Reliability analysis in engineering applications

Transkript

1 Reliability analysis in engineering applications Fredrik Carlsson Sannolikhetsteorins grunder Fördelningar och stokastiska variabler Extremvärdesfördelningar Simulering Structural Engineering - Lund University 1

2 DEFINITIONER Låt oss tänka oss ett kast med en tärning! Utfallsrum (sample space): S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Utfall (sample point): Ett utfall, s i utfalls rummet S, s Є S, tex. s=2 Händelse (event): En händelse, A är en delmängd av utfallsrummet. tex. A>4 Structural Engineering - Lund University 2

3 DEFINITIONER Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar. Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå en sexa? P(Att med en tärning slå en sexa)=p(a)=1/6 Tex. vad är sannolikheten, P att med en tärning slå mer än 4? P( A>4)=2/6=1/3 Structural Engineering - Lund University 3

4 Venn-diagram Utfallsrummet Grundmängden Händelsen A; A inträffar A Delmängden, A Komplementära händelsen A c till A; A inträffar inte A A c Komplementet A c till A Structural Engineering - Lund University 4

5 Venn-diagram Unionshändelsen A U B; A eller B eller båda inträffar A B Unionen A U B Snitthändelsen A B; både A och B inträffar A B Snittet A B; A och B är oförenliga händelser, A och B kan inte inträffa samtidigt A B A och B är disjunkta (Mutually excluding) Structural Engineering - Lund University 5

6 Mer om sannolikhet: Låt A vara en händelse i utfallsrummet S. 0 P(A) 1 A s P(S) = 1 Structural Engineering - Lund University 6

7 Betrakta två disjunkta händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna. P(A U B)=P(A)+P(B) A B Det innebär att: A B = Ø Ø är den tomma mängden (omöjlig händelse P(A B) = 0 Structural Engineering - Lund University 7

8 Betrakta två händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna. P(A U B)=P(A)+P(B)- P(A B) A B Structural Engineering - Lund University 8

9 Oberoende och beroende händelser A och B är oberoende om: P(A B) =P(A)*P(B) A och B är beroende om: P(A B) P(A)*P(B) Structural Engineering - Lund University 9

10 Exempel: Kast med en tärning Är A och B oberoende? A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6} B = { Att slå en 2 eller 3 } = { 2, 3} Structural Engineering - Lund University 10

11 Exempel: Kast med en tärning Är A och B oberoende om P(1,3,4,5,6)=0,15 och P(2)=0,25? A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6} B = {Att slå en 2 eller 3} = {2, 3} Structural Engineering - Lund University 11

12 Exempel: Räddningsstation Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande sannolikheter? P(Ett larm under måndagen) P(Ett larm på måndagen och tisdagen) P(Exakt ett larm under veckan) P (Exakt tre larm under veckan) Structural Engineering - Lund University 12

13 P (Exakt tre larm under veckan) Möjlighet: MÅN TIS ONS TORS FRE LÖR SÖN Structural Engineering - Lund University 13

14 Binomialfördelningen Låt oss anta att vi gör ett n antal oberoende försök. Varje försök har sannolikheten p att lyckas. En viktig frågeställning är, vad är sannolikheten att lyckas med P(K=k) försök av n gjorda försök. Structural Engineering - Lund University 14

15 Binomialfördelningen P( K n k = k) = pk = p k 1 n k ( p) n k = n! k!( n k)! n: antal försök p: sannolikheten att lyckas k: antalet lyckade försök P(K=k): sannolikheten för k lyckade försök Structural Engineering - Lund University 15

16 Fortsättning: Räddningsstationen Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande sannolikheter? P(Exakt ett larm under veckan) P (Exakt tre larm under veckan) Structural Engineering - Lund University 16

17 Betingad sannolikhet: Låt oss betrakta två händelser: A och B Sannolikheten att B inträffar givet att A har inträffat betecknas P(B A) P(B A) = P(A B) / P(A) Structural Engineering - Lund University 17

18 Exempel: Betingad sannolikhet. Penna: Färg: R R R S S S S S Hårdhet: H H M H H H M M A={Röd penna väljes} B={Det är en hård penna} Structural Engineering - Lund University 18

19 Penna: Färg: R R R S S S S S Hårdhet: H H M H H H M M P(A)=3/8 P(B)=5/8 Vad är sannolikheten att välja en röd hård penna P(A B)? Vad är sannolikheten att välja en hård penna givet att den är röd P(B A)? Structural Engineering - Lund University 19

20 Om A och B är oberoende händelser: P(B A)=P(A B)/P(A)=(P(A)*P(B))/P(A)=P(B) Kunskapen om sannolikheten att A inträffar påverkar inte sannolikheten att B inträffar Structural Engineering - Lund University 20

21 Kast med en tärning, där N är antalet prickar: Vad är sannolikheten att N<3 då vi vet att N är udda? Structural Engineering - Lund University 21

22 S Satsen om: Total sannolikhet A 1 A 2 A 4 A 3 A 1 A 4 är partitioner av S, dvs. P(A 1 U A 2 U A 3 U A 4 )=P(A 1 )+ P(A 2 )+ P(A 3 )+ P(A 4 )=1 Structural Engineering - Lund University 22

23 S Satsen om: Total sannolikhet A A B 2 A 4 1 A 3 P(B)=P(BIA 1 )P(A 1 )+ P(BIA 2 )P(A 2 )+ P(BIA 3 )P(A 3 )+ P(BIA 4 )P(A 4 ) Structural Engineering - Lund University 23

24 Bestäm sannolikheten för händelsen B, att ett elavbrott sker under en dag. Under ett normalår stormar det 20 dagar och det är åska 2 dagar. Från tidigare erfarenheter vet man att sannolikheten för elavbrott vid storm är 0,1, vid åska 0,2 och en vanlig dag 0,01. Structural Engineering - Lund University 24