Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Transkript

1 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) , kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas så långt som möjligt. Betygsgränser: 8 FX 9-2 E 3-5 D 6-8 C 9-2 B A Du som är godkänd på KS hoppar över uppgifter -2 Du som är godkänd på KS2 hoppar över uppgifter 3-4 Du som är godkänd på KS3 hoppar över uppgifter 5-6 (obs: detta gäller bara för dem som skrivit KSar undet VT09) Lycka till! Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

2 KS: godkända på KS hoppar över uppgifter -3. Beräkna arean av parallellogrammet som uppspänns av vektorerna u = (, 2, 3) och (p) v = (2,, 0). 2. Bestäm ekvationen för linjen som är vinkelrät mot planet 2x + 3y z = 3 och som (p) går genom punkten P 0 = (,, ). 3. Bestäm alla x för vilka x 3 > x 2. (p) KS2: godkända på KS2 hoppar över uppgifter 4-5 { 3x, x 5 4. Funktionen f(x) = är given. Bestäm f(x). πe, x = 5 x 5 5. Bestäm dy dx i punkten (, ) då x2 y + 2y 3 = 3. (p) (2p) KS3: godkända på KS3 hoppar över uppgifter 6-7 sin(x ) 6. Bestäm. (p) x ln x 7. Bestäm (x )e x dx. (2p) 8. Bestäm om följande ekvationssystem: (p) 2x + y = 3 z + 3 = x x + y + z = 0 har en entydig lösning. 9. Bestäm eventuella asymptoter till f(x) = 2x3 (2 + x)3x 2 (2p) 0. Följande matriser är givna : (2p) A = ( ) 0 Bestäm X som uppfyller AX = B + A X. ; B = ( ) 0 3. Bestäm cos[arctan(3)] (2p) Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

3 2. Bestäm 2 3 x 2 dx. 3. Bestäm det minsta avståndet mellan linjerna (3p) x = t + x = t + l : y = 2t + och l 2 : y = t + 2. z = 3t + 2 z = t + 3 x 4. Bestäm 2x 3 2x 2 dx. Till hjälp visas grafen till funktionen + x (3p) y = 2x 3 2x 2 + x i figuren nedan: 5 (2p) Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

4 Lösningsförslag till tentamen i matematik HF KS:. Arean kan beräknas som beloppet av kryssprodukten mellan de givna vektorerna: i j k räknar kryssprodukten: u v = 2 3 = ( 3, 6, 3) 2 0 bestämmer beloppet: u v = ( 3) ( 3) 2 = 54 = 3 6 Svar: 3 6 a.e. 2. Planens normalvektor (2, 3, ) kan tas som linjens riktingsvektor och då kan linjens ekvation skrivas direkt: KS2: Svar: vektorform parameterform parameterfritt form x = + 2t x P = (,, ) + t(2, 3, ) y = + 3t = y = z 2 3 z = t { { 3. x 3 > x 2 x 3 > x 2, om x 3 x > 6, om x 3 3 x > x 2, om x < 3 x < 6, om x < 3 Svar: x > 6 x > Funktionen är uppenbarligen diskontinuerlig i x = 5 och dess värde i x = 5 bär därför ingen information om gränsvärdet när x 5 f(x) = 3x = 3x = 5 x Den snabbaste vägen är implicit derivering: d dx (x2 y + 2y 3 ) = d dx 3 produktregel {}}{ 2xy + x 2 dy dx +2 dy dx = 2xy x 2 + 6y 2 x 5 x 5 Svar: 5 kedjeregel {}}{ 3y 2 dy dx = 0 dy ( x 2 + 6y 2) = 2xy dx Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

5 Det återstår bara att bestämma detta i punkten (, ): dy dx = 2 (,) 7 Svar: 2 7 KS3: 6. Gränsvärdet är av typen 0 0 därför är de L Hôpital-regeln lämplig. Studerar gränsvärdet av kvoten av derivatorna: som existerar och är ändligt, därför: cos(x ) x = x sin(x ) cos(x ) = x ln x x x = Svar: 7. Integralen är ett typiskt partiell-integrerings fall: låt: (x )e x dx = f = e x f = e x g = (x ) g = (x )ex = e x dx = (x 2)e x + C Svar: (x 2)e x + C 8. Ekvationsystemet har en entydig lösning om och bara om determinanten av koefficientmatrisen är skilt från noll: = 2 0 = 2 0 Svar: Ja, ekvationssystemet har entydig lösning Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

6 9. Kollar eventuella horisontella asymptoter: Gränsvärden för x + och x ska studeras: x + x 2x 3 (2 + x)3x 2 = 2x 3 ( ) 2x 3 x + 3x 3 ( 2 x + ) = 2 3 (under) 2x 3 (2 + x)3x 2 = 2x 3 ( ) 2x 3 x 3x 3 ( 2 x + ) = 2 3 (ovan) Kollar eventuella vertikala asymptoter: Gränsvärden för x 0 och x 2 ska studeras: x 0 : 2x 3 x 0 + (2 + x)3x 2 = 2x 3 x 0 (2 + x)3x 2 = x 2 : 2x 3 x 2 + (2 + x)3x 2 = 2x 3 x 2 (2 + x)3x 2 = + ( ) 0 + ( 0 + ) ( ) ( 9 0 ) Svar: linjen y = 2 3 är en horisontell asymptot, linjen x = 2 samt y-axeln är vertikala asymptoter 0. X bestäms av matrisekvationen: AX = B + A X (A A )X = B X = (A A ) B. () Alternativt kan man skriva : AX = B + A X A 2 X = AB + X X = (A 2 ) AB. (2) Väljer att använda ekv. (): ( ) ( ) bestämmer A 0 0 = = (specialfall av adjoint regel) det(a) ( ) då är A A 2 = 2 och igen, med adjoint regel för en 2 2 matris: (A A ) = ( ) bestämmer X = (A A ) B = ( ) ( ) = ( ) Svar: X = 3 ( ) 2 5 Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

7 . Cosinus av den vinkeln β som har tangens 3 ska bestämmas. Från figuren nedan triangeln är uppbyggd så att framgår att cos[arctan(3)] = 0 B = tan β = resten härleds c a b A! 90 C Svar: Funktionen 3 är ej definierad i x = 0 som tillhör integreringsintervall. x 2 Då är: b 3 dx = 3 dx + b 0 2 x 2 2 x 2 3 dx, omm båda integraler på HL a 0 + a x 2, annars Studerar: och b b 0 2 a 0 + a 3 x 2 3 x 2 båda gränsvärden existerar och är ändliga, därför: [ ] dx = 3 3 b x = b 0 2 [ ] dx = 3 3 x = 3 a 0 + a 2 3 x 2 dx = = 3( + 3 2) Svar: 3( + 3 2) Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

8 P P P 2 d = r r 2 r P P 2 r r 2 r 2 P 2 3. r = (, 2, 3) är riktingsvektorn till l och r 2 = (,, ) är riktingsvektorn till l 2. Avståndet d mellan linjerna (se figuren) bestäms genom att ta två godtyckliga punkter P och P 2 på l resp. l 2 och genom att projecera vectorn P P 2 längs riktingen som är vinkelrät till båda linjerna: d = r r 2 P P 2 r r 2 Väljer P (,, 2) och P 2 (, 2, 3) P P 2 = (0,, ) i j k r r 2 = 2 3 = (, 2, ) r r 2 6 r r 2 = (, 2, ) 6 d = r r 2 P P 2 r r 2 = 6 (0,, ) = 6 Svar: 6 6 l.e. 4. Faktoriseringen av nämnaren kan göras på följande vis: Från grafen framgår att x = är ett nollställe till 2x 3 2x 2 + x. Detta betyder att 2x 3 2x 2 + x = (x )q(x) med q(x) = 2x3 2x 2 + x. x I detta fall kan vi dock undvika polynomdivisionen genom att notera att: 2x 3 2x 2 + x = 2x 2 (x ) + x = (x )(2x 2 + ) Efter faktorisering och förenkling är integralen som ska bestämmas: 2x 2 + dx Denna integral kan reduceras till den kända integralen dx = arctan x + C via x 2 + Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti

9 en enkel variabelsubstitution: t = 2x 2x 2 + dx = dx = dt = t 2 + dt = 2 arctan t + C = = 2 2 arctan( 2x) + C Svar: 2 2 arctan( 2x) + C Tentamen HF90, DD-DP08, M. Colarieti-Tosti