Tentamen. Matematik 2 Kurskod HF1003. Skrivtid 8:15-12:15. Fredagen 13 mars Tentamen består av 3 sidor. Maple samt allt tryckt material

Transkript

1 Tentamen Matematik 2 Kurskod HF1003 Skrivtid 8:15-12:15 Fredagen 13 mars 2009 Tentamen består av 3 sidor Maple samt allt tryckt material Korrekt löst uppgift ger 2 poäng. För godkänt krävs 16 poäng. Varje godkänd KS ger 4 poäng. De 8 första uppgifterna är indelade i fyra grupper, en för varje KS. Du kan inte erhålla poäng från en grupp för vilken du klarat motsvarande KS. Betygsskala: Från Till Betyg 0 14 F Fx E D C B A I till tentamenskontot hörande mapp finns Tentamensmaterial.pdf. Förutom lektionsanteckningar finns i slutet KS:ar och formelblad. Korrekt svar, utan redovisad lösning, leder alltid till 2 poäng, men ju mer du redovisar av en uppgift, desto större möjlighet har du att vid felaktigt svar få 1 poäng på uppgiften. Redovisa i första hand dina lösningar på papper. Hänvisa härifrån till Maple-dokument eller annan fil som du lagrar i tentamensmappen. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Uppgift 1-2. Endast för dig som inte klart KS1T Problem 1. p 1 (x) och p 2 (x) är två andragradspolynom. Ekvationen p 1 (x) = 0 har rötterna x 1,2 = 2±4i. Ekvationen p 2 (x) = 0 har rötterna x 1,2 = 2±i. Lös ekvationen p 1 (x) = p 2 (x) Problem 2. Lösningen till differentialekvationen x 2 y + x y + x 2 y = 0 då y(0) = 1 och y (0) = 0 är en en så kallad Bessel-funktion, som är definierad i Maple. Bestäm ett närmevärde till y(10) Uppgift 3-4. Endast för dig som inte klart KS1D Problem 3. En spline-funktion ges genom { a1 x B(x) = 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 1 x 2 a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x + d 2 2 x 3 Bestäm exakt de åtta koefficienterna a 1...d 1,a 2...d 2 då B(x) går genom (1,2), (2,1) och (3,4) Problem 4. Punkterna x y ligger alla på grafen till ett femtegradspolynom vilket? Uppgift 5-6. Endast för dig som inte klart KS2T Problem 5. Om två hädelser A och B sådana att P(A) = 0.5 och P(B) = 0.3 och P(A B) = 0.1. Bestäm a) P(A B) b) P(B A) c) P(A A B) d) P(A A B) e) P(A B A B) 3 4 rätt ger 1 poäng. Problem 6. I en urna finns 10 bollar, varav 3 är röda och 7 är vita. Man tar ur urnan 3 bollar utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att man får åtminstone en röd boll bland dessa? Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Uppgift 7-8. Endast för dig som inte klart KS2D Problem 7. En SV X har frekvensfunktionen 1 f X (x) = b a a x b 0 annars där E(X) = 7 och V(X) = 12. Bestäm a och b Problem 8. En fabrik tillverkar stålkulor men en diameter som är normalfördelade X N(3.0005, ). För att en stålkula ska godkännas för vidare leverans krävs att diametern har måttet ± De kulor som inte klarar denna kontroll måste kasseras. Hur många procent av produktionen måste kasseras? Uppgift För alla Problem 9. En maskin som förpackar apelsinjuice, kan ställas in så att den fyller en förpackning med µ dl. Om påfyllningen är normalfördelad X N(µ, 0.3), vilken ska inställningen av µ då vara för att endast 1% av förpackningarna kommer att innehålla mer än 8 dl. Problem 10. Man vill för µ = 0 och σ = 1 approximera f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 med g(x), som är de fyra första termerna, skilda från 0, i funktionen f(x) MacLaurinutveckling. Beräkna som en kontroll och jämför med korrekta resultatet 1 0 g(x) dx 1 0 N(0,1)dx Problem 11. En funktion f(x) är ett polynom av tredje graden. Vidare är f(0) = 4 ett maximum, f( 1) = 0 samt f(1 + h) f(1) lim = 3 h 0 h Bestäm funktionen Problem 12. Givet ett stickprov X 1,X 2...X 10 där X i N(µ,σ) och där både µ och σ är okända Bestäm ett 94% konfidensintervall för µ. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Lösningar Svar 1. Först bestämmer vi det två polynomen. I steg två löser vi ekvationen expand((x+2+4*i)*(x+2-4*i)); x^2+4x+20 expand((x-2+i)*(x-2-i)); x^2-4x+5 solve(x^2+4*x+20=x^2-4*x+5); -15/8 Svar: x = 15 8 Svar 2. Med Maple dsolve({x^2*diff(y(x),x$2)+x*diff(y(x),x)+x^2*y(x)=0, y(0)=1,(d(y))(0)= 0}); y(x) = BesselJ(0, x) evalf(besselj(0, 10)); altervativt f:=dsolve({x^2*diff(y(x),x$2)+x*diff(y(x),x)+x^2*y(x)=0, y(0)=1,(d(y))(0)= 0},numeric); f(10); Svar: y(10) Svar 3. som ger spline([1,2,3],[2,1,4],x,cubic) { x 3 3x 2 + x x 2 x 3 + 9x 2 23x x Figur 1: Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Svar 4. Med Maple with(statistics); x:=vector([0,1,-2,3,4,-5]); y:=vector([-1,0,-63,182,819,-3906]); Fit(a*t^5+b*t^4+c*t^3+d*t^2+e*t+f,x,y,t); t^5-t^4+t^3-t^2+t-1 Svar: p(x) = x 5 x 4 + x 3 x 2 + x 1 Svar 5. Svar 6. Med Maple Figur 2: a) P(A B) = P(A B) P(B) = = 1 3 b) P(B A) = P(A B) P(A) = = 1 5 c) P(A A B) = P(A (A B)) 0.5 P(A B) = = 5 7 d) P(A A B) = P(A (A B)) P(A B) = = 1 e) P(A B A B) = P((A B) (A B)) P(A B) = = 1 7 f:=(x)->binomial(3,x)*binomial(7,3-x)/binomial(10,3) sum(f(x),x=1..3); Svar: Svar 7. Vi bestämmer först symboliskt E(X) Vi kan nu bestämma V(X) b a b a x b a dx = a + b 2 ( x a + b ) 2 (a b)2 dx = 2 12 Vi får då ekvationssystemet Som har lösningen a = 1 och b = 13 a + b 2 (a b) 2 12 = 7 = 12 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Svar 8. Med hjälp av Maple får vi direkt de två sannolikhetsmassorna, som vi sedan adderar a1:=statevalf[cdf,normald[3.0005,0.001]](2.998); a2:=1-statevalf[cdf,normald[3.0005,0.001]](3.002); a1+a2; Andelen stålkulor med för stor diameter är betydligt större än de med för liten. Borde kunna gå att efterbearbeta dem. Svar: 7.3% Svar 9. Vi har att lösa ekvationen (x m) 2 2π e dx = 0.99 f:=proc(m,s,x)->1/(s*sqrt(2*pi)*exp(-(1/2)*(x-m)^2/s^2); evalf(solve(int(f(m,0.3,x),x=-infinity..8)=0.99)); Svar: Ställ in µ på 7.3 dl Svar 10. Med Maple series(exp(-(1/2)*x^2)/sqrt(2*pi),x=0,7); f:= proc (x)->sqrt(2)*(1/2-(1/4)*x^2+(1/16)*x^4-(1/96)*x^6)/sqrt(pi) evalf(int(f(x),x=0..1)); with(stats); statevalf[cdf,normald[0,1]](1)-statevalf[cdf,normald[0,1]](0); Svar: Approximationen ger till skillnad från det korrekta Svar 11. Med Maple f:=proc(x)->a*x^3+b*x^2+c*x+d solve({f(0)=4,f (0)=0,f(-1)=0,f (x)=-3}); {c=0,b=-3,a=1,d=4} f(x) = x 3 3x Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Svar 12. Med Maple m:=[181.6,175.6,186.1,173.0,184.1,184.2,188.4,181.3,187.7,166.1]; with(stats); describe[mean](m); describe[standarddeviation[1]](m); statevalf[icdf, studentst[9]](0.003); statevalf[icdf, studentst[9]](0.970); evalf( ( * )/sqrt(10)); evalf( ( * )/sqrt(10)); Svar: [175.9,185.7] Håkan Strömberg 7 KTH Syd