Definition. Antag att 0. Sannolikheten för A om B har inträffat betecknas, kallas den betingade sannolikheten och beräknas enligt följande

Transkript

1 BETINGD SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OBEROENDE HÄNDELSER BETINGD SNNOLIKHET Definition ntag att 0 Sannolikheten för om B har inträffat beteknas, kallas den betingade sannolikheten oh beräknas enligt följande (f Förklaring: B nta att B redan har hänt Då är "alla möjliga fall" de element som ligger i B Vi kan betrakta B som ett nytt utfallsrum Händelsen händer i detta fall endast om resultat hamnar i Därför Exempel Låt P ( 0 3, P ( 0 oh P ( 0 5 Bestäm sannolikheten för om vi vet att B har hänt Med andra ord bestäm P ( Från formeln har vi P ( 0 0 Därför P ( Svar: P ( 0 5 Från ovanstående formel (f får vi följande viktiga relationer B oh kan användas för beräkning av sannolikheten för snittet För tre händelser har vi B B av 5

2 Exempel I en låda finns 6 röda (R oh gröna (G kulor Man tar en kula på måfå oh upprepar dragningen 3 gånger utan återlämning Vad är sannolikheten att få resultat i följande ordning a R, G, R b G, G,G G, R,G d R,R,RR 6 5 a R G R R G R R R G = b G G G G G G G G G = d ====== ========= ========= ======== ========= ========= ===== DEN TOTL SNNOLIKHETEN Låt där är disjunkta händelser Sannolikheten för en e händelse B kan beräknas enligt följande formel: n i n i i B i i n i B ( Lagen om total sannolikhet i i Sannolikheten för givet attt B har hänt är k k k B n i k P ( B i k i Exempel 3 Ett företag som tillverkar glödlampor har tillverkningen förlagt till tre olikaa fabriker Fabrik står för 0%, fabrik B för 35 %, oh fabrik för 5% av tillverkningen, Man vet att en av 5

3 glödlampa från fabriken är defekt med 8% sannolikhet Motsvarande felsannolikhet för fabrik B är % oh % för fabrik Man har blandat glödlampor från de tre fabrikerna i ett stort entralt lager a Peter tar på måfå en glödlampa från lagret Vad är sannolikheten att glödlampan är defekt b nna tar på måfå en glödlampa ur lagret oh finner att den är defekt Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik B? Betekning: D = En lampa är defekt, K = En lampa är korrekt = En lampa har tillverkats i fabrik, B =En lampa har tillverkats i fabrik B = En lampa har tillverkats i fabrik a Den totala sannolikheten att lampan är defekt är D D D D b Sannolikheten att en defekt lampa tillverkats i fabriken B är B D D P ( B D =055=55% D D 0075 Svar: a 0075 b 055 ====================================================== OBEROENDE HÄNDELSER Definition Två händelser oh B är oberoende om oh endast om ================================================= Förklaring nta att 0 oh P ( B 0 Då är det enkelt att bevisa följande relation B Detta kan tolkas på följande sätt: Om (oh endast om då är sannolikheten för om B har hänt lika med sannolikheten om B inte har hänt Med andra ord händelsen beror ej om B har hänt Exempel Låt P ( 0, P ( 0 5 oh P ( 0 8 Bestäm om oh B är oberoende händelser För att avgöra om oh B är oberoende kontrollerar vi om kravet i definitionen är uppfyllt Först bestämmer vi med hjälp av formeln P ( P ( 0 3 av 5

4 Nu beräknar vi vänster- oh högerledet i kravet : VL= = 0 HL= P ( 0 lltså oh B är INTE oberoende eftersom Vi kan säga att oh B är beroende Egenskaper för två oberoende händelser nta att oh B är oberoende dvs Då gäller i B oh symmetriskt B B ii B B,, B B Med andra ord, om oh B är oberoende då är : oh okså oberoende händelser B, B oh samt oh Exempel 5 Låt oh B vara oberoende händelser oh P ( 0, P ( 0 Bestäm a b B d, e B a P ( 0 08 b P ( B B ( d e P ( B B Tre eller flera oberoende händelser Begreppet "oberoende händelser" för tre eller flera händelser kan definieras på liknande sätt: Definition Vi säger att,, n är oberoende om följande gäller i i ik i i ik oavsett vilka k händelser i,, i ik vi plokar ut bland händelserna,, n För tre händelser, som speiellt fall av ovanstående definition, har vi följande definition Definition Tre händelser, B oh är oberoende om följande krav är uppfyllda: B B B av 5

5 Det är enkelt att bevisa följande egenskap: Om, B oh är oberoende så är okså gäller för B,,,, oh, B,, B, oberoende (Samma Erfarenhet visar att om händelser är oberoende i ordets vanlig mening, får vi rimliga resultat om vi betraktar händelserna som oberoende i sannolikhetsteorins mening {dvs i sådana fall kan vi använda formeln P } ( i i ik i i ik Beräkning av sannolikheten för unionen av oberoende händelser Låt,, n vara oberoende händelser Då gäller ( enligt De Morgans lagar n n Därför (oberoende händelser = n P n n P n Exempel 6 I nedanstående system fungerar komponenter K, K, K3, K oberoende av varandra med sannolikheterna 0, 0, 03 respektive 0 Hela systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan oh B Bestäm sannolikheten att systemet a, b fungerar a seriekopplade komponenter b parallellkopplade komponenter Lösning a Systemet fungerar om alla komponenter fungerar: P ( K K K3 K (oberoende händelser P ( K K K3 K b Systemet fungerar om minst en väg mellan oh B fungerar: 5 av 5

6 Först beräknar vi sannolikheten att ingen väg fungerar: K K K3 K = (oberoende händelser K K K3 K minst en väg fungerar= ingen vägg fungerar dvs K K K3 K K K K3 K Svar: a 0 00 b ====== ========= ========= ======== ========= ========= ===== ÖVNINGSUPPGIFTER: För de två händelserna oh B gäller att 07, B 03oh 05 a Rita mängddiagram oh bestäm b Bestäm ( oh förklara om oh B ärr oberoendee händelser a Från P ( B har vi B 0 b Vi säger att oh B är oberoende händelser om P ( Från har vi Eftersom B 0 oh ser vi att oh B är oberoende händelser 6 av 5

7 Svar a B 0 b oh B är oberoende händelser För händelserna oh B gäller B 0, 06 ohh 08 Bestäm a (, b P (, B d B e vgör om ohh B är oberoende händelser a BB b B B B B B B d B (De Morgans lag ( B ( (De Morgans lagar e 0, oh B är beroende händelser eftersom B 7 av 5

8 3 För händelserna oh B gäller B 0, oh 0 5 oh UB 08 a Bestäm B b vgör om oh B är oberoende händelser? Svar a =05 Svar b Nej oh 0 För händelserna oh B gäller 0, oh a Bestäm P ( b Bestäm [ B ] 05 oh B 08 a 0 Detta substituerar vi i formeln P ( b B B [ B ] Oberoende händelserna, B oh inträffar med följande sannolikheter: = =03, =0 oh = 08 Bestäm sannolikheten att a ingenn av, B oh inträffar, b alla tre inträffar exakt en av, B, inträffar a ingen av, B oh inträffar = B 8 av

9 b alla tre inträffar = P ( B exakt en av, B, inträffar= B B B Svar a 0 08 b Låt, B oh vara oberoende händelser som inträffar med sannolikheterna P ( 05, P ( 0 oh P ( 0 Bestäm sannolikheterna för följande händelser: a Ingen av, B, inträffar b Minst en av, B, inträffar Exakt en av, B, inträffar d Exakt två av, B, inträffar e lla tre händelser, B oh inträffar f Minst två av, B, inträffar g Högst två av, B, inträffar h oh B men inte inträffar a Ingen av, B, inträffar= P ( B [oberoende händelser] B bhändelsen " Minst en av, B, inträffar" är komplement till händelsen " Ingen av, B, inträffar " Därför Minst en av, B, inträffar= Ingen av, B, inträffar =076 lternativ: Minst en av, B, inträffar= P ( B ( B B P B ( B ( B Exakt en av, B, inträffar= ( notera att B, ( B = P B B B oh ( B är tre disjunkta mängder = ( oberoende händelser B B =06 d B = 06 e =00 f Minst två av, B, inträffar =exakt två inträffar + exakt tre inträffar = 06+00=030 g Högst två av, B, inträffar= ingen inträffar+ exakt en inträffar+ exakt två inträffar= =096 h =06 9 av 5

10 7 Vad är sannolikheten att det blir kontakt mellan punkterna P oh P i nedanstående shema om reläkontakterna x, y, z oh w slutes med sannolikheterna 0, 0, 06 resp 08 oh händelserna attt de olika kontakterna sluts är oberoende Vi har kontakt mellan punkterna P oh P om minst en väg fungerar oh dessutom kontakten w är sluten Väg fungerar om både x, y är slutna v x y 008 v z 06 Sannolikheten för [( Väg eller Väg oh W] är då p ( v v v v w= = I nedanstående system fungerar komponenter K, K, K3, K oberoende o av varandra, med sannolikheterna 090, 085, 080 respektive 075 Hela systemet fungerar om det finnss minst en fungerande väg mellan oh B Bestäm sannolikheten att systemet fungerar K K K K K3 B K Väg fungerar med sannolikheten v=k*k= 0765 Väg fungerar med sannolikheten v=k3= =080 Väg3 fungerar med sannolikheten v3=k= =075 Ingenn väg fungerar = q= ( v( v( v3= 0075 Sannolikheten att minst en väg fungerar är - Ingen väg fungerar = 0075=09885 Svar av 5

11 9 I figuren ovan är a, b,, d oh e kontakter, som är slutna (oberoende av varandra med sannolikheterna 08, 07, 06, 05 respektive 0 Beräkna sannolikheten att a ingenn lampa lyser, b exakt en lampaa lyser a P M =e=0, PL=ab=056 P K =D==03 ingenn lampa lyser =(- PM M (- P L (- P K = 088 b exakt en lampa lyser = P M *(- P L *(- P K + (- PM * P L *(-- P K + (- P M *(- P L = Vad är sannolikheten att det blir kontakt mellan punkterna E ohh F i nedanstående shema om reläkontakternaa a,b,, d, e, f oh g slutes, oberoende av varandra med sannolikheterna 0, 0, 03, 0, 05, 06, resp 0 7 P K Blok B: av 5

12 v v a b 00 d 0 b v v v v = 0376 Blok B: v v 3 e 05 f g 0 3 b v v v v = 07 p= b b Svar : Sannolikheten att det blir kontakt mellan punkterna E oh F är p= Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har tillverkningen förlagt i fyra olika fabriker Fabrik står för 0 % av tillverkningen, fabrik B 30 %, fabrik 0%, fabrik D 0% Sannolikheten för att ett batteri från fabrik är korrekt är 95 % Motsvarande sannolikheten för ett korrekt batteri från B är 90 %, från 85 % oh från D 70 % Man köper ett batteri oh finner att det är korrekt Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik? korrekt=00* *090+00*085+00*070= 089 (den totala sannolikheten för korrekt korrekt korrekt 09 korrekt 089 Svar : 09 Ett företag som tillverkar batterier har tillverkningen förlagd till fyra olika fabriker Fabrik står för 0% av tillverkningen, fabrik B %, fabrik 33% oh fabrik D 35% Man vet att ett batteri från fabrik har 75 % sannolikhet att räka mer än 0 drifttimmar Motsvarande sannolikheter för fabrikerna B oh oh D är 80 %, 85 % respektive 90 % Man har blandat batterier från de fyra fabrikerna i ett stort entralt lager a Vad är sannolikheten att ett batteri som tas på måfå ur lagret skall räka mer än 0 drifttimmar b Man tar på måfå ett batteri ur lagret oh finner att det räker mer än 0 drifttimmar Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik? a korrekt= = 085 (total sannolikhet av 5

13 b korrekt = Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 99% av fallen för smittat blod oh negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod v erfarenhet vet man att irka % av alla prover som genomförs har smittat blod Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat? Låt S vara händelsen att blodprovet är verkligen smittat Låt O vara händelsen att blodprovet är verkligen osmittat Låt POS vara händelsen att blodprovet ger positivt utslag Låt NEG vara händelsen att blodprovet ger negativt utslag Blod smittat 00 osmittat 098 positivt utslag 099 negativt utslag 00 positivt utslag 005 negativt utslag 095 Då gäller: Den totala sannolikheten för positivt utslag är POS S POS S O POS O Härav POS S S POS S P ( S POS POS POS Svar: 88% Sannolikheten för att en person har en viss sjukdom beror på åldern För hela befolkningen gäller: (p Ålder del av befolkningen har sjukdomen med sannolikheten 0-7 år % 0,00 8-0år 7% 0,05-60 år 30% 0, % 0,050 3 av 5

14 Beräkna sannolikheten för att en slumpmässigt vald person som har sjukdomen är mellan 8 oh 0 år : En person är 8 0, B : En person är sjuk Sökt : 0,70,05 0,55 0,0,00 0,70,05 0,300,030 0,0,050 ============================================== Några exempel med statistisk kontroll: 5 Vid en statistisk mottagningskontroll skall man avvisa eller aeptera inkommande partier om 0 enheter vardera Man använder följande tvåstegsförfärande Först väljs enheter på måfå ur partiet Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet Om ingen är defekt väljer man på måfå ut ytterligare 0 enheter bland de återstående Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet, i annat fall aepteras det Vad är sannolikheten att avvisa ett parti som innehåller defekta enheter? Metod : avvisa=-aeptera= -Test OK*(Test OK Test OK = Svar : Metod : avvisa= avvisa I Test + avvisa i Test= -Test OK + Test OK*(-Test OK TEST: alla korrekta i Test=p= 0 av 5

15 5 av 5 minst en defekt i Test=-alla korrekta i Test= 0 TEST: p= minst en defekt i Test betingat att alla är korrekta i TEST= ( 0 Sannolikheten att avvisa ett parti är p+p= ( 0 0 ( Svar: ( 0 0 ( 6 Vid en statistisk mottagningskontroll skall man avvisa eller aeptera inkommande partier om enheter vardera Man använder följande tvåstegsmetod Först väljs 3 enheter på måfå ur partiet Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet Om ingen är defekt väljer man på måfå ut ytterligare bland de återstående 9 Om högst en av dessa är defekt så aepteras partiet Vad är sannolikheten att aeptera ett parti som innehåller defekta (oh 8 korrekta enheter? Vi beteknar T = partiet aepteras vid första steget (lla tre enheter korrekta T = partiet aepteras vid andra steget ( Högst en defekt Partiet aepteras om det passerar båda steg ( ( ( T T P T P T T P Svar: