Definition. Antag att 0. Sannolikheten för A om B har inträffat betecknas, kallas den betingade sannolikheten och beräknas enligt följande

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Definition. Antag att 0. Sannolikheten för A om B har inträffat betecknas, kallas den betingade sannolikheten och beräknas enligt följande"

Transkript

1 BETINGD SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OBEROENDE HÄNDELSER BETINGD SNNOLIKHET Definition ntag att 0 Sannolikheten för om B har inträffat beteknas, kallas den betingade sannolikheten oh beräknas enligt följande (f Förklaring: B nta att B redan har hänt Då är "alla möjliga fall" de element som ligger i B Vi kan betrakta B som ett nytt utfallsrum Händelsen händer i detta fall endast om resultat hamnar i Därför Exempel Låt P ( 0 3, P ( 0 oh P ( 0 5 Bestäm sannolikheten för om vi vet att B har hänt Med andra ord bestäm P ( Från formeln har vi P ( 0 0 Därför P ( Svar: P ( 0 5 Från ovanstående formel (f får vi följande viktiga relationer B oh kan användas för beräkning av sannolikheten för snittet För tre händelser har vi B B av 5

2 Exempel I en låda finns 6 röda (R oh gröna (G kulor Man tar en kula på måfå oh upprepar dragningen 3 gånger utan återlämning Vad är sannolikheten att få resultat i följande ordning a R, G, R b G, G,G G, R,G d R,R,RR 6 5 a R G R R G R R R G = b G G G G G G G G G = d ====== ========= ========= ======== ========= ========= ===== DEN TOTL SNNOLIKHETEN Låt där är disjunkta händelser Sannolikheten för en e händelse B kan beräknas enligt följande formel: n i n i i B i i n i B ( Lagen om total sannolikhet i i Sannolikheten för givet attt B har hänt är k k k B n i k P ( B i k i Exempel 3 Ett företag som tillverkar glödlampor har tillverkningen förlagt till tre olikaa fabriker Fabrik står för 0%, fabrik B för 35 %, oh fabrik för 5% av tillverkningen, Man vet att en av 5

3 glödlampa från fabriken är defekt med 8% sannolikhet Motsvarande felsannolikhet för fabrik B är % oh % för fabrik Man har blandat glödlampor från de tre fabrikerna i ett stort entralt lager a Peter tar på måfå en glödlampa från lagret Vad är sannolikheten att glödlampan är defekt b nna tar på måfå en glödlampa ur lagret oh finner att den är defekt Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik B? Betekning: D = En lampa är defekt, K = En lampa är korrekt = En lampa har tillverkats i fabrik, B =En lampa har tillverkats i fabrik B = En lampa har tillverkats i fabrik a Den totala sannolikheten att lampan är defekt är D D D D b Sannolikheten att en defekt lampa tillverkats i fabriken B är B D D P ( B D =055=55% D D 0075 Svar: a 0075 b 055 ====================================================== OBEROENDE HÄNDELSER Definition Två händelser oh B är oberoende om oh endast om ================================================= Förklaring nta att 0 oh P ( B 0 Då är det enkelt att bevisa följande relation B Detta kan tolkas på följande sätt: Om (oh endast om då är sannolikheten för om B har hänt lika med sannolikheten om B inte har hänt Med andra ord händelsen beror ej om B har hänt Exempel Låt P ( 0, P ( 0 5 oh P ( 0 8 Bestäm om oh B är oberoende händelser För att avgöra om oh B är oberoende kontrollerar vi om kravet i definitionen är uppfyllt Först bestämmer vi med hjälp av formeln P ( P ( 0 3 av 5

4 Nu beräknar vi vänster- oh högerledet i kravet : VL= = 0 HL= P ( 0 lltså oh B är INTE oberoende eftersom Vi kan säga att oh B är beroende Egenskaper för två oberoende händelser nta att oh B är oberoende dvs Då gäller i B oh symmetriskt B B ii B B,, B B Med andra ord, om oh B är oberoende då är : oh okså oberoende händelser B, B oh samt oh Exempel 5 Låt oh B vara oberoende händelser oh P ( 0, P ( 0 Bestäm a b B d, e B a P ( 0 08 b P ( B B ( d e P ( B B Tre eller flera oberoende händelser Begreppet "oberoende händelser" för tre eller flera händelser kan definieras på liknande sätt: Definition Vi säger att,, n är oberoende om följande gäller i i ik i i ik oavsett vilka k händelser i,, i ik vi plokar ut bland händelserna,, n För tre händelser, som speiellt fall av ovanstående definition, har vi följande definition Definition Tre händelser, B oh är oberoende om följande krav är uppfyllda: B B B av 5

5 Det är enkelt att bevisa följande egenskap: Om, B oh är oberoende så är okså gäller för B,,,, oh, B,, B, oberoende (Samma Erfarenhet visar att om händelser är oberoende i ordets vanlig mening, får vi rimliga resultat om vi betraktar händelserna som oberoende i sannolikhetsteorins mening {dvs i sådana fall kan vi använda formeln P } ( i i ik i i ik Beräkning av sannolikheten för unionen av oberoende händelser Låt,, n vara oberoende händelser Då gäller ( enligt De Morgans lagar n n Därför (oberoende händelser = n P n n P n Exempel 6 I nedanstående system fungerar komponenter K, K, K3, K oberoende av varandra med sannolikheterna 0, 0, 03 respektive 0 Hela systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan oh B Bestäm sannolikheten att systemet a, b fungerar a seriekopplade komponenter b parallellkopplade komponenter Lösning a Systemet fungerar om alla komponenter fungerar: P ( K K K3 K (oberoende händelser P ( K K K3 K b Systemet fungerar om minst en väg mellan oh B fungerar: 5 av 5

6 Först beräknar vi sannolikheten att ingen väg fungerar: K K K3 K = (oberoende händelser K K K3 K minst en väg fungerar= ingen vägg fungerar dvs K K K3 K K K K3 K Svar: a 0 00 b ====== ========= ========= ======== ========= ========= ===== ÖVNINGSUPPGIFTER: För de två händelserna oh B gäller att 07, B 03oh 05 a Rita mängddiagram oh bestäm b Bestäm ( oh förklara om oh B ärr oberoendee händelser a Från P ( B har vi B 0 b Vi säger att oh B är oberoende händelser om P ( Från har vi Eftersom B 0 oh ser vi att oh B är oberoende händelser 6 av 5

7 Svar a B 0 b oh B är oberoende händelser För händelserna oh B gäller B 0, 06 ohh 08 Bestäm a (, b P (, B d B e vgör om ohh B är oberoende händelser a BB b B B B B B B d B (De Morgans lag ( B ( (De Morgans lagar e 0, oh B är beroende händelser eftersom B 7 av 5

8 3 För händelserna oh B gäller B 0, oh 0 5 oh UB 08 a Bestäm B b vgör om oh B är oberoende händelser? Svar a =05 Svar b Nej oh 0 För händelserna oh B gäller 0, oh a Bestäm P ( b Bestäm [ B ] 05 oh B 08 a 0 Detta substituerar vi i formeln P ( b B B [ B ] Oberoende händelserna, B oh inträffar med följande sannolikheter: = =03, =0 oh = 08 Bestäm sannolikheten att a ingenn av, B oh inträffar, b alla tre inträffar exakt en av, B, inträffar a ingen av, B oh inträffar = B 8 av

9 b alla tre inträffar = P ( B exakt en av, B, inträffar= B B B Svar a 0 08 b Låt, B oh vara oberoende händelser som inträffar med sannolikheterna P ( 05, P ( 0 oh P ( 0 Bestäm sannolikheterna för följande händelser: a Ingen av, B, inträffar b Minst en av, B, inträffar Exakt en av, B, inträffar d Exakt två av, B, inträffar e lla tre händelser, B oh inträffar f Minst två av, B, inträffar g Högst två av, B, inträffar h oh B men inte inträffar a Ingen av, B, inträffar= P ( B [oberoende händelser] B bhändelsen " Minst en av, B, inträffar" är komplement till händelsen " Ingen av, B, inträffar " Därför Minst en av, B, inträffar= Ingen av, B, inträffar =076 lternativ: Minst en av, B, inträffar= P ( B ( B B P B ( B ( B Exakt en av, B, inträffar= ( notera att B, ( B = P B B B oh ( B är tre disjunkta mängder = ( oberoende händelser B B =06 d B = 06 e =00 f Minst två av, B, inträffar =exakt två inträffar + exakt tre inträffar = 06+00=030 g Högst två av, B, inträffar= ingen inträffar+ exakt en inträffar+ exakt två inträffar= =096 h =06 9 av 5

10 7 Vad är sannolikheten att det blir kontakt mellan punkterna P oh P i nedanstående shema om reläkontakterna x, y, z oh w slutes med sannolikheterna 0, 0, 06 resp 08 oh händelserna attt de olika kontakterna sluts är oberoende Vi har kontakt mellan punkterna P oh P om minst en väg fungerar oh dessutom kontakten w är sluten Väg fungerar om både x, y är slutna v x y 008 v z 06 Sannolikheten för [( Väg eller Väg oh W] är då p ( v v v v w= = I nedanstående system fungerar komponenter K, K, K3, K oberoende o av varandra, med sannolikheterna 090, 085, 080 respektive 075 Hela systemet fungerar om det finnss minst en fungerande väg mellan oh B Bestäm sannolikheten att systemet fungerar K K K K K3 B K Väg fungerar med sannolikheten v=k*k= 0765 Väg fungerar med sannolikheten v=k3= =080 Väg3 fungerar med sannolikheten v3=k= =075 Ingenn väg fungerar = q= ( v( v( v3= 0075 Sannolikheten att minst en väg fungerar är - Ingen väg fungerar = 0075=09885 Svar av 5

11 9 I figuren ovan är a, b,, d oh e kontakter, som är slutna (oberoende av varandra med sannolikheterna 08, 07, 06, 05 respektive 0 Beräkna sannolikheten att a ingenn lampa lyser, b exakt en lampaa lyser a P M =e=0, PL=ab=056 P K =D==03 ingenn lampa lyser =(- PM M (- P L (- P K = 088 b exakt en lampa lyser = P M *(- P L *(- P K + (- PM * P L *(-- P K + (- P M *(- P L = Vad är sannolikheten att det blir kontakt mellan punkterna E ohh F i nedanstående shema om reläkontakternaa a,b,, d, e, f oh g slutes, oberoende av varandra med sannolikheterna 0, 0, 03, 0, 05, 06, resp 0 7 P K Blok B: av 5

12 v v a b 00 d 0 b v v v v = 0376 Blok B: v v 3 e 05 f g 0 3 b v v v v = 07 p= b b Svar : Sannolikheten att det blir kontakt mellan punkterna E oh F är p= Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har tillverkningen förlagt i fyra olika fabriker Fabrik står för 0 % av tillverkningen, fabrik B 30 %, fabrik 0%, fabrik D 0% Sannolikheten för att ett batteri från fabrik är korrekt är 95 % Motsvarande sannolikheten för ett korrekt batteri från B är 90 %, från 85 % oh från D 70 % Man köper ett batteri oh finner att det är korrekt Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik? korrekt=00* *090+00*085+00*070= 089 (den totala sannolikheten för korrekt korrekt korrekt 09 korrekt 089 Svar : 09 Ett företag som tillverkar batterier har tillverkningen förlagd till fyra olika fabriker Fabrik står för 0% av tillverkningen, fabrik B %, fabrik 33% oh fabrik D 35% Man vet att ett batteri från fabrik har 75 % sannolikhet att räka mer än 0 drifttimmar Motsvarande sannolikheter för fabrikerna B oh oh D är 80 %, 85 % respektive 90 % Man har blandat batterier från de fyra fabrikerna i ett stort entralt lager a Vad är sannolikheten att ett batteri som tas på måfå ur lagret skall räka mer än 0 drifttimmar b Man tar på måfå ett batteri ur lagret oh finner att det räker mer än 0 drifttimmar Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik? a korrekt= = 085 (total sannolikhet av 5

13 b korrekt = Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 99% av fallen för smittat blod oh negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod v erfarenhet vet man att irka % av alla prover som genomförs har smittat blod Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat? Låt S vara händelsen att blodprovet är verkligen smittat Låt O vara händelsen att blodprovet är verkligen osmittat Låt POS vara händelsen att blodprovet ger positivt utslag Låt NEG vara händelsen att blodprovet ger negativt utslag Blod smittat 00 osmittat 098 positivt utslag 099 negativt utslag 00 positivt utslag 005 negativt utslag 095 Då gäller: Den totala sannolikheten för positivt utslag är POS S POS S O POS O Härav POS S S POS S P ( S POS POS POS Svar: 88% Sannolikheten för att en person har en viss sjukdom beror på åldern För hela befolkningen gäller: (p Ålder del av befolkningen har sjukdomen med sannolikheten 0-7 år % 0,00 8-0år 7% 0,05-60 år 30% 0, % 0,050 3 av 5

14 Beräkna sannolikheten för att en slumpmässigt vald person som har sjukdomen är mellan 8 oh 0 år : En person är 8 0, B : En person är sjuk Sökt : 0,70,05 0,55 0,0,00 0,70,05 0,300,030 0,0,050 ============================================== Några exempel med statistisk kontroll: 5 Vid en statistisk mottagningskontroll skall man avvisa eller aeptera inkommande partier om 0 enheter vardera Man använder följande tvåstegsförfärande Först väljs enheter på måfå ur partiet Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet Om ingen är defekt väljer man på måfå ut ytterligare 0 enheter bland de återstående Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet, i annat fall aepteras det Vad är sannolikheten att avvisa ett parti som innehåller defekta enheter? Metod : avvisa=-aeptera= -Test OK*(Test OK Test OK = Svar : Metod : avvisa= avvisa I Test + avvisa i Test= -Test OK + Test OK*(-Test OK TEST: alla korrekta i Test=p= 0 av 5

15 5 av 5 minst en defekt i Test=-alla korrekta i Test= 0 TEST: p= minst en defekt i Test betingat att alla är korrekta i TEST= ( 0 Sannolikheten att avvisa ett parti är p+p= ( 0 0 ( Svar: ( 0 0 ( 6 Vid en statistisk mottagningskontroll skall man avvisa eller aeptera inkommande partier om enheter vardera Man använder följande tvåstegsmetod Först väljs 3 enheter på måfå ur partiet Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet Om ingen är defekt väljer man på måfå ut ytterligare bland de återstående 9 Om högst en av dessa är defekt så aepteras partiet Vad är sannolikheten att aeptera ett parti som innehåller defekta (oh 8 korrekta enheter? Vi beteknar T = partiet aepteras vid första steget (lla tre enheter korrekta T = partiet aepteras vid andra steget ( Högst en defekt Partiet aepteras om det passerar båda steg ( ( ( T T P T P T T P Svar:

Förklaring:

Förklaring: rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR ETIND SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OEROENDE HÄNDELSER ETIND SNNOLIKHET Defnton ntag att 0 Sannolkheten för om har nträffat betecknas, kallas den betngade sannolkheten och beräknas

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 9 nov 7 Ten i kursen HF ( Tidigare kn 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Ten i kursen 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 3:5-7:5 Lärare: Armin Halilovic

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004, TEN 06-06-0 Hjälpmedel: Formler oh tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall vara

Läs mer

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOMBINATORIK I kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av antalet sätt på vilket element i en given lista kan arrangeras i dellistor. Centrala frågor i kombinatoriken är: " Bestäm antalet..."

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel uwe.menzel@slu.se 23 augusti 2017 Slumpförsök Ett försök

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp

TAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet

Läs mer

F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att

F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att Stat. teori gk, ht 2006, JW F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.3-4.4) Ordlista till NCT Complement rule Addition rule Conditional probability Multiplication rule Independent Komplementsatsen Additionssatsen Betingad

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

Betingad sannolikhet och oberoende händelser Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, 1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +

Läs mer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)

Läs mer

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00 KONTROLLSKRIVNING 1 Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna hjälpmedel:

Läs mer

LABORATION SPÄNNING, STRÖM OCH RESISTANS

LABORATION SPÄNNING, STRÖM OCH RESISTANS LABORATION SPÄNNING, STRÖM OCH RESISTANS Starta simuleringsprogrammet: https://phet.colorado.edu/sims/html/circuitconstruction-kit-dc/latest/circuit-construction-kit-dc_sv.html Välj menyval Introduktion.

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00 KONTROLLSKRIVNING 1 Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna hjälpmedel:

Läs mer

S0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist

S0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist Föreläsning 1 4.1 Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med

Läs mer

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 juni 8 Ten i ursen HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF ( Tidigare n 6H3), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF4, (Tidigare

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker

Läs mer

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de

Läs mer

Föreläsning 1. Grundläggande begrepp

Föreläsning 1. Grundläggande begrepp Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

3 Grundläggande sannolikhetsteori

3 Grundläggande sannolikhetsteori 3 Grundläggande sannolikhetsteori Ämnet sannolikhetsteori har sin grund i studier av hasardspel utförda under 1500- och 1600-talen av bland andra Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat och Blaise Pascal. Mycket

Läs mer

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B. Kapitel 1 Mängdlära Begreppet mängd är fundamentalt i vårt tänkande; en mängd är helt allmänt en samling av objekt, vars antal kan vara ändligt eller oändligt. I matematiken kallas dessa objekt mängdens

Läs mer

Kombinatorik och sannolikhetslära

Kombinatorik och sannolikhetslära Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i

Läs mer

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel

Läs mer

TMS136. Föreläsning 2

TMS136. Föreläsning 2 TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast

Läs mer

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få Tentamen TEN, HF, aug 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 8:-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken

Läs mer

Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19

Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Nancy Abdallah Chalmers - Göteborgs Universitet March 25, 2019 1 / 36 1. Inledning till sannolikhetsteori 2. Sannolikhetslagar 2 / 36 Lärare

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde

Läs mer

5. BERÄKNING AV SANNOLIKHETER

5. BERÄKNING AV SANNOLIKHETER 5. BERÄKNING V SNNOLIKHETER 5.1 dditionssatsen Viharnukommitframtilldetstegdärvikanbörjaatträknapraktisktmed sannolikheter. Vi skall utveckla olika regler och begrepp som är nödvändiga för att praktiskt

Läs mer

15.1 Mer om betingad sannolikhet

15.1 Mer om betingad sannolikhet 15.1 Mer om betingad sannolikhet Exempel 1. En vanlig tärning kastas Låt A tärningen visar 1 Låt B tärningen visar ett udda poängantal Bestäm P(A). Bestäm P(A B), det vill säga: Hur stor är sannolikheten

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:

Läs mer

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Sannolikhetslära 19 februari 009 Vad är en sannolikhet? I vardagen: Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Borde jag ta paraply med mig till jobbet idag? Vad är sannolikheten att det kommer

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Reliability analysis in engineering applications Fredrik Carlsson Sannolikhetsteorins grunder Fördelningar och stokastiska variabler Extremvärdesfördelningar Simulering Structural Engineering - Lund University

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Kap 2: Några grundläggande begrepp

Kap 2: Några grundläggande begrepp Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de

Läs mer

PROV ELLÄRA 27 oktober 2011

PROV ELLÄRA 27 oktober 2011 PRO EÄR 27 oktober 2011 Tips för att det ska gå bra på provet. Skriv ÖSNINGR på uppgifterna, glöm inte ENHETER och skriv lämpligt antal ÄRDESIFFROR. ycka till! Max 27p G 15p 1. (addning - G) Två laddningar

Läs mer

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng)

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng) Övningstentamen Uppgift : Vid ett experiment kan en händelse A, en händelse B eller både A och B inträffa. I en serie om 00 försök har man sammanställt följande statistik: i 90 fall har minst en av A eller

Läs mer

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,

Läs mer

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14 1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 24 april 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 24 april 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 4 april 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:

Läs mer

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive

Läs mer

Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik

Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten

Läs mer

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 2012-10-03 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och

Läs mer

Föresläsningsanteckningar Sanno II

Föresläsningsanteckningar Sanno II Föresläsningsanteckningar 1 Gammafunktionen I flera av våra vanliga sannolikhetsfördelningar ingår den s.k. gamma-funktionen. Γ(p) = 0 x p 1 e x dx vilken är definierad för alla reella p > 0. Vi ska här

Läs mer

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar

Läs mer

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00 KONTROLLSKRIVNING 1 version A Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 21.01.2016 1 / 39 Lärandemål Betingad

Läs mer

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Stabilitet Fasporträtt AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen y F( y) (ekv) (eller

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns

Läs mer

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra

Läs mer

1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss?

1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss? 1 ÖVNINGAR I INDUKTIV LOGIK 1.1 En tärning kastas. Ange sannolikheten för att antalet ögon är a) 3 b) inte 3 c) 3 eller 5 d) jämnt e) mindre än 4 f) jämnt och mindre än 4 g) jämnt eller mindre än 4 h)

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

7. NÅGRA SPECIELLA DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR

7. NÅGRA SPECIELLA DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 7. NÅGRA SPECIELLA DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR Några sannolikhetsfördelningar förekommer ofta i tillämpade problem. Eftersomdeförekommeroftahardefåttspeciellanamn. Idettakapitelskallvi studera två

Läs mer

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13 Tentamen TEN, HF, aug 7 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: :-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken

Läs mer

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000 Datum: okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H Moment: TEN ( Matematisk Statistik ) Lärare: Armin Halilovic Skrivtid: 8:5-:5 Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang

Läs mer

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2 Tentamen TMV20 Inledande Diskret Matematik, D/DI2 208-0-27 kl. 4.00 8.00 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anton Johansson, telefon: 5325 (alt. Peter Hegarty 070-5705475)

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter : F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är

Läs mer

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori

Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori Grunder i matematik och logik (2017) Uppgifter 6: Kombinatorik och sannolikhetsteori Marco Kuhlmann Kombinatorik Nivå A 6.01 En meny består av tre förrätter, fem huvudrätter och två efterrätter. På hur

Läs mer

7-2 Sammansatta händelser.

7-2 Sammansatta händelser. Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON NORMLPPROXIMTION FÖR SNNOLIKHETEN FÖR TT FELKTIGT HNTERDE RÖSTER PÅVERKR MNDTFÖRDELNINGEN SVNTE JNSON OCH SVNTE LINUSSON. Inledning ntag att det är nästan jämnt mellan två partier och B vid fördelningen

Läs mer

1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5

1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5 1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, 2016-04-01 OCH ÖVNING 2, 2016-04-04 SAMT INFÖR ÖVNING 3 Övningarnas mål: Du ska förstå grundläggande

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.

Läs mer

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Resträkning och ekvationer

Resträkning och ekvationer 64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser

Läs mer

TDP015: Lektion 5 - Svar

TDP015: Lektion 5 - Svar TDP015: Lektion 5 - Svar 11 maj 015 1. Huvudsaken här är att det spelar roll vilket initialvärde vi har. Nedan har jag valt beräkningar som slutar när f(x) < ɛ, där ɛ 10 10. Detta behöver ni såklart inte

Läs mer