Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1

Transkript

1 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 1 Grundläggande begrepp Slumpförsök är ett försök, som kan upprepas under likartade förhållanden, och där resultatet vid varje enskild upprepning inte kan förutsägas med säkerhet Utfall resultat av ett slumpförsök Utfallsrum mängden (samling) av alla möjliga utfall av ett försök (Betecknas S) Händelse delmängd av utfallsrummet ( en samling av ett eller flera utfall) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 2

2 Exempel: Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6 Utfallsrum: S [1, 2, 3, 4, 5, 6] Låt A vara händelsen att få ett jämnt antal prickar Låt B vara händelsen att få minst 4 prickar Då är A [2, 4, 6] och B [4, 5, 6] 3 Exempel (forts): Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6 Utfallsrum: S [1, 2, 3, 4, 5, 6] Låt C vara händelsen att få ett udda antal prickar D vara händelsen att få högst 3 prickar E vara händelsen att få sexa F vara händelsen att inte få sexa G vara händelsen att få en sjua 4

3 Mer om händelserh Med symboler och begrepp från mängdläran kan vi bilda nya händelser och uttrycka egenskaper hos händelser Tex: Snitt A B är händelsen att både A och B inträffar: S A A B B 5 Mer om händelserh A och B är disjunkta (varandra uteslutande, ömsesidigt uteslutande) om de kan inte inträffa samtidigt dvs, A B är tommängd (empty set) S A B 6

4 Mer om händelserh Union A B är händelsen att A eller B (eller båda) inträffar: S A B Den rosa färgen ger AUB 7 Mer om händelserh Händelserna E 1, E 2, E k är Uttömmande om E 1 U E 2 U U E k S Komplement: A är händelsen att A inte inträffar (se nedan) Obs: A och A är Uttömmande eftersom AU A S Dessutom är de ömsesidigt uteslutande (varför?) S A A 8

5 Exempel Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6 S [1, 2, 3, 4, 5, 6] Låt A vara händelsen att få ett jämnt antal prickar Let B vara händelsen att få minst 4 prickar A [2, 4, 6] och B [4, 5, 6] 9 Exempel (forts) S [1, 2, 3, 4, 5, 6] A [2, 4, 6] B [4, 5, 6] Komplementer: A [1, 3, 5] B [1, 2, 3] Snitt: Union: A B [4, 6] A B [2, 4, 5, 6] A B [5] A A [1, 2, 3, 4, 5, 6] S 10

6 Exempel (forts) S [1, 2, 3, 4, 5, 6] A [2, 4, 6] B [4, 5, 6] ömsesidigt uteslutande? A och B är INTE ömsesidigt uteslutande A B [4, 6] är inte tommängd (de har två gemensam utfall - 4 och 6) Uttömmande? A och B är INTE Uttömmande A U B [2, 4, 5, 6] S (1 och 3 fattas) 11 Sannolikhet av ett händelseh Sannolikheten, P(A), för f r händelsen h A är r ett slags mått m påp hur säkert s det är r att händelsen h skall inträffa 1 säker P(A) är r ett tal mellan 0 och 1 5 Tre olika definitioner av sannolikhet: 0 omöjlig Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 12

7 1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Ett slumpförsök har n möjliga utfall, alla lika möjliga Av dessa utfall är det n A stycken som innebär att händelsen A inträffar Då är n A P( A) n antal "gynnsamma" utfall antal möjliga utfall Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 13 Kommentar: Vad menas med att de möjliga utfallen skall vara lika möjliga? Oklart Om det betyder att utfallen skall ha lika sannolikhet, så förutsätter ju den klassiska sannolikhetsdefinitionen att man redan vet vad sannolikhet är Då är det egentligen inte fråga om någon definition utan snarare en regel som talar om hur man kan beräkna sannolikheten för en händelse, ifall man redan vet att alla utfall har lika sannolikhet Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 14

8 2 Den frekventistiska sannolikhetsdefinitionen Sannolikheten för händelsen A uppfattas som den relativa frekvens med vilken A inträffar vid en mycket lång serie upprepningar av slumpförsöket: P(A) relativa frekvensen för händelsen A i det långa loppet Man tänker sig att den relativa frekvensen för A i det långa loppet tenderar att stabilisera sig på en viss nivå Hur vet man att det är så? Man brukar hänvisa till gjorda iakttagelser av de relativa frekvensernas stabilitet Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 15 Den frekventistiska sannolikhetsdefinitionen Relativ frekvens krona vid växande antal kast med ett mynt 1,0 0,9 Rel frekv krona 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,5 0,3 0, Kast nr Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 16

9 3 Den subjektiva sannolikhetsdefinitionen Sannolikhet antas uttrycka grad av tilltro: P(A) mått på hur starkt en person tror Kommentar: på påståendet att A skall inträffa (1) Olika personer kan ha olika stark tilltro till ett och samma påstående (2) Inget krav att slumpförsöket skall kunna upprepas Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 2008) 17 Att räkna antal möjliga utfall Ett arrangemang av n olika objekt i en bestämd ordning kallas för en permutation av objekten Hur många olika permutationer kan man bilda av n olika objekt? n! n (n-1) n! kallas n-fakultet ; eng n factorial 0! 1 (definition) Ex: På hur många olika sätt kan vi permutera de tre objekten A, B, C? 3! 3*2*1 6 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 18

10 Att räkna antal möjliga utfall (forts) Permutationer: Antalet olika sätt att välja ut r objekt från n objekt (r n), när dragningsordningen är viktigt är: P n r n! (n r)! Kombinationer: Antalet olika sätt att välja ut r objekt från n objekt (r n), ifall vi struntar i dragningsordningen är: n r C n r n! r! (n r)! 19 Att räkna antal möjliga utfall (exempel) Ex: På hur många sätt kan man välja ut tre objekt från de fem objekten A, B, C, D, E? - Om dragningsordningen är viktigt har vi: n n! 5 5! 5! 120 P r P 3 (n r)! (5 3)! 2! 2 60 C Om dragningsordningen är INTE viktigt har vi: n n! 5 5! 5! 120 r C 3 r! (n r)! 3! (5 3)! 3! 2! 6 * 2 10 ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE 20

11 Att räkna antal möjliga utfall (exempel) På hur många olika sätt kan man välja ut 5 kort från en vanlig kortlek med 52 kort? En förening har 20 medlemmar Bland dessa skall väljas en ordförande, en sekreterare och en kassör På hur många olika sätt kan detta göras? Hur många kommitté av 3 personer från 5 personer? Hur många olika flagor med tre färg från 5 färger? Ändra permutation eller Ändra kombination när man tar bild? 21 Några räkneregler för sannolikheter Vi utgår från tre grundantaganden: 1 Vi har ett slumpförsök med utfallsrummet S [O 1, O 2,, O n ] 2 Varje utfall, O i, har en sannolikhet P(O i ) (i 1, 2,, n) 3 Dessa sannolikheter uppfyller villkoren 0 P(O i ) 1 (i 1, 2,, n) P(O 1 ) + P(O 2 ) + + P(O n ) P( O i ) 1 Av dessa antaganden, följer formellt ett antal resultat, vilka i fortsättningen får betraktas som etablerade räkneregler vid lösning av sannolikhetsproblem n i 1 22

12 Sannolikhetsregler För varje händelse A är 0 P(A) 1 P(S) 1 Komplementsatsen: P( A) 1 P(A) Additionssatsen: dvs, P(A) + P(A) 1 För två händelser A och B gäller att P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Specialfall: om A och B är disjunkta, så är P(A B) P(A) + P(B) 23 Ett Sannolihetstabell Sannolikheter för två händelser A och B kan sammanfattas enligt tabellen nedan: B B A P(A B) P(A B) P(A) A P( A B) P( A B) P(A) P(B) P(B) P(S) 10 24

13 Additionssatsen: Exempel Kortdragning från 52 kort med fyra typ: Låt A Kortet är rött Låt B Kortet är ett ess 25 Additionssatsen exempel (forts) P(A U B) P(A) + P(B) - P(A B) P(Rött U Ess) P(Rött) + P(Ess) - P(Rött Ess) 26/52 + 4/52-2/52 28/52 Färg Typ Rött Svart Total Ess Ej Ess Total Räkna inte de två röda ess två gånger! 26

14 Additionssatsen: Exempel (forts) Vid tillverkning av en produkt kan två slags fel, A och B, uppkomma, ibland båda felen tillsammans Vi vet att P(A) 0,01, P(B) 0,02 och P(A B) 0,005 a) Vad är slh att en produkt skall ha minst ett av de två felen? b) Vad är slh att en produkt skall vara felfri? c) Vad är slh att en produkt skall ha exakt ett fel? 27 Betingad Sannolikhet Ibland vill vi veta hur stor sannolikheten är för en händelse B, ifall vi vet att en annan händelse A redan har inträffat Detta kallas för den betingade sannolikheten för B, givet att A har inträffat Betecknas P(B A) Den betingade sannolikheten för B, givet A, definieras som: P(A B) P(B A) P(A) Den betingade sannolikheten för A, givet B, definieras som: P(A B) P(A B) P(B) 28

15 Betingad Sannolikhet: Exempel Anta att 70% av bilar har AC (air conditioning), 40% har CD spelare, och att 20% har både och Vad är sannolikheten att en bil med AC har CD spelare? dvs, vi är ute efter P(CD AC) 29 Betingad Sannolikhet: Exempel 70% AC 40% CD 20% både CD Ej CD Total AC Ej AC Total P(CD AC) 2 P(CD AC) 2857 P(AC) 7 30

16 Betingad Sannolikhet: Exempel Givet AC, vi begränsar oss till den övre raden (70% av bilarna) Av dessa, 20% har CD spelare 20% av 70% ger 2857% CD No CD Total AC No AC Total P(CD AC) 2 P(CD AC) 2857 P(AC) 7 Multiplikationssatsen För två händelser A och B gäller att P(A B) och/eller P(A)P(B P(A B) P(B)P(A B) A) 32

17 Multiplikationssatsen: Exempel P(Rött Ess) P(Rött)P(Ess Rött) P(Ess)P(Rött Ess) # ess med rött färg total # kort 2 52 Färg Typ Rött Svart Total Ess Ej Ess Total Oberoende händelser Ordet oberoende kan betyda olika saker Vi skall här tala om sannolikhetsteoretiskt oberoende mellan händelser: Två händelser, A och B, sägs vara oberoende (i sannolikhetsteoretisk mening), om det gäller att P(A B) P(A)P(B) Om A och B är oberoende händelser, gäller att P(A B) P(A) om P(B)>0 P(B A) P(B) om P(A)>0 34

18 Oberoende händelser: exempel Anta att 70% av bilar har AC (air conditioning), 40% har CD spelare, och att 20% har både och CD No CD Total AC No AC Total Är händelserna AC och CD oberoende? 35 Oberoende händelser: exempel (forts) CD Ej CD Total AC Ej AC Total P(AC CD) 02 P(AC) 07 P(CD) 04 P(AC)P(CD) (07)(04) 028 P(AC CD) 02 P(AC)P(CD) 028 Händelserna A och B är INTE oberoende (de är beroende) 36

19 Utfall från bivariata händelser B 1 B 2 B k A 1 P(A 1 B 1 ) P(A 1 B 2 ) P(A 1 B k ) A 2 P(A 2 B 1 ) P(A 2 B 2 ) P(A 2 B k ) A h P(A h B 1 ) P(A h B 2 ) P(A h B k ) 37 Simultan- och marginell sannolikheter Simultant-sannolikhet, P(A B): P(A B) # utfall som "gynnar" både A och B total # utfall Beräkning av marginella sannolikheter: P(A) P(A B1) + P(A B2) + L+ P(A B där B 1, B 2,, B k are k ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser k ) 38

20 Marginell sannolikheter: exempel P(Ess) 2 2 P(Ess Rött) + P(Ess S vart) färg Typ Rött Svart Total Ess Ej Ess Total Givet AC eller Ej: Alla bilar Har AC Har inte AC P(AC) 7 P(AC) 3 Träddiagram Har CD Har inte CD Har CD P(AC CD) 2 P(AC CD) 5 P(AC CD) 2 Har inte CD 1 3 P(AC CD) 1 40

21 Bayessats P(E i A) P(E i )P(A E i ) P(A) P(E i )P(A E i ) P(E 1 )P(A E 1 ) + P(E 2 )P(A E 2 ) + + P(E k )P(A E k ) där E 1, E 2,, E k är k ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser 41 Bayessats: exempel Mobiltelefoner tillverkas av 3 fabriker, E 1, E 2, E 3, i andel 35: 40: 25 2%, 4% resp 5% av produkterna i de tre fabrik är defekt a) Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt vald mobil är defekt? b) Givet att ett slumpmässigt vald mobil är defekt vad är sannolikheten att det är tillverkad av fabrik E 1? 42

22 Bayessats: exempel Låt A vara händelsen att ett slumpmässigt vald mobil är defekt Då har vi P(E 1 ) 035, P(E 2 ) 040, P(E 3 ) 025 P(A E 1 ) 002, P(A E 2 ) 004, P(A E 3 ) 005 och vi söker a) och b) P(A) P(E 1 A) 43 Bayessats: exempel (a) P(A) P(E 1 I A) + P(E 2 I A) + P(E 3 I A) P(E 1 )P(A E 1 ) + P(E 2 )P(A E 2 ) + P(E 3 )P(A E 3 ) som ger P(A) 035* * *

23 P(E 1 A) Bayessats: exempel (b) P(E 1 )P(A E 1 ) P(A) P(E1)P(A E1) P(E 1 )P(A E 1 ) + P(E 2 )P(A E 2 ) + P(E 3 )P(A E 3 ) som ger P(E 1 A) 035 * * * *