Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Transkript

1 Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg( Fx) Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, b (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas s och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget) Skriv endast på en sida av papperet Inlämnade uppgifter skall markeras medd kryss på omslaget Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter ( Endast svar utan tillhörande lösning ger poäng) Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B ellerr Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar överr uppgift ) ) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) x y z x y x y z Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna A (,, ), B (,,) och C (,5,) Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) i 6 Låt z i Skriv talet z på a bi form i Var god vänd Sida av

2 Uppgift 4 (5p) a) (p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A (,, ) som är parallell med vektorerna p = (,, ) och q (,,) Ange planets ekvation på formen ax by cz d b) (p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x y z 4 som har kortast avstånd till punkten B (4,5,4) c) (p) Den räta linjen L går genom punkterna P (,, ) och Q (,,) Linjen L går genom punkterna R (,,6) och S (,,5 ) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L och L Uppgift 5 (4p) a) (p) Lös matrisekvationen A X BX C (med avseende på X) där A, B, C 5 b) (p) Bestäm matrisen Y om Y 5 Uppgift 6 (p) En konstant kraft på N, som är parallell med vektorn v (,, ), förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A (,, ) till punkten B (,, 5) och därefter från punkten B till punkten C (4, 4,) Beräkna det totala utförda arbetet Uppgift 7 (p) Bestäm spegelbilden av punkten P (, 6, ) i linjen ( x, y, z) ( t, t, t) Uppgift 8 (p) Det komplexa talet z i är en lösning till ekvationen z 7z z6 Bestäm alla lösningar Uppgift 9 (p) Låt ABC vara en triangel Vi betecknar med A, B, C mittpunkter på BC, AC och AB Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA och BB Bevisa att AT AT (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet : ) Lycka till! Sida av

3 FACIT Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) x y z x y x y z x y z x y z x y z x y y z y z x y z 4 y 4z Oändlig många lösningar z t, y t, x t Svar: Oändlig många lösningar z t, y t, x t, (t varierar fritt) x Rättningsmall: Korrekt till y z y z ger p Allt korrekt=p Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna A (,, ), B (,,) och C (,5,) AB (,, ), AC (,,) A AB AC i j k AB AC i j 6k A 9 6 Svar: A 5 ae 5 ae Rättningsmall: Korrekt AB AC ger p Allt korrekt=p Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) i 6 Låt z i Skriv talet z på a bi form i i i i ( i ) ( i) i i 6 ( i)( i) 5 5i z i i i i i (i) Sida av

4 Svar: i Rättningsmall: Korrekt korrekt=p i 6 i ger +p Korrekt i 5 5i i ger +p Allt Uppgift 4 (5p) a) (p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A (,, ) som är parallell med vektorerna p = (,, ) och q (,,) Ange planets ekvation på formen ax by cz d n pq(,, 6) x y 6z d, insättning av punkten A ger d 5 Svar: Planets ekvation: xy6z5 Rättningsmall: Rätt eller fel b) (p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x y z 4 som har kortast avstånd till punkten B (4,5,4) Linjen L genom B vinkelrät mot planet skär planet i punkten som ligger närmast B Linjen L har ekvationen ( x, y, z) (4,5,4) t(,,) som ger tre skalära ekvationer: x 4 t, y 5 t och z 4 t För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation x y z 4 och får 4 t (5 t) (4 t) 4 Härav t 4t 4t 8, och t Skärningspunkten har följande koordinater x 4 t, y 5 4 och z 4 4 Svar: (,, ) Rättningsmall: Korrekt ekvation för linjen L ger p Allt korrekt =p c) (p) Den räta linjen L går genom punkterna P (,, ) och Q (,,) Linjen L går genom punkterna R (,,6) och S (,,5 ) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L och L Linjernas ekvationer på parameterform: Sida 4 av

5 r PQ (,, ) och r RS (,, ) x t x t L: y t, L : y t z z 6t x x t t y y t t z z 6t t 4 som ger t skärningspunkt :(4,4,) Svar: (4,4,) Rättningsmall: Rätta ekvationer för L och L på parameterform ger p Allt rätt =p Uppgift 5 (4p) a) (p) Lös matrisekvationen A X BX C (med avseende på X) där A, B, C AX BX C ( AB) X C ( AB) ( AB) X ( AB) C EX ( A B) C X ( A B) C AB, ( ), AB X Rättningsmall: Korrekt inversen Allt korrekt ger p ( A B ) ger p 5 b) (p) Bestäm matrisen Y om Y 5 Notera att matrisen saknar invers y () y y 5 y y 5 () y y 5 y y y y y y 5 y 5y y Sida 5 av

6 Insättning av y och y i () och () ger: y y som alltid gäller y t och y s 5y y 5 där t och s är godtyckliga reella parametrar y y t 5s y y t s Rättningsmall: Korrekt till systemet Allt korrekt =p y y y y 5 y y y y 5 ger p Uppgift 6 (p) En konstant kraft på N, som är parallell med vektorn v (,, ), förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A (,, ) till punkten B (,, 5) och därefter från punkten B till punkten C (4, 4,) Beräkna det totala utförda arbetet En konstant kraft på N, som är parallell med vektorn v (,, ), förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A (,, ) till punkten B (,, 5) och därefter från punkten B till punkten C (4, 4,) Beräkna det totala utförda arbetet v (,, ) Kraften: F 4(,, ) (4, 8, 8) v Arbetet: W FABFBC (4, 8, 8) (,, ) (4, 8, 8) (,, 6) 4 6 J Rättningsmall: Korrekt (,, ) F ger p Allt korrekt=p Uppgift 7 (p) Bestäm spegelbilden av punkten P (, 6, ) i linjen ( x, y, z) ( t, t, t) Metod Låt O=(,,) Beteckna med S den sökta spegelbilden av punkten P Låt Q vara den punkt på linjen L som ligger närmast punkten P Då är Q mittpunkten av sträckan PS (se figuren nedan) Sida 6 av

7 Först bestämmer vi punkten Q Planet som går genom punkten P (, 6, ) vinkelrät mot linjen L skär linjen i punkten Q Linjens riktningsvektor r (,, ) kan användas som planets normalvektor Planets ekvation är ( x ) ( y 6) ( z ) eller x y z 8 För att få Q löser vi systemet x t y t z t x y z 8 som ger t=, x=, y=5 och z= 4 Därmed är Q (,5, 4) Nu kan vi bestämma vektorn PQ ( ) och därmed QS PQ ( ) Slutligen OS OQ QS (,5, 4) ( ) (,4, 5) och därmed S (,4, 5) Svar: S (,4, 5) Rättningsmall: Korrekt punkten Q (,5, 4) ger p Allt korrekt=p Metod (Projektion) En punkt i linjen P (,, ) Linjens riktningsvektor är r (,, ) P L P Q S O Sida 7 av

8 Projektionen av vektor u PP (,5, ) på linjen är ur 6 u PQ r (,, ) (,, ) (,4, 4) r 9 Eftersom PP PQ QP har vi QP PP PQ eller, QP (, 5, ) (, 4, 4) (,, ) Spegelpunkten S uppfyller OS OP PS OP QP (, 6, ) (,, ) OS (, 6, ) (,, ) (, 4, 5) och därmed S (,4, 5) Rättningsmall: Rätt bestämning av vektorn QP = (,,)ger p Allt korrekt=p Uppgift 8 (p) Det komplexa talet z i är en lösning till ekvationen z 7z z6 Bestäm alla lösningar Anmärkning: Här finns ett tryckfel i ekvationen ( det skulle stå z 7z z6 ) som vi upptäcker under lösningsproceduren Om en algebraisk ekvation har reella koefficienter och en komplex lösning z i då är z i också en lösning till ekvationen Då blir ekvationen delbart med ( z z)( z z) ( z i)( z i) ( z ) z z Polynomdivision ger (z 7z z 6) /( z z ) z (z 4z 4z) z 6z 6 (z 6z 6) Vi har kvar att lösa z som ger z / Svar: z i, z i, z / Rättningsmall: p för korrekt till ( z z)( z z) z z p om allt är korrekt Uppgift 9 (p) Sida 8 av

9 Låt ABC vara en triangel Vi betecknar med A, B, C mittpunkter på BC, AC och AB Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA och BB Bevisa att AT AT (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet : ) C B T A A C B a) Vi söker talet x så att och talet y så att BT y BB Vidare betecknar vi a AB och b på två olika sätt: x AA AT och b AC och uttrycker AT som en linjär kombination av a x x i) AT x AA x( AB BA) x( a ( b a)) a b (*) Andra sätt att beräkna vektorn AT : Vi går genom punkten B ii) AT AB BT AB y BB a y( BA AB) a y( a b) ( y) a Från (* ) och (**) har vi x x y a b ( y) a b eller ( om vi skriver a, b på var sin sida) y b (**) x y x ( y ) a ( ) b (***) Eftersom a, b är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är uppfyllda x y och y x Från y x har vi x y x som vi substituerar i y och får x x x x Sida 9 av

10 Därför y x Alltså, vi har fått AT x AA AA och y BB BB BT Därmed / delar av medianen AA ligger mellan hörnet A och T och / mellan T och sidans mittpunkten A Alltså T delar AA i förhållandet : Rättningsmall p för korrekt bevis med dålig förklaring p om beviset är korrekt (med bra förklaring) Sida av