, att u är projektionen av vektorn u på linjen l 2 längs linjen l 1. I figur 1.12c kallar vi u

12 12 KAPITEL 1. VEKTORER för projektionen av u på π längs l, och u kallas för projektionen av u på l längs π. För att undgå överlappande vektorer i illustrationerna i figur 1.12 har vi avsatt basvektorerna från en punkt och vektorn u från en annan punkt. Vanligen avsätter man vektorerna från samma punkt som i figur 1.8, där vi kan tänka på u och v som basvektorer. De övriga två vektorerna i den figuren har då koordinaterna ( 2, 3) och (3, 2). Exempel 5 Vektorerna e 1 = OP och e2 = OQ i figur 1.9 utgör en bas för det plan, i vilket triangeln OPQ ligger. Eftersom OM = 1 2 e e 2, så har vektorn OM koordinaterna ( 1 2, 1 2 ) med avseende på basen e 1,e 2. Det gäller också, att PQ = OQ OP = e2 e 1 = ( 1)e 1 + 1e 2. Vektorn PQ har därför koordinaterna ( 1,1) med avseende på samma bas. Exempel 6 Vektorerna e 1 = PQ och e2 = PR i figur 1.10 utgör en bas för det plan, som innehåller triangeln PQR. Eftersom PT = 1 3PP + 1 3PQ+ 1 3PR = e e 2 = 1 3 e e 2, har vektorn PT koordinaterna ( 1 3, 1 3 ) med avseende på basen e 1,e 2. En annan bas för samma plan utgörs av f 1 = PC och f2 = QR. Det gäller, att PT = PC + CT = f CR = f ( CQ+ QR) = f (f 1 +f 2 ) = 4 3 f f 2. Vi använde här, att PC = CQ, och att T delar CR i förhållandet 1 : 2. Med avseende på basen f 1,f 2 har alltså PT koordinaterna ( 4 3, 1 3 ). Som framgår av exempel 6, kan samma vektor få olika koordinater med avseende på olika baser. När det inte råder någon tvekan, om vilken bas e 1,e 2,e 3 som avses, tillåter man sig ofta att skriva (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3. Av räknereglerna för vektorer följer det, att (x 1,x 2,x 3 )+(y 1,y 2,y 3 ) = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +y 1 e 1 +y 2 e 2 +y 3 e 3 = (x 1 +y 1 )e 1 +(x 2 +y 2 )e 2 +(x 3 +y 3 )e 3 = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,x 3 +y 3 ), s(x 1,x 2,x 3 ) = s(x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 ) = sx 1 e 1 +sx 2 e 2 +sx 3 e 3 = (sx 1,sx 2,sx 3 ). Om u = (x 1,x 2,x 3 ), så ges projektionerna i figur 1.12c av u = (x 1,x 2,0) och u = (0,0,x 3 ). Det följer, att (su) = su, (su) = su, (u+v) = u +v, (u+v) = u +v. (1.1)

13 1.4. LINEÄRT BEROENDE 13 Motsvarande kan också sägas i det tvådimensionella fallet, om koordinattripplerna byts ut mot koordinatpar. 1.4 Lineärt beroende Man har ofta behov av att kunna avgöra, huruvida en uppsättning vektorer utgör en bas. Följande definition har därvid visat sig vara användbar. Definition 6 Vektorerna u 1,u 2,...,u k säges vara lineärt beroende, om det finns tal s 1,s 2,...,s k, av vilka minst ett är skilt från noll, sådana att s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s k u k = 0. (1.2) Om vektorerna inte är lineärt beroende, säges de vara lineärt oberoende. Definitionen innebär, att vektorerna u 1,u 2,...,u k är lineärt oberoende, om och endast om den enda lösningen till ekvation (1.2) är den triviala lösningen s 1 = s 2 = = s k = 0. En enda vektor u är lineärt beroende, om och endast om det finns ett tal s 0, sådant att su = 0. Detta kan bara inträffa, då u = 0. Exempel 7 Vi vill avgöra, om vektorerna u 1 = (1,2,2), u 2 = (1,3,4) och u 3 = (2,3,1) är lineärt beroende. Koordinaterna är givna med avseende på någon bas e 1,e 2,e 3, likgiltigt vilken. Vänsterledet i ekvation (1.2) kan skrivas (s 1 + s 2 + 2s 3,2s 1 +3s 2 + 3s 3,2s 1 + 4s 2 + s 3 ), och högerledet är lika med (0,0,0). Ekvationen är därför ekvivalent med (s 1 +s 2 +2s 3,2s 1 +3s 2 +3s 3,2s 1 +4s 2 +s 3 ) = (0,0,0). Detta betyder, att s 1 + s 2 + 2s 3 = 0 2s 1 + 3s 2 + 3s 3 = 0 2s 1 + 4s 2 + s 3 = 0. Löser man detta ekvationssystem, visar det sig, att den enda lösningen är den, som ges av s 1 = s 2 = s 3 = 0. Vektorerna är därför lineärt oberoende. Notera, att vektorernas koordinater återfinns som kolonner i ekvationssystemet. Vi har alltså ställt dem på högkant. Med den kunskapen kan vi korta ner lösningen i nästa exempel något. Exempel 8 Vi vill undersöka, om vektorerna u 1 = (1,2,2), u 2 = (1,3,4) och u 3 = (2,3,2) är lineärt beroende. Vi får nu ekvationssystemet s 1 + s 2 + 2s 3 = 0 2s 1 + 3s 2 + 3s 3 = 0 2s 1 + 4s 2 + 2s 3 = 0,

14 14 KAPITEL 1. VEKTORER som har lösningen (s 1,s 2,s 3 ) = t(3, 1, 1), där t R. Denna gång är vektorerna lineärt beroende. Om u 1,u 2,...,u k är vektorer, så kallar vi s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s k u k för en lineärkombination av dessa. Sats 2 Vektorerna u 1,u 2,...,u k, där k 2, är lineärt oberoende, om och endast om någon av dem är en lineärkombination av de övriga. Bevis. Om vektorerna är lineärt beroende, så finns det tal s 1,s 2,...,s k, sådana att s i 0 för något i, och s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s i 1 u i 1 +s i u i +s i+1 u i+1 + +s k u k = 0. Dividerar vi båda led med s i och flyttar över, ger detta, att u i = s 1 s i u 1 + s 2 s i u s i 1 s i s i 1 u i 1 + s i+1 är en lineärkombination av de övriga vektorerna. För att visa omvändningen antar vi, att s i u i s k s i u k u i = s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s i 1 u i 1 +s i+1 u i+1 + +s k u k är en lineärkombination av de övriga vektorerna. Överflyttning ger nu, att s 1 u 1 +s 2 u 2 + +s i 1 u i 1 +( 1)u i +s i+1 u i+1 + +s k u k = 0, och eftersom koefficienten för u i är skild från noll, så är vektorerna lineärt beroende. Att en vektor är lineärt beroende betyder, som vi konstaterade ovan, att den är nollvektorn. Att två vektorer är lineärt beroende betyder, enligt sats 2, att en av dem är en multipel av den andra, vilket innebär att de är parallella. Att tre vektorer är lineärt beroende betyder, att en av dem är en lineärkombination av de övriga två. Innebörden av detta är, att denna vektor ligger i samma plan som de övriga två vektorerna. Sammanfattningsvis följer det av detta, att en, två eller tre vektorer är lineärt oberoende, om och endast om den eller de utgör en bas för linjen, planet respektive rummet. Fyra eller fler vektorer är alltid lineärt beroende. Antingen är de tre första lineärt beroende, och då är hela uppsättningen lineärt beroende, eller så utgör de tre första en bas för rummet, och då är den fjärde en lineärkombination av dessa tre. De tre vektorerna i exempel 7 utgör alltså en bas för rummet, medan vektorerna i exempel 8 är parallella med ett och samma plan.

15 1.5. KOORDINATSYSTEM 15 Exempel 9 Låt u 1,u 2,u 3 vara basen i exempel 7, och antag, att u har koordinaterna (1,2,3) med avseende på basen e 1,e 2,e 3 i samma exempel. Vi önskar här bestämma koordinaterna (x 1,x 2,x 3 ) för vektorn u med avseende på basen u 1,u 2,u 3. Vi skriver u 1 = (1,2,2), u 2 = (1,3,4), u 3 = (2,3,1) och u = (1,2,3) och noterar att dessa koordinater avser basen e 1,e 2,e 3. Vi skall lösa ekvationen x 1 u 1 +x 2 u 2 +x 3 u 3 = u, som är ekvivalent med systemet x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 3. Lösningen ges av x 1 = 4, x 2 = 1, x 3 = 1. Vektorn u, som med avseende på basen e 1,e 2,e 3 hade koordinaterna (1,2,3), har alltså med avseende på basen u 1,u 2,u 3 koordinaterna (4, 1, 1). 1.5 Koordinatsystem Vi skall nu ta hjälp av vektorer för att beskriva positionen av en punkt P. Enbart vektorer räcker inte. Vi kan ange förflyttningar med hjälp av vektorer, men att säga gå 2 kilometer i nordöstlig riktning hjälper oss föga. Var vi hamnar då beror ju på var färden börjar. Vi behöver en startpunkt O, som vi kallar origo. Med ett koordinatsystem för linjen, planet eller rummet skall vi mena en punkt O tillsammans med en bas e 1 för linjen, en bas e 1,e 2 för planet och en bas e 1,e 2,e 3 för rummet. Vi betecknar koordinatsystemet med Oe 1, Oe 1 e 2 respektive Oe 1 e 2 e 3. Om P är en punkt, kallar vi vektorn OP för ortsvektorn till punkten P. Med koordinaterna för P med avseende på koordinatsystemet skall vi mena koordinaterna för OP med avseende på basen. P e 2 3e 1 +2e 2 O e 1 Figur 1.13: Koordinatsystemet Oe 1 e 2 för ett plan I koordinatsystemet Oe 1 e 2 i figur 1.13 är OP ortsvektorn för punkten P. Eftersom vektorn OP = 3e1 +2e 2 har koordinaterna (3,2) med avseende på basen e 1,e 2, har punkten P koordinaterna (3,2) med avseende på koordinatsystemet Oe 1 e 2. Väljer vi ett annat origo men behåller basen, så fårp en annan ortsvektor och därmed andra koordinater med avseende på det nya koordinatsystemet. Behåller vi origo men byter bas, så har visserligen P samma ortsvektor som tidigare, men det är mycket möjligt, att denna får andra koordinater med

16 16 KAPITEL 1. VEKTORER avseende på den nya basen, vilket skulle resultera i att P får andra koordinater med avseende på det nya koordinatsystemet. Man kan naturligtvis också byta både bas och origo, och även då får P vanligen andra koordinater. Vi noterar här också, att om punkterna P och Q har koordinaterna (x 1,x 2,x 3 ) och (y 1,y 2,y 3 ) med avseende på ett koordinatsystem Oe 1 e 2 e 3, så har ortsvektorerna OP och OQ koordinaterna (x1,x 2,x 3 ) och (y 1,y 2,y 3 ) med avseende på basen e 1,e 2,e 3. Detta leder till att vektorn PQ = OQ OP har koordinaterna (y 1,y 2,y 3 ) (x 1,x 2,x 3 ) = (y 1 x 1,y 2 x 2,y 3 x 3 ) med avseende på basen e 1,e 2,e 3. Om punkten P har koordinaterna (x 1,x 2,x 3 ), och ingen tvekan råder, vilket koordinatsystem som avses, så skriver vi ofta P = (x 1,x 2,x 3 ). 1.6 Ekvationer för linjer och plan När man har ett koordinatsystem Oe 1 e 2 e 3 för rummet och en linje eller ett plan i rummet, vill man ofta kunna avgöra, om en punkt ligger på linjen eller i planet på grundval av punktens koordinater med avseende på koordinatsystemet. Ekvationer för linjer och plan skall satisfieras av koordinaterna för de punkter, som ligger på linjen eller i planet, men inte av koordinaterna för andra punkter. Det är sådana ekvationer, som vi skall studera i detta avsnitt. Vi förutsätter i härledningarna av ekvationerna, att ett koordinatsystem Oe 1 e 2 e 3 är givet för rummet, men vi ritar inte ut origo eller basvektorerna i de figurer, som förekommer. l u P Q Figur 1.14: Ekvationen för en linje Vi börjar med ekvationer för linjer. Låt l vara en linje i rummet, och välj en fix punkt Q på l och en basvektor u för l. En sådan vektor kallas ofta för en riktningsvektor för linjen. Det gäller alltså, att u 0, och att u är parallell med l. Vi antar, att Q har koordinaterna (x 0,y 0,z 0 ) med avseende på koordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3, och att vektorn u har koordinaterna (a,b,c) med avseende på basen e 1,e 2,e 3. Vi skriver detta, nu och i fortsättningen, som Q = (x 0,y 0,z 0 ) och u = (a,b,c). Låt P = (x,y,z) vara en godtycklig punkt i rummet. Det gäller då, att P ligger på l, om och endast om QP är parallell med u. Detta är i sin tur ekvivalent med att det finns ett tal t, sådant att QP = tu. Med de givna koordinaterna kan detta skrivas (x x 0,y y 0,z z 0 ) = t(a,b,c),

17 1.6. EKVATIONER FÖR LINJER OCH PLAN 17 som är ekvivalent med x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct. (1.3) Vi säger, att (1.3) är en ekvation på parameterform för l. Innebörden är, att en punkt med koordinaterna (x,y,z) ligger på l, om och endast om det finns ett tal t, sådant att (1.3) gäller. En mindre vidlyftig variant av ekvationen är (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 )+t(a,b,c). Omvänt är det klart, att en ekvation av formen (1.3), i vilken minst en av a, b och c är skild från noll, är ekvationen för en linje genom (x 0,y 0,z 0 ) parallell med (a,b,c). Exempel 10 Linjen l går genom punkten Q = (1,2,1) och har riktningsvektorn u = (4, 1,5). Vi kan direkt skriva upp en ekvation på parameterform för l, nämligen x = 1 + 4t y = 2 t z = 1 + 5t. Exempel 11 En linje går genom punkternaq 1 = (1,1,1) ochq 2 = (1,3,5). En riktningsvektor för linjen är Q 1 Q 2 = (1,3,5) (1,1,1) = (0,2,4). Vi väljer dock den kortare vektorn u = 1 2 (0,2,4) = (0,1,2) som riktningsvektor i stället. Som fix punkt på linjen kan vi välja Q 1 eller Q 2 eller vilken annan punkt som helst på linjen. Vi väljer Q 1 och får ekvationen x = 1 y = 1 + t z = 1 + 2t. Exempel 12 I detta exempel vill vi avgöra, huruvida punkten(3, 2, 2) ligger på linjen (x,y,z) = (1,0,3) + t(1,1,2). Frågan är, om det finns ett tal t, sådant att 3 = 1 + t, 2 = 0 + t och 2 = 3 + 2t. Enligt de båda första ekvationerna är t = 2. Detta ger en motsägelse i den tredje ekvationen. Punkten ligger alltså inte på linjen. Exempel 13 Vi vill undersöka, om de båda linjerna x = 1 + t x = 3 + 2t l 1 : y = 2 + t och l 2 : y = 8 + t z = 3 2t z = 5 3t skär varandra, och i så fall finna skärningspunkten. Att en punkt (x,y,z) ligger på båda linjerna betyder, att det finns ett t, sådant att den första ekvationen är uppfylld, och ett t, sådant att den andra ekvationen är uppfylld. Det finns ingenting som säger, att det måste vara

18 18 KAPITEL 1. VEKTORER samma t. Att linjerna skär varandra i (x,y,z), är ekvivalent med att det finns t 1 och t 2, sådana att (x,y,z) = (1,2,3) +t 1 (1,1, 2) = (3,8, 5)+t 2 (2,1, 3). Vi löser ekvationen (1,2,3)+t 1 (1,1, 2) = (3,8, 5)+t 2 (2,1, 3), som kan skrivas 1 + t 1 = 3 + 2t t 1 = 8 + t 2 3 2t 1 = 5 3t 2. Vi skriver om detta ekvationssystem så, att vi får de obekanta i vänsterledet och konstanterna i högerledet. t 1 2t 2 = 2 t 1 t 2 = 6 2t 1 + 3t 2 = 8 t 1 2t 2 = 2 t 2 = 4 t 2 = 4 t 1 2t 2 = 2 t 2 = 4 0 = 0. Systemet har lösningent 1 = 10,t 2 = 4, vilket visar att linjerna skär varandra. För att få skärningspunktens koordinater, kan vi sätta int 1 = 10 i ekvationen för l 1 eller t 2 = 4 i ekvationen för l 2. Som en extra kontrollåtgärd kan man sätta in i båda ekvationerna för att avslöja eventuella felräkningar. Skärningspunkten blir (x, y, z) = (11, 12, 17). Hade ekvationssystemet i exempel 13 saknat lösningar, hade linjerna saknat skärningspunkter. Hade systemet haft oändligt många lösningar, hade linjerna sammanfallit. Studerar man linjer, som ligger i ett fixt plan π, kan man naturligtvis införa ett koordinatsystem Oe 1 e 2 för π. Om en linje l i π går genom (x 0,y 0 ) och har riktningsvektor (a,b), så har l en ekvation { x = x0 + at y = y 0 + bt. Här är inte både a och b noll. Om till exempel a 0, får man ett ekvivalent system, om man subtraherar b gånger den första ekvationen från a gånger den andra. Man ser därefter, att ekvationen för l kan skrivas ay bx = ay 0 bx 0. Om a = 0, får man direkt samma resultat. En linje i π har med andra ord en ekvation av formen Ax+By = C. Det gäller inte, att linjer i rummet har ekvationer av formen Ax+By+Cz = D. Detta kommer att uppenbaras för oss inom kort. Vi studerar nu ekvationer för plan. Låt Q = (x 0,y 0,z 0 ) vara en fix punkt i planet π, och låt u 1 = (a 1,b 1,c 1 ) och u 2 = (a 2,b 2,c 2 ) vara två basvektorer för π. Punkten P = (x,y,z) ligger då i π, om och endast om QP är en lineärkombination av u 1 och u 2. Detta betyder, att det finns tal t 1 och t 2,

19 1.6. EKVATIONER FÖR LINJER OCH PLAN 19 P u 2 Q u 1 π Figur 1.15: Ekvationen för ett plan sådana att QP = t1 u 1 + t 2 u 2. Uttryckt med hjälp av koordinaterna kan detta samband skrivas x = x 0 + a 1 t 1 + a 2 t 2 y = y 0 + b 1 t 1 + b 2 t 2 (1.4) z = z 0 + c 1 t 1 + c 2 t 2. Vi säger, att ekvation (1.4) är en ekvation på parameterform för planet π. Exempel 14 Vi bestämmer ekvationen för planet, som går genom punkterna (1,2,3), (2,3,2) och (4,7,6). Som basvektorer för planet kan vi välja u 1 = (2,3,2) (1,2,3) = (1,1, 1) och u 2 = (4,7,6) (1,2,3) = (3,5,3). En ekvation för planet är följaktligen x = 1 + t 1 + 3t 2 y = 2 + t 1 + 5t 2 z = 3 t 1 + 3t 2. Exempel 15 Ett plan går genom punkternaq 1 = (3,2,1) ochq 2 = (6,1,3) och är parallellt med linjen (x,y,z) = (11,4,12)+t(1,2,5). Linjens riktningsvektor u 1 = (1,2,5) är parallell med planet. En annan vektor, som är parallell med planet, är u 2 = Q 1 Q 2 = (3, 1,2). Det båda vektorerna är lineärt oberoende och utgör en bas för planet, som därför har ekvationen x = 3 + t 1 + 3t 2 y = 2 + 2t 1 t 2 z = 1 + 5t 1 + 2t 2. Innebörden av ekvation (1.4) är, att en punkt (x,y,z) ligger i planet π, om och endast om systemet a 1 t 1 + a 2 t 2 = x x 0 b 1 t 1 + b 2 t 2 = y y 0 (1.5) c 1 t 1 + c 2 t 2 = z z 0 har en lösning (t 1,t 2 ). Eftersom vektorerna (a 1,b 1,c 1 ) och (a 2,b 2,c 2 ) är lineärt oberoende, så har motsvarande homogena system den entydiga lösningen t 1 = t 2 = 0. Det betyder, att systemet med hjälp av elimination kan

20 20 KAPITEL 1. VEKTORER överföras på ett system av formen t 1 + dt 2 = h 1 t 2 = h 2 0 = Ax+By +Cz D. Ekvationssystemet (1.5) har därför en lösning, det vill säga (x, y, z) ligger i π, om och endast om Ax+By+Cz = D. Vi säger, att detta är en ekvation på normalform för π. Exempel 16 Vi bestämmer en ekvation på normalform för planet i exempel 14. Vi börjar med att skriva om ekvationssystemet så, att vi får de obekanta i vänsterledet, och därefter eliminerar vi som vanligt. t 1 + 3t 2 = x 1 t 1 + 5t 2 = y 2 t 1 + 3t 2 = z 3 t 1 + 3t 2 = x 1 2t 2 = x+y 1 6t 2 = x+z 4 t 1 + 3t 2 = x 1 2t 2 = x+y 1 0 = 4x 3y +z 1. Ekvationssystemet är lösbart, om och endast om 4x 3y +z = 1, vilket är planets ekvation på normalform. Omvänt, en ekvation av formen Ax+By+Cz = D, i vilken minst en av A, B och C är skild från noll, är ekvationen för ett plan. Om till exempel A 0, kan man sätta y = t 1 och z = t 2 och få, att ekvationen är ekvivalent med (x,y,z) = ( D A,0,0) +t 1( B A,1,0) +t 2( C A,0,1), vilket är en ekvation på parameterform för ett plan. Exempel 17 Vi söker skärningen mellan planet 4x 3y + z = 1 och linjen (x,y,z) = (2,2,5) + t(1,1,2). Punkten (x,y,z) = (2,2,5) + t(1,1,2) på linjen ligger i planet, om och endast om dess koordinater uppfyller planets ekvation. Det betyder, att 4(2+t) 3(2+t)+5+2t = 1 3t = 6 t = 2. Man får därför skärningspunkten genom att sätta t = 2 i linjens ekvation. Skärningspunkten blir (2,2,5) 2(1,1,2) = (0,0,1). Exempel 18 Skärningen mellan planen x y+2z = 1 och 4x 3y+z = 1 får man genom att lösa ekvationssystemet { x y + 2z = 1 4x 3y + z = 1. Lösningen ges av (x,y,z) = ( 2, 3,0) +t(5,7,1). Detta är en ekvation på parameterform för skärningslinjen.

21 Kapitel 2 Skalärprodukt 2.1 Definition och räkneregler Med längden u av en vektor u skall vi mena längden av en representant för u. En vektor e, för vilken e = 1, kallas en enhetsvektor. Med vinkeln θ mellan två vektorer skilda från nollvektorn menar vi vinkeln θ mellan en representant för den ena vektorn och en representant för den andra. Det gäller, att 0 θ π. Definition 7 Skalärprodukten av två vektorer u och v definieras genom { u v cosθ, om u 0 och v 0, u v = 0, annars. Två vektor u och v säges vara ortogonala, om u v = 0. Låt u och v 0 vara vektorer. Med den ortogonala projektionen av u på v menar vi projektionen u av u på linjen l parallell med v längs planet π vinkelrätt mot l. u u θ e u = ( u cosθ)e Figur 2.1: Ortogonal projektion Antag, att v = e är en enhetsvektor, och låt θ vara vinkeln mellan u och e. I figur 2.1 är u den ortogonala projektionen på e och u den ortogonala projektionen på planet π vinkelrätt mot e. Eftersom e = 1, är cirkeln en enhetscirkel. Definitionen av de trigonometriska funktionerna och

22 22 KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT likformiga trianglar ger, att u = ( u cosθ)e. Eftersom e = 1, kan vi skriva u cosθ = u e cosθ = u e och få, att u = (u e)e. Enhetsvektorer spelar tydligen en viktig roll här. Man har därför ofta behov av att ersätta en vektor v 0 med en enhetsvektor e, som är parallell med och lika riktad som v. Man säger, att man normerar v. För vektorn e gäller det, att e = 1 v v, vilket också kan skrivas v = v e. Eftersom v och e är parallella och lika riktade, är vinkelnθmellan en vektoruochvdensamma som vinkeln mellan u och e. Detta ger, att u v = u v cosθ = v u e cosθ = v (u e). (2.1) Sats 3 Det gäller för alla tal s och t och alla vektorer u, v och w, att u v = v u, (2.2) u u = u 2, (2.3) (su+tv) w = s(u w)+t(v w). (2.4) Bevis. Likheten (2.2) följer omedelbart av definitionen av skalärprodukt. Det gör också (2.3), ty u u = u u cos0 = u 2. Om w = 0, kan samma sak sägas om (2.4), eftersom de ingående skalärprodukterna då är noll. Antag därför, att w 0, och definiera enhetsvektorn e genom w = w e. Det följer av (2.1) och (1.1), att ((su+tv) w)e = w ((su+tv) e)e = w (su+tv) = w ((su) +(tv) ) = w (su +tv ) = w (s(u e)e+t(v e)e) = (s(u w)+t(v w))e. Eftersom e 0, är (su+tv) w = s(u w)+t(v w). Vi använder omedelbart räknereglerna till att bevisa en välkänd sats. Sats 4 (Pythagoras sats) Antag, att vektorerna u och v är ortogonala. Då gäller det, att u+v 2 = u 2 + v 2. Bevis. u+v 2 = (u+v) (u+v) = u u+2(u v)+v v = u 2 + v 2, ty u v = 0 enligt förutsättningen.

23 2.2. ORTONORMERADE BASER Ortonormerade baser En ortonormerad bas är en bas, i vilken basvektorerna har längden 1 och är parvis ortogonala. För en bas e 1 för en linje innebär detta bara, att e 1 = 1. För en bas e 1,e 2,e 3 för rummet innebär det, att e 1 = e 2 = e 3 = 1, och e 1 e 2 = e 1 e 3 = e 2 e 3 = 0. Antag, att u = (x 1,x 2,x 3 ) och v = (y 1,y 2,y 3 ) med avseende på en ortonormerad bas e 1,e 2,e 3. Räknereglerna i sats 3 ger då, att u v = (x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 ) (y 1 e 1 +y 2 e 2 +y 3 e 3 ) Detta ger i synnerhet, att = x 1 y 1 (e 1 e 1 )+x 1 y 2 (e 1 e 2 )+x 1 y 3 (e 1 e 3 ) +x 2 y 1 (e 2 e 1 )+x 2 y 2 (e 2 e 2 )+x 2 y 3 (e 2 e 3 ) +x 3 y 1 (e 3 e 1 )+x 3 y 2 (e 3 e 2 )+x 3 y 3 (e 3 e 3 ) = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. u = u u = x 2 1 +x2 2 +x2 3. Motsvarande formler gäller också för ortonormerade baser för planet. Exempel 19 Antag, att u = (4,1,1) och v = (2,2, 1) med avseende på en ortonormerad bas. Vi söker vinkeln θ mellan vektorerna. Det gäller, att u = = 18 = 3 2, v = ( 1) 2 = 9 = 3, och u v = ( 1) = 9. Det följer av skalärproduktens definition, att cosθ = u v u v = = 1, 2 varav θ = π 4. u 1 e 2 θ u 2 e 1 Figur 2.2: En additionsformel Exempel 20 Låt e 1,e 2 vara en ortonormerad bas för planet, och definiera u 1 = (cosθ 1 )e 1 +(sinθ 1 )e 2 och u 2 = (cosθ 2 )e 1 +(sinθ 2 )e 2. Se figur 2.2. Trigonometriska ettan ger då, att u 1 = u 2 = 1. Låt θ vara vinkeln mellan u 1 och u 2. Då är θ = ±(θ 1 θ 2 )+2πn för något heltal n. Använder vi skalärproduktens definition, får vi u 1 u 2 = u 1 u 2 cosθ = cosθ = cos(θ 1 θ 2 ).

24 24 KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT Användning av räknereglerna ovan ger u 1 u 2 = cosθ 1 cosθ 2 +sinθ 1 sinθ 2. De båda likheterna tillsammans ger den välbekanta additionsformeln cos(θ 1 θ 2 ) = cosθ 1 cosθ 2 +sinθ 1 sinθ 2. Eftersom rätlinjiga förflyttningar kan beskrivas med hjälp av vektorer, kan också hastigheter hos sådana förflyttningar beskrivas med hjälp av vektorer. De är ju förflyttningar per tidsenhet. Om vektorn v är en sådan hastighet, så kallar man dess längd v = v för farten e 1 e 2 90 v v v 2 Figur 2.3: Flygplan Exempel 21 Ett flygplan håller enligt kompassen kursen 30 och flyger med hastigheten 400 km/h relativt den omgivande luften. Samtidigt blåser det en vind i riktningen 280 med hastigheten 100 km/h. Vi vill bestämma flyplanets fart och kurs i förhållande till marken. Vi inför en ortonormerad bas e 1,e 2 med e 1 i riktningen 0 och e 2 i riktningen 90. Planets hastighet representeras då av v 1 = 400((cos30 )e 1 + (sin30 )e 2 ) och vindens av v 2 = 100((cos280 )e 1 +(sin280 )e 2 ). Den resulterande hastigheten blir v = v 1 +v 2 = x 1 e 1 +x 2 e 2, där x 1 = 400cos cos280 och x 2 = 400sin sin280. Flygplanets fart blir v = x 2 1 +x ,7 km/h, och planets kurs θ ges av cosθ = x 1 v och sinθ = x 2 v. Vi får θ = arccos x 1 v 15,6, ty både x 1 och x 2 är positiva. 2.3 Ekvationer för plan i ortonormerade system Ett ortonormerat koordinatsystem är ett koordinatsystem, för vilket basen är ortonormerad. Vi antar i hela detta avsnitt, att alla koordinater är givna med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem. Med en normalvektor till ett plan skall vi mena en nollskild vektor, som är ortogonal mot planet. Låt π vara ett plan, som går genom punkten Q = (x 0,y 0,z 0 ) och har en normalvektor n = (A,B,C). En punkt P = (x,y,z) ligger i π, om och endast om vektorn QP = (x x0,y y 0,z z 0 ) är ortogonal mot vektorn n. Detta betyder, att n QP = A(x x0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 ) = 0.

25 2.4. AVSTÅND 25 Sätter vi D = Ax 0 +By 0 +Cz 0, ser vi att planets ekvation kan skrivas Ax+By +Cz = D. Omvänt vill vi visa, att en sådan ekvation, i vilken minst en ava,b ochc är skild från noll, är en ekvation för ett plan med normalvektor (A,B,C). Från kapitel 1 vet vi, att det är en ekvation för ett plan. Låter vi då(x 0,y 0,z 0 ) vara en punkt i planet, så gäller det, att Ax 0 +By 0 +Cz 0 = D. Ekvationen kan därför skrivas A(x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 ) = 0. Detta visar, att (A,B,C) är en normalvektor till planet. Det kan här vara värt att påpeka, att det bara är om koordinaterna är givna med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem, som vi kan vara säkra på att (A,B,C) är en normalvektor till planet. Exempel 22 Planet, som går genom punkten (2, 4, 1) och har normalvektor (1,2,3), har ekvationen 1(x 2)+2(y 4)+3(z 1) = 0. Ekvationen kan, efter förenkling, skrivas x + 2y + 3z = Avstånd Med avståndet från en punkt P = (x,y,z) i rummet till ett plan med ekvationen Ax + By + Cz = D menar vi det kortaste avståndet från P till någon punkt i planet. Detta är det vinkelräta avståndet. För att bestämma det, väljer vi en godtycklig punkt Q = (x 0,y 0,z 0 ) i planet och bildar vektorn u = QP = (x x0,y y 0,z z 0 ). Låt u vara den ortogonala projektionen av u på normalvektorn n = (A,B,C). Det sökta avståndet är då u. P n Q u u Figur 2.4: Avståndet till ett plan Vi bildar enhetsvektorn e = 1 n n, som har samma riktning som n. Det gäller då, att u = (u e)e, varför det sökta avståndet är u = (u e)e = u e = u n n = A(x x 0)+B(y y 0 )+C(z z 0 ) A 2 +B 2 +C 2. Q är en punkt i planet. Dess koordinater (x 0,y 0,z 0 ) uppfyller därför planets ekvation. Det ger, att Ax 0 +By 0 +Cz 0 = D, och avståndet d kan skrivas d = Formel (2.5) brukar kallas för avståndsformeln. Ax+By+Cz D A 2 +B 2 +C 2. (2.5)

26 26 KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT Exempel 23 Vi bestämmer avståndet från punkten (4, 4, 1) till planet i exempel 22. Enligt avståndsformeln är det ( 4) = = = 14. Har man infört ett ortonormerat koordinatsystem i ett plan, så är avståndet från en punkt P = (x,y) i planet till en linje Ax+By = C i planet lika med d = Ax+By C A 2 +B 2. Detta kan visas på samma sätt. När det gäller avståndet från en punkt i rummet till en linje i rummet, blir formeln mer komplicerad och svårare att minnas. Det är nu bättre, att lära sig metoden i stället. Låt l vara en linje och P en punkt. Man bestämmer den punkt Q på l, för vilken vektorn PQ är vinkelrät mot l. Det sökta avståndet är då PQ. Metoden ger oss också upplysning om vilken punkt på l, som ligger närmast P. Vi förevisar metoden i ett exempel. P u Q l Figur 2.5: Avståndet till en linje Exempel 24 Låt oss bestämma avståndet från punkten P = (4,4, 10) till linjen med ekvationen (x,y,z) = (1,2,3) + t(1,3, 1). En punkt på linjen har koordinaterna Q = (1,2,3)+tu, där u = (1,3, 1) är en riktningsvektor för linjen. Vi bestämmer nu t så, att PQ = ( 3, 2,13) +tu blir vinkelrät mot u. Detta är ekvivalent med 0 = PQ u = ( 3, 2,13) u+tu u = ( 1)+t( ( 1) 2 ) = 22+11t. Lösningen till denna ekvation är t = 2, och för detta värde på parametern t blir PQ = ( 3, 2,13) + 2(1,3, 1) = ( 1,4,11). Det sökta avståndet är därför PQ = ( 1) = 138. Den punkt på linjen, som ligger närmast P, är Q = (1,2,3) +2(1,3, 1) = (3,8,1).

27 2.5. VINKLAR Vinklar Såvida inte två linjer är vinkelräta, finns det två olika stora vinklar mellan dem. När vi säger vinkeln mellan två linjer, som inte är vinkelräta, menar vi den spetsiga vinkeln. För att bestämma vinkeln mellan två linjer bestämmer man vinkeln θ mellan en riktningsvektor för den ena linjen och en riktningsvektor för den andra. Visar det sig, attθ är spetsig eller rät, är vinkeln mellan linjerna lika med θ. Annars är den lika med π θ. θ π θ l 2 l 1 Figur 2.6: Vinkeln mellan två linjer Exempel 25 Vinkeln mellan linjerna l 1 : (x,y,z) = (1,2,1) +t(1, 2, 1) och l 2 : (x,y,z) = (1,0,0) + t(0,1,1) söks. Vi bestämmer därför vinkeln θ mellan linjernas riktningsvektorer u 1 = (1, 2, 1) och u 2 = (0,1,1). Denna ges av cosθ = u 1 u 2 u 1 u 2 = 3 3 = 6 2 2, vilket ger, att θ = 5π 6. Eftersom θ är trubbig, är den sökta vinkeln lika med π θ = π 6. Vinkeln θ mellan två plan är den minsta vinkeln mellan dem. Den är lika med den spetsiga eller räta vinkeln mellan en linje vinkelrät mot det ena planet och en linje vinkelrät mot det andra. I figur 2.7 betraktas planen från sidan så, att de framstår som linjer. θ π 2 θ π 1 Figur 2.7: Vinkeln mellan två plan Exempel 26 Vi söker vinkeln mellan de båda planen π 1 : x 2y z = 2 och π 2 : y + z = 1. Normalvektorer till planen är u 1 = (1, 2, 1) och u 2 = (0,1,1). Dessa är också riktningsvektorer för linjer vinkelräta mot

28 28 KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT planen. Vinkeln θ mellan dessa vektorer beräknades i exempel 25, och vi fann, att θ = 5π 6. Den spetsiga vinkeln mellan linjerna är därför π 6, och detta är också vinkeln mellan planen. Vinkeln ϕ mellan en linje l och ett plan π är den minsta vinkeln mellan dessa. Det gäller, att ϕ = π 2 θ, där θ är vinkeln mellan l och en linje vinkelrät mot π. θ ϕ l π Figur 2.8: Vinkeln mellan en linje och ett plan Exempel 27 Nu söker vi vinkeln mellan planet π : x 2y z = 2 och linjen l : (x,y,z) = t(0,1,1). En normalvektor till π är u = (1, 2, 1), och en riktningsvektor till l är v = (0,1,1). Vi fann i exempel 25, att vinkeln mellan dessa vektorer är 5π 6. Den spetsiga vinkeln θ är därför, som tidigare, lika med θ = π 6, och den sökta vinkeln är ϕ = π 2 θ = π 3.

29 Övningsuppgifter Övningsuppgifter till kapitel Rita ut vektorerna u, 3v, u v, u 3v, u+2v och 2u v med utgångspunkt i vektorerna u och v i figur 1.3 på sidan Antag, att e 1 = CT och e 2 = PC i figur 1.10 på sidan 10. Bestäm koordinaterna, med avseende på basen e 1,e 2, för vektorerna CR, CB och TA. Rita också ut vektorn med koordinaterna ( 1,1) Vektorerna e 1 = PQ, e2 = PR och e 3 = PS i figur 1.11 på sidan 10 utgör en bas för rummet. Bestäm koordinaterna för vektorerna PA, PT, PB, QA och ST Vektorerna u, v, och w har, med avseende på någon bas, koordinaterna u = (1, 1, 4), v = (2,4,4) och w = (4,2, 4). Avgör, huruvida de är lineärt beroende Är vektorerna (1, 1, 3), (2,3,4) och (3,2, 4) parallella med ett och samma plan? 1.6. Visa, att vektorerna (1,1,2), (4,4,9) och (2,3,7) utgör en bas för rummet. Bestäm koordinaterna för vektorn (5, 4, 3) med avseende på denna bas Bestäm en ekvation för den linje, som går genom punkten (1,2,4) och är parallell med vektorn (1,0,2) Bestäm en ekvation för linjen, som går genom punkterna (1,2,4) och (2,0,2) Skär linjerna med ekvationerna (x,y,z) = (3,7,7) + t(1,4,3) och (x,y,z) = (1,2,4)+t(1,3,2) varandra? Ange i så fall skärningspunkten Skär linjerna med ekvationerna (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,2,3) och (x,y,z) = (2,1,3)+t(1,0,2) varandra? Ange i så fall skärningspunkten.

30 30 ÖVNINGSUPPGIFTER Ligger punkterna (0, 1,2), (1,4,3), (2,0,1) och (2, 3,0) i samma plan? Bestäm skärningspunkten mellan planet x+2y +3z = 4 och linjen (x,y,z) = (5, 3, 5)+t(2,1,2) Ett plan går genom punkten (1,2,2) och är parallellt med linjerna (x,y,z) = (3,4,5) + t(1,1,2) och (x,y,z) = (3, 4,6) + t(2,1,3). Ange en ekvation på parameterform för planet Ange på formen Ax +By +Cz = D en ekvation för det plan, som går genom punkterna (1,3,4) och (2,0,5) och är parallellt med linjen (x,y,z) = (12,18,24) +t(5, 1,2) Ange på formenax+by+cz = D en ekvation för det plan, som innehåller linjen (x,y,z) = (3,2,1) +t(1, 2,3) och går genom punkten (1, 1,2) Bestäm skärningen mellan planen 2x+y z = 3 och 3x 3y+z = 0. Ange också en ekvation för den linje, som går genom punkten (1,2,4) och är parallell med de båda planen. Övningsuppgifter till kapitel 2 I nedanstående uppgifter är koordinater angivna med avseende på något ortonormerat system Bestäm vinkeln mellan vektorerna (1, 2, 2) och (1, 4, 1) En roddare ror över en å med kurs rakt mot den motsatta stranden. Roddhastigheten relativt vattnet är 4 m/s. Samtidigt strömmar vattnet med en hastighet på 1 m/s. Vilken fart har roddaren, och vilken är kursen, i förhållande till marken? Om ån är 100 meter bred, var på den motsatta stranden kommer båten att landa? 2.3. Vilken kurs skall piloten i exempel 21 på sidan 24 hålla för att flygplanet skall färdas rakt norrut, vilket motsvarar 0 på kompassen Bestäm en ekvation på normalform för det plan, som bildar rät vinkel med linjen (x,y,z) = (2,1,2) + t(4,1,3) och går genom punkten (1,1,2) Bestäm avståndet från punkten (5,8,4) till det plan, som går genom punkten (2, 2,3) och är vinkelrätt mot vektorn (3,2, 1).

31 SVAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER Bestäm avstånden från de båda punkterna (4, 1,1) och (2,1,1) till planet x+2y+z = 4. Skalärprodukten av två vektorer är positiv, om vinkeln mellan dem är spetsig, och negativ, om vinkeln är trubbig. Undersök, med hjälp härav, om de båda punkterna ligger på samma sida om planet eller på olika sidor En linje går genom punkten (1,4,3) och är parallell med vektorn (1,2,1). Beräkna avståndet från punkten (2,2,2) till linjen. Vilken punkt på linjen ligger närmast punkten (2,2,2)? 2.8. Två linjer har ekvationerna (x,y,z) = ( 1,2,3) + t(2, 1, 1) och (x,y,z) = (1,1,1) + t(1,2, 3). Bestäm det minsta avståndet mellan dem genom att bilda det plan, som innehåller den första linjen och är parallellt med den andra. Avståndet kan sedan beräknas som avståndet från en godtycklig punkt på den andra linjen till planet Ett plan innehåller punkterna (2,1, 1), (4,0,1) och (0,1, 2). Bestäm vinkeln mellan detta plan och planet x+y +4z = Bestäm vinkeln mellan planet x+2y z = 1 och den linje, som går genom punkterna (3, 5, 1) och (2, 4, 1) Bestäm en ekvation för det plan, som består av de punkter, som har samma avstånd till de båda punkterna (0,1, 1) och ( 2, 1,1). Svar till övningsuppgifter 1.2. (3,0), ( 3 2, 1 2 ) och (1 2, 1 2 ) ( 1 3, 1 3, 1 3 ), (1 4, 1 4, 1 4 ), (0, 1 3, 1 3 ), ( 2 3, 1 3, 1 3 ) och (1 4, 1 4, 3 4 ) Vektorerna är lineärt beroende Nej (23, 4, 1) (x,y,z) = (1,2,4) +t(1,0,2) (x,y,z) = (1,2,4) +t(1, 2, 2) Ja, i punkten (4,11,10) Nej Ja (9, 1, 1).

32 32 ÖVNINGSUPPGIFTER (x,y,z) = (1,2,2) +t 1 (1,1,2) +t 2 (2,1,3) x 3y 14z = x y z = Skärningslinjen är (x,y,z) = (0, 3 2, 9 2 )+t(2,5,9). Den andra linjen är (x,y,z) = (1,2,4) +t(2,5,9) π Farten är 4,1 m/s. Kursen är 14,0 nedströms i förhållande till åns tvärriktning. Landningspunkten är belägen 25 meter nedströms från punkten mitt emot startpunkten , x+y +3z = Båda avstånden är 1 6. Punkterna ligger på olika sidor om planet Avståndet är Punkten är (1 3, 8 3, 7 3 ) π π x+y z = 1.

33 Sakregister additionsformel, 24 associativa lagen, 7, 8 avstånd till en linje, 26 avstånd till ett plan, 25 avståndsformeln, 25 bas, 11 distributiv lag, 8 ekvation på normalform, 20, 25 ekvation på parameterform, 17, 19 ekvationer för linjer, 17 ekvationer för plan, 18 ekvivalent, 5 enhetscirkel, 21 enhetsvektor, 21 fart, 24 fotpunkt, 5 hastighet, 24 inverser, 8 kommutativa lagen, 7, 8 koordinater för punkter, 15 koordinater för vektorer, 11 koordinatsystem, 15 lineärkombination, 14 lineärt beroende, 13 lineärt oberoende, 13 längd, 21 median i en tetraeder, 9 median i en triangel, 9 mittpunktsformeln, 9 neutralt element, 8 nollvektorn, 7 normalvektor, 24 normera, 22 origo, 15 ortogonal, 21 ortogonal projektion, 21 ortonormerad bas, 23 ortonormerat koordinatsystem, 24 ortsvektor, 15 parallell vektor, 10 projektion, 11 Pythagoras sats, 22 representant, 6 riktad sträcka, 5 räkneregler för skalärprodukt, 22 räkneregler för vektorer, 8 skalär, 7 skalärprodukt, 21 tetraeder, 9 tyngdpunkt i en tetraeder, 10 tyngdpunkt i en triangel, 9 vektor, 6 vinkel, 21 vinkel mellan linje och plan, 28 vinkel mellan linjer, 27 vinkel mellan plan, 27 ändpunkt, 5