Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E

Transkript

1 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 4 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 1/26

2 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 2/26

3 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Slumpmässig Variation Inom population Mätosäkerhet Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 3/26

4 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Vad kan vi veta om slumpmässig variation? Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer. Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 4/26

5 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik Miljö Ozonlagret bild Våghöjd bild Ekonomi Aktiedata bild Försäkringar bild Signalbehandling EEG/EKG bild Hitta sprängämnen bild Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 5/26

6 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik (forts) Mobil kommunikation Elmarknad Försäkringar Spel/Lotterier Biologi Geologi osv Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 6/26

7 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Praktiska detaljer Kursen går över 2 läsperioder 1+ föreläsning i veckan (2 i vecka 2 & 5). 1 räkneövning i veckan 5 obligatoriska datorövningar (2 i LP2, 3 i LP3). Frivillig dugga fredagen den 19/ Kurshemsida: Föreläsare: Sören Vang Andersen, MH244 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 7/26

8 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet Ω Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 8/26

9 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel: Tärningskast Ex. Kasta en tärning. Utfallsrum Ω = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} En händelse A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Ex. Kasta två tärningar. Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex. Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Totalt 36 utfall. Om man bara är intresserad av summan: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 9/26

10 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Händelser Wenn-diag. Mängdlära Utfallsrummet Ω Händelsen A; A inträffar Komplementhändelsen. A till A; A inträffar ej Unionhändelsen A B; A eller B eller båda inträffar Snitthändelsen A B = AB; både A och B inträffar A och B oförenliga hndlser; kan ej inträffa samtidigt Grundmängden Delmängden A Komplementet A till A Unionen A B Snittet A B A och B disjunkta Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 10/26

11 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel (kasta en tärning rep, forts) A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Några exempel på snitt och union A B = {4:a, 5:a} A B = Ω B C = C = {3:a} A C = {} =. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 11/26

12 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Sannolikhet Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet måste uppfylla följande, Kolmogorovs axiomsystem: 0 P(A) 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 P(Ω) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 P(A B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Härur följer även t.ex. Komplementsatsen P(A ) = 1 P(A). Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100 att inte vinna. Additionssatsen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 12/26

13 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar n P(A), n Ex Kasta tre tärningar ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna 1 Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens Antal tärningskast 1/6? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 13/26

14 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller P(A) = g m Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så P( ) = 13/52 = 1/4 Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat P(båda ) = Antal sätt att välja två Antal sätt att välja två kort = ( 13 2 ) ( 52 2 ) = = 1 17 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 14/26

15 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Betingad sannolikhet Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3. Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B inträffat bet. P(A B) och definieras som P(A B) = P(A B) P(B) Ur detta (och P(B A)) får vi två räkneregler för P(A B) P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Ex (igen) Dra två kort. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 15/26

16 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Betingad risk Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 16/26

17 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Satsen om total sannolikhet Om vi har n st händelser H 1,..., H n som är Parvis oförenliga, dvs H i H j =, i j n Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs H i = Ω gäller för varje händelse A i=1 P(A) = n P(A H i )P(H i ) i=1 samt Konsten att vända en betingad sannolikhet eller Bayes sats P(H i A) = P(H i A) P(A) = P(A H i)p(h i ) P(A) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 17/26

18 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Oberoende händelser Om det visar sig att P(A B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A B) = P(A)P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A)P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 18/26

19 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Exempel: Oberoende Kasta två tärningar och låt A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju C = Summan är åtta Vilka av A, B, A, C och B, C är oberoende av varandra? 6 A B C 5 Tärning Tärning 1 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 19/26

20 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Alla, ingen och någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,..., A n kan vi räkna ut sannolikheten att alla inträffar P(A 1 A n ) = P(A 1 )... P(A n ) ingen inträffar, dvs alla inträffar inte P(A 1 A n) = P(A 1)... P(A n) = = [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] någon inträffar, dvs minst en, eller inte ingen P(A 1 A n ) = 1 P(A 1 A n) = = 1 [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 20/26

21 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Ozon i Dobson enheter Tillbaka Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 21/26

22 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Våghöjd Tillbaka Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 22/26

23 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende OMXS30 aktieindex Tillbaka OMXS Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 23/26

24 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Kostnad stormskador Tillbaka Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 24/26

25 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende EKG och R-R variation Tillbaka Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 25/26

26 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Detektion av sprängämne Tillbaka Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 26/26