15.1 Mer om betingad sannolikhet

Transkript

1 15.1 Mer om betingad sannolikhet Exempel 1. En vanlig tärning kastas Låt A tärningen visar 1 Låt B tärningen visar ett udda poängantal Bestäm P(A). Bestäm P(A B), det vill säga: Hur stor är sannolikheten att man kastat en 1:a när man får reda på att tärningen visar ett udda antal ögon? P(A) 1 6 P(A B) P(A B) 1 3 När vi vet att B har inträffat ökar sannolikheten för att A ska inträffa. Exempel 2. En tärning kastas 2 gånger. Låt A första tärningen visar 5 Låt B andra tärningen visar 2 Bestäm och P(B A) 1 6 P(B A) P(A B) Vi vet nu att P(B A). Det faktum att vi vet att A inträffat, påverkar inte sannolikheten för B. A och B är oberoende händelser. Exempel 3. Två tärningar kastas Låt A ögonsumman är udda Låt B ögonsumman 9 Låt C ögonsumman 7 a) Är A och B oberoende?. b) Är A och C oberoende? Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 15.1. MER OM BETINGAD SANNOLIKHET Figur 15.1: Lösning a):. Svar: NEJ Lösning b):. Svar: NEJ P(A) P(A B) 16 P(A) P(C) 21 P(A C) 12 P(A)P(C) Exempel 4. Om ett inbrott äger rum en natt ringer tjuvlarmet med sannolikheten Om inget inbrott görs ringer larmet med sannolikheten Antag att sannolikheten är att ett inbrott inträffar en viss natt. En natt ringer tjuvlarmet. Vad är den betingade sannolikheten att ett inbrott skett? Låt A inbrott har skett, B larmet går. P(A B) P(A B) P(A)P(B A) Exempel 5. På en arbetsplats skadades 1% av personalen under ett år. 60% av de skadade var män. 30% av de anställda var kvinnor. Vilket kön löper störst skaderisk och hur stor är denna risk? Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Givet P(skadad man) P(man skadad) P(man) P(skadad) 0.01 P(man skadad) 0.6 P(kvinna skadad) 0.4 P(man) 0.7 P(kvinna) 0.3 P(skadad) P(man skadad) P(man) P(skadad kvinna) P(skadad)P(kvinna skadad) P(kvinna) Exempel 6. För två oberoende händelser A och B gäller att P(A) 0.05, En person påstår att P(A B) Är detta rätt eller fel? P(A B) P(A) + P(A B) A och B oberoende P(A B) P(A). P(A B) P(A) + P(A) Personen hade fel! Exempel 7. Adam lägger tre kort i en hatt. Kort 1 är rött på båda sidorna, kort 2 är vitt på båda sidorna och kort 3 är rött på ena sidan och vitt på andra. Bertil drar ett kort och tittar på den ena sidan som är röd. Vad är sannolikheten att den andra sidan är röd? Vanlig men FELAKTIG Vi har en röd sida. Det utesluter kort 2. Bertil har alltså dragit något av de övriga korten. Om Bertil dragit kort 1 är baksidan röd med sannolikheten 1. Om Bertil dragit kort 3 är baksidan röd med sannolikheten 0. P(Baksidan röd Framsidan röd) KORREKT Lösning Vi tittar på någon av de tre röda sidorna, var och en med sannolikheten 1 3. P(Baksidan röd Framsidan röd) Exempel 8. Antag att varje komponent i systemen nedan (figur 15.2), fungerar med sannolikheten p och att komponenterna fungerar oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att systemen fungerar? P(A) p p p 2 1 P( B) 1 (1 p) 2 1 (1 2 + p 2 2p) 2p p 2 P(C) p 2p 2 p 3 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 15.1. MER OM BETINGAD SANNOLIKHET Figur 15.2: Exempel 9. Ett slumpmässigt försök kan ofta ses som en upprepning av n likadana delförsök, där händelserna i dessa delförsök är oberoende. Vi säger att vi gör n oberoende upprepningar av ett delförsök. Vad är sannolikheten att få exakt 3 ettor vid ett kast med 5 tärningar? De 5 kasten är oberoende. Låt A en etta erhålls vid ett kast med en tärning. Låt A 3 exakt tre ettor vid kast med fem tärningar. P(A 3 ) ( 5 3 )( 1 6 ) 3 ( ) Exempel 10. Ett instrument, som består av två komponenter A och B, fungerar endast då båda komponenterna är hela. Vid en laboration tar 4 instrument fram. En komponent A är sönder med sannolikheter 0.2. En komponent B är sönder med sannolikheter 0.3. Beräkna sannolikheten att minst två instrument fungerar. (De 8 komponenterna antas oberoende.) A komponent A är hel B komponent B är hel P(godtyckligt instrument fungerar) P(A) P(minst två är trasiga) 1 P(högst en är trasig) 1 ( Exempel 11. Givet vägnät. Ibland på vintern snöar vägarna igen. ( ) ) Låt E1 vägen mellan A och B är framkomlig, P(E1) 2 5 Låt E2 vägen mellan A och C är framkomlig, P(E2) 3 4 Låt E3 vägen mellan B och C är framkomlig, P(E3) 2 3 P(E3 E2) 4 5 P(E1 E2 E3) 1 2 Vad är sannolikheten att resan A C B går att genomföra? Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Figur 15.3: Vad är sannolikheten att man kan ta sig från A till B? Vilken resväg skall väljas för att maximera sannolikheten att ta sig från A till B? a) P P(E2 E3) P(E2) P(E3 E2) b) P P(E1 (E2 E3)) P(E1) + P(E2 E3) P(E1 (E2 E3)) P(E1) P(E2 E3) P(E2 E3) P(E1 E2 E3) c) P direkt P(E1) 2 5 P via C P(E2 E3) Exempel 12. A och B är oberoende händelser. B är dubbelt så sannolik som A. A B är utfallsrummet. Beräkna P(A) Givet A och B oberoende 2P(A) 2x P(A B) 1 Sökt P(A) ger där och vi får ekvationen P(A B) P(A) + P(A B) 1 x + 2x P(A B) P(A B) {A,B, oberoende} P(A) x 2x 2x 2 1 x + 2x 2x 2 med rötterna x 1 1 och x Vi testar lösningarna x 1 1 P(A) 1 2 ORIMLIGT Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 15.1. MER OM BETINGAD SANNOLIKHET x P(A) P(A B) 1 P(A B) 1 2 Håkan Strömberg 6 KTH Syd