Kontrollskrivning KS1T

Transkript

1 Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger 2 poäng. För godkänt krävs 8 poäng av maximala 16. Kursen innehåller fyra kontrollskrivingar. KS1T Teoretisk KS på kursens första del KS1D KS i Datorsal på kursens första del KS2D Teoretisk KS på kursens andra del KSD KS i Datorsal på kursens andra del Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 1. Bestäm den tredjegradsekvation som har rötterna x 1 = 1 x 2 = 2 i x = 2 + i Problem 2. Sök den allmänna lösningen till differentialekvationen y = x2 + 2 y Problem. Sök den räta linje som enligt minsta kvadratmetoden bäst anpassar de tre punkterna x 5 8 y Problem 4. Bestäm med hjälp av Newton-Raphson s metod den rot till ekvationen ( x 2 sinx + 1 = 0 2 som ligger i intervallet [,5]. Roten ska ges med korrekta decimaler. Problem 5. Sök den allmänna lösningen till differentialekvationen y 2y + 2y = 0 Problem 6. Lös differentialekvationen { y + 2y x = cos x y(π = 0 Problem 7. Bestäm de första tre termerna, 0, i MacLaurin-utvecklingen av funktionen Problem 8. Bestäm det största värdet y = a b + c b f(x = xe x + ab ac c2 bc kan ha då a =.0 ± 0.2, b = 2.0 ± 1.0 och c = 1.8 ± 0.2 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Formelblad Newton-Raphson. x n+1 = x n f(x n f (x n Iterera tills x n och x n+1 överensstämmer med det antal decimaler som efterfrågas. Fakta om komplexa tal z används ofta som symbol för ett komplext tal. För det komplexa talet z = a + ib skrivs realdelen Rez = a och imaginärdelen Imz = b. Det komplexa talet z = a + ib kan beskrivas i det komplexa talplanet där den imaginära axeln sammanfaller med y-axeln och den reella axeln med x-axeln. Ett tal skrivet på formen z = a + ib kallas kartesisk form. Ett komplext tal kan också skrivas på polär form. z = re iθ, där r kallas beloppet och θ kallas argumentet. Om vi utgår från z = a + ib så är r = z = a 2 + b 2 argz = arctan b a Figur 1: Talet z = a+ib har konjugatet z = a ib, som vi redan använt vid definitionen av division Multiplikation av två tal på polär form z 1 z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 arg(z a z 2 = arg(z 1 + arg(z 2 = θ 1 + θ 2 Minsta kvadratmetoden Svaret ges genom att lösa ekvationssystemet Trapetsregeln b a z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 A t Ax = A t b f(xdx = h (f(a + 2f(a + h + 2f(a + 2h f(b h + f(b 2 Håkan Strömberg KTH Syd

4 Simpsons regel b a f(xdx = h (f(a + 4f(a + h + 2f(a + 2h + 4f(a + h f(b h + f(b Taylors formel f(x = f(a + x a f (a + 1! MacLaurins formel Splines Dessa villkor ska gälla (x a2 f (a ! (x an f (n 1 (a + R n (x n! f(x = f(0 + x 1! f (0 + x2 2! f ( xn n! f(n 1 (0 + R n (x S i (x i = y i S i 1 (x i = y i S i (x i = S i 1 (x i S i (x i = S i 1 (x i S 0 (x 0 = 0 S n(x n = 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Lösningar Svar 1. Svar: x + 5x 2 + 9x + 5 = 0 Svar 2. (x + 1(x + 2 i(x i = 0 (x + 1(x 2 + 2x + ix + 2x i ix 2i i 2 = 0 (x + 1(x 2 + 4x = 0 (x + 1(x 2 + 4x + 5 = 0 x + 4x 2 + 5x + x 2 + 4x + 5 = 0 x + 5x 2 + 9x + 5 = 0 y = x2 + 2 y y dy dx = x2 + 2 ydy = x 2 + 2dx 2x Svar: y = ± + 4x + 2C Svar. Vi ska bestämma k och m i y 2 2 = x + 2x + C y 2 = 2x + 4x + 2C y = ± + 4x + 2C 2x y = kx + m A t = A t Ax = A t b ger ( ( A = ( k m x = = ( k m ( b = eller { 98k + 16m = k + m = 48 som har lösningen k = och m = 0. Svar: y = x Svar 4. ( f(x = x 2 sinx För att lösa ekvationen med Newton-Raphson behövs f (x ( 1 f (x = x 2 cos x + 2x 2 + sin x Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Vi får nu x 2 n sin x n + 1 x n+1 = x n ( 2 x 2 ncosx n + 2x 1 n 2 + sinx n Vi väljer startvärdet x 0 = 4. (Observera att alla startvärden från det givna intervallet inte leder till den önskade roten. Vi får nu Efter tre iterationer har vi fått x.665 Svar: x.665 x x x Svar 5. Den karaktäristiska ekvationen till DE är Vilket ger lösningen Svar: y(x = e x (C 1 sinx + C 2 cosx y 2y + 2 = 0 m 2 2m + 2 = 0 m = 1 ± 1 2 m = 1 ± i m 1 = 1 + i m 2 = 1 i Svar 6. g(x = 2 x som ger G(x = 2lnx. Den integrerande faktorn är då IE = e 2ln x = e ln x2 = x 2 y + 2y x = cosx x (y 2 + 2y x = x 2 cos x x 2 y + 2xy = x 2 cosx x 2 y + 2xydx = x 2 cosxdx x 2 y = x 2 cosxdx Vi klarar x 2 cosxdx med upprepad partiell integrering u v dx = u v u vdx x 2 cosxdx x 2 sin x 2x sin x dx x 2 sin x (2x( cos x 2cosxdx x 2 sin x (2x( cos x (2sin x + C (x 2 2 sin x + 2x cosx + C Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Vi återgår till vår ekvation och får Då y(π = 0 får vi som ger C = 2π Svar: x 2 y = (x 2 2 sin x + 2x cos x + C y(x = (x2 2 sin x + 2x cosx + C x 2 0 = 0 2π + C π 2 y(x = (x2 2 sin x + 2x cosx + 2π x 2 Svar 7. Utvecklingen vi söker är f(x = f(0 + f (x x 1! + f (x x2 2! + f (x x! +... Eftersom f(0 = 0 behöver vi åtminstone till och med :e derivatan av f(x Insatt i formeln får vi Svar: f(x = xe x f(0 = 0 f (x = e x xe x = e x (1 x f (0 = 1 f (x = e x e x (1 x = e x (2 x f (0 = 2 f (x = e x + e x (2 x = e x ( x f (0 = f(x = x x 2 + x 2... Svar 8. Vi startar med att förenkla uttrycket. y = a b + c ab ac c2 + b bc y = ac bc + c2 ab ac c2 + bc bc y = ac + c2 + ab ac c 2 bc Svar: y = 2 y = a c ymax = = 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd