Dagens Teori. A) Försöket att kasta en tärning har sex utfall, vilka vi kan beteckna 1, 2, 3, 4, 5, 6. Utfallsrummet

Transkript

1 Dagens Teori 8.1 Diskret sannolikhetslära Utfallsrum och händelser Vi ska här studera slumpmässiga försök med ändligt många utfall, resultat. Mängden av alla utfall kallas försökets utfallsrum. Varje delmängd av utfallsrummet kallas en händelse. Exempel 1 A) Försöket att kasta en tärning har sex utfall, vilka vi kan beteckna 1, 2, 3, 4, 5, 6. Utfallsrummet är mängden U = {1,2,3,4,5,6} Här är några exempel på händelser och beskrivningar av dem: a) {6} man får en sexa b) {5,6} man får en femma eller en sexa c) {1,3,5} man får ett udda poängtal d) {1,2,3,4,5} man får inte en sexa B) Försöket att kasta två häftstift har fyra utfall. Exempelvis kan det första häftstiftet lägga sig med spetsen uppåt och det andra med spetsen nedåt. Detta utfall kan vi beteckna U och N, och utfallsrummet blir: {UU,UN,NU,NN} Som exempel på händelser väljer vi: {UU} bbåda stiften lägger sig med spetsen uppåt {UN,NU} de båda stiften lägger sig på olika sätt Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Sannolikheter Exempel 2 En tärning, som inte är massiv utan har asymmetriskt placerade hålrum, har sidorna märkta a,b,c,d,e och f. Att kasta denna tärning på golvet från en viss höjd är ett slumpmässigt försök med utfallsrummet {a, b, c, d, e, f}. Försöket utfördes 500 gånger, och de relativa frekvenserna för de sex utfallen bestämdes efter 20, 40, 60,..., 500 kast. Efter 500 kast var resultaten följande: (N = 500) a b c d e f f f/v Figur 8.1: Figur 8.1 visar hur de relativa frekvenserna stabiliserades då antalet försök växte. De olika utfallen kan tillordnas vissa sannolikheter. Som approximationer till dessa använder vi (i brist på längre försöksserier) de relativa frekvenserna i tabellen på föregående sida, avrundade till två decimaler: Utfall a b c d e f Sannolikhet Observera att dessa sannolikheter ligger i intervallet [0,1] och har summan 1. Nu kan vi beräkna sannolikheten för en godtycklig händelse i försöket. Som exempel väljer vi A = {a,b,c} det vill säga händelsen att antingen sidan a, sidan b eller sidan c kommer upp. I försöksserien var relativa frekvensen för denna händelse = 0.86 Vi tillordnar därför händelsen A sannolikheten 0.86, det vill säga summan av sannolikheterna för de utfall a, b och c som händelsen består av. Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Vi betraktar nu allmänt ett slumpmässigt försök med ändligt många utfall Dessa utfall tillordnar vi vissa sannolikheter u 1,u 2,...,u n p 1,p 2,...,p n Sannolikheterna skall vara tal i intervallet [0,1], och de skall ha summan 1: 0 p k 1 p 1 +p p n = 1 Att sannolikheterna skall uppfylla dessa villkor är naturligt. Som approximationer till sannolikheterna kan vi nämligen liksom i exemplet använda de olika utfallens relativa frekvenser i en lång försöksserie, och dessa relativa frekvenser är ju tal i intervallet [0,1] och har summan 1. Sannolikheterna p 1,p 2,...,p n kallas försökets elementarsannolikheter. Med hjälp av dem kan man definiera sannolikheten för vilken som helst händelse A i försöket. Denna sannolikhet betecknas P(A) och definieras på följande sätt: P(A) är summan av elementarsannolikheterna för alla utfallen i händelsen A. Om till exempel A = {u 2,u 3,u 5,u 7 }, så är alltså P(A) = p 2 +p 3 +p 5 +p Likformig sannolikhetsfördelning För att bestämma elementarsannolikheterna i ett försök måste man i allmänhet utföra försöket ett stort antal gånger och bestämma relativa frekvenserna för de olika utfallen. I vissa försök, särskilt sådana som har med hasardspel att göra, finns det dock en sådan symmetri mellan utfallen att man omedelbart kan sluta sig till att samtliga elementarsannolikheter är lika. Sådana försök sägs ha likformig sannolikhetsfördelning. Antag att ett försök med n utfall har likformig sannolikhetsfördelning. Eftersom elementarsannolikheterna är lika och har summan 1, så är var och en av dem lika med 1 n. Sannolikheten P(A) för en händelse A är summan av elementarsannolikheterna för utfallen i händelsen. Om A består av g utfall så gäller alltså P(A) = g 1 n = g n Sannolikheten är alltså lika med kvoten av antalet för händelsen gynnsamma utfall och totala antalet utfall. Då sannolikhetsläran började utvecklas i mitten av 1600-talet, använde man denna beskrivning som definition av en händelses sannolikhet, och den kallas därför den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Observera att den endast kan användas för försök som har likformig sannolikhetsfördelning. Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Exempel 3 Andersson har en rutig keps, Pettersson en prickig och Lundström en blommig. De tre kepsarna, som för övrigt är lika, ligger på en hylla i en mörk korridor. Andersson, Pettersson och Lundström tar på måfå var sin keps. Vilken är sannolikheten att ingen får rätt keps? Lösning: De tre kepsarna kan lämpligen betecknas med ägarnas initialer, det vill säga med A,P och L. Som utfall kan man välja de sex permutationerna APL,ALP,PAL,PLA,LAP,LPA där bokstäverna i en permutation i ordning anger vilken keps Andersson, Pettersson respektive Lundström får. Tydligen får ingen rätt keps i två av dessa utfall, nämligen PLA och LAP. Den sökta sannolikheten är alltså: g n = 2 6 = 1 3 Om ett försök har ett litet antal utfall, så kan talen g och n bestämmas genom att man liksom i ovanstående exempel skriver upp samtliga utfall. Om antalet utfall är någorlunda stort, så får man däremot använda sig av formler från kombinatoriken. Exempel 4 Ur en kortlek dras på måfå fem kort. Vilken är sannolikheten att alla fem är? Lösning: En kortlek innehåller som bekant 52 kort varav 13 är. Försöket att dra 5 kort bland 52 har ( 52 5) = utfall. Om de fem korten alla skall vara, så måste de väljas bland de 13 -korten i leken, vilket kan ske på ( 13 5) = 1287 sätt. Den sökta sannolikheten är alltså: ( 13 ) 5 ) = = ( Egenskaper hos sannolikheter Antag att ett slumpmässigt försök har utfallsrummet U = {u 1,u 2,u 3,...,u n } Sannolikheten för en händelse A är summan av elementarsannolikheterna för de utfall A består av. Eftersom samtliga elementarsannolikheter är icke-negativa och har summan 1, så gäller 0 P(A) 1 Varje delmängd av utfallsrummet, alltså även den tomma mängden och U självt, är en händelse. är försökets omöjliga händelse (inget utfall inträffar), och U är försökets säkra händelse (något av utfallen inträffar). Man inser omedelbart att P( ) = 0 P(U) = 1. Om A och B är händelser, så är A B och A B händelser. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Exempel 5 Antag att Då är och A = {u 1,u 2,u 3,u 4 } B = {u 3,u 4,u 5,u 6,u 7 } A B = {u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6,u 7 } A B = {u 3,u 4 } Om elementarsannolikheterna betecknas p 1,p 2,p 3,...,p n så gäller P(A B) = p 1 +p 2 +p 3 +p 4 +p 5 +p 6 +p 7 = (p 1 +p 2 +p 3 +p 4 )+(p 3 +p 4 +p 5 +p 6 +p 7 ) (p 3 +p 4 ) = = P(A)+P(B) P(A B) A B är händelsen A eller B, det vill säga A eller B eller eventuellt både A och B inträffar A B är händelsen A och B, det vill säga både A och B inträffar. Med samma resonemang som i exemplet kan man visa att följande formel gäller: Den kallas sannolikhetslärans additionssats. P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Om A B = så sägs händelserna A och B vara uteslutande. I detta fall har A och B inget gemensamt utfall, och de kan alltså inte inträffa samtidigt. I ett tärningskast är till exempel de båda händelserna att få en sexa och att få ett udda poängtal uteslutande, ty det finns inget utfall som gör att båda händelserna inträffar. Eftersom P(A B) = P( ) = 0, så förenklas additionssatsen i fallet med uteslutande händelser till P(A B) = P(A)+P(B) Med komplementhändelsen A till en händelse A menas den händelse, som består av alla de utfall i U som inte tillhör A. Komplementhändelsen A är alltså den händelse som består i att A inte inträffar. Eftersom A och A inte har något gemensamt utfall och tillsammans omfattar alla utfallen i U, så gäller: P(A)+P( A) = P(A A) = P(U) = 1, P( A) = 1 P(A) Exempel 6 Vid kast med en symmetrisk tärning har händelsen att få en sexa sannolikheten 1/6. Komplementhändelsen att inte få en sexa har sannolikheten = 5 6 Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Exempel 7 Man kastar samtidigt en röd och en svart tärning. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: A en sexa på den röda tärningen B en sexa på den svarta tärningen C minst en sexa D ingen sexa Lösning: Som utfallsrum väljs mängden av alla talpar (r,s) där r och s anger poängtalet på den röda respektive svarta tärningen. Denna mängd består av 36 element, och dessa kan åskådliggöras med de vita rutorna i figur 8.2. Vi antar att alla elementarsannolikheterna är 1/36. Figur 8.2: Händelserna A, B och A B består av 6,6 respektive 1 utfall, och alltså gäller: P(A) = P(B) = = 1 6 P(A B) = 1 36 Händelsen minst en sexa innebär en sexa på endera eller båda tärningarna. Alltså är C = A B, och P(C) = P(A B) = P(A)+P(A) P(A B) = = Händelsen ingen sexa är komplementhändelse till minst en sexa. Alltså är D = C, och P(D) = P( C) = 1 P(C) = = Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 8.1.5 Oberoende och icke oberoende händelser Exempel 8 Ett försök består i att man samtidigt kastar en tändsticksask och ett mynt. Vi gör följande antaganden: A är händelsen plånsida på asken, P(A) = 0.2. B är händelsen klave på myntet, P(B) = 0.5. Om man utför detta försök n gånger, där n är ett stort tal, så bör A inträffa i ungefär 0.2n kast. Eftersom händelsen plånsida på asken inte rimligtvis kan påverka händelsen klave på myntet, så bör i dessa 0.2n kast händelsen B inträffa ungefär n gånger. Händelsen A B, det vill säga både plånsida och klave, har därför en relativ frekvens på 0, Det är då rimligt att anta att Om för två händelser A och B gäller att P(A B) = = P(A)P(B) P(A B) = P(A)P(B) så sägs händelserna vara oberoende. Exemplet ovan visar att denna definition stämmer med vår intuitiva uppfattning om att två händelser är oberoende. Tre eller flera händelser sägs vara oberoende, om varje snitt av två eller flera av händelserna har en sannolikhet, som är lika med produkten av sannolikheten för de händelser som ingår i snittet. Exempel 9 Fyra symmetriska tärningar kastas på en gång. Vilken är sannolikheten att man får åtminstone en sexa? Lösning: Låt A,B,C och D beteckna händelserna att tärning nr 1,2,3 respektive 4 inte ger en sexa. Dessa händelser är oberoende, och var och en av dem har sannolikheten 5/6. Händelsen A B C D är komplementhändelse till händelsen åtminstone en sexa, varför den sökta sannolikheten är: ( ) P(A B C D) = 1 P(A)P(B)P(C)P(D) = Antag att A och B är två händelser i ett försök, som har ett utfallsrum U med n utfall Om sannolikhetsfördelningen är likformig och händelserna A B och A består av g respektive m utfall, så gäller: P(A B) = g n = m n g m = P(A) g m Om vi inför beteckningen P A (B) = g/m, så kan detta skrivas: P(A B) = P(A)P A (B) P A (B) är kvoten av antalet utfall i A, vid vilka även B inträffar, och totala antalet utfall i A. Man kallar därför P A (B) den betingade sannolikheten för B då A inträffat. Även om Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA sannolikhetsfördelningen inte är likformig kan man definiera P A (B) så att likheten ovan gäller. En jämförelse med formeln P(A B) = P(A)P(B) visar att händelserna A och B är oberoende, om och endast om P A (B) = P(B). För snitt av tre eller flera händelser gäller analoga formler. Så till exempel är P(A B C) = P(A)P A (B)P AB (C) där P AB (C) är den betingade sannolikheten för C, då A och B inträffat. Exempel 10 Ur en kortlek väljer man på måfå ut tre kort. Vilken är sannolikheten att alla tre är? Lösning: Låt A, B och C beteckna händelserna att det första, andra respektive tredje valda kortet är ett. Då är P(A) = 13/52. Då A inträffat finns det 51 kort i leken, och 12 av dessa är. Alltså är P A (B) = 12/51. På samma sätt inses att P AB (C) = 11/50. Den sökta sannolikheten är alltså: P(A B C) = = Mathematica I de flesta av dagens laborationsuppgifter gäller det att simulera slumpmässiga försök till det behöver vi slumptal, ibland heltal i ett givet intervall och ibland flyttal x i intervallet 0 x < 1 Bland uppgifterna finner du klassiska sannolikhetsproblem, som alla kan lösas teoretiskt. Ibland går dock teorin utanför denna kurs och ibland är den mer elementär. Detta spelar nu ingen roll eftersom du ska lösa problemen genom simulering med hjälp av C eller Mathematica. Meningen är att du på det sättet ska upptäcka att simulering är ett kraftfullt verktyg där man ofta kommer mycket nära sanningen. Det finns nämligen gott om andra problem där man är helt utlämnad till datorsimuleringar på grund av att en teoretisk lösning är för komplicerad eller omöjlig. roll[] := Random[Integer, {1, 6}] Table[roll[], {i, 1, 10}] {1, 4, 3, 1, 4, 4, 3, 5, 6, 5} Ska vi till exempel kasta en tärning, kan vi deklarera en funktion liknande den ovan. För att generera ett tärningskast anropar vi funktionen roll[]. Genom funktionen p[] := Random[Real, {0, 1}] Table[P[], {I, 1, 5}] { , , , , } Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 får man ett reellt slumptal i intervallet [0,1). Vill man ha en slumpmässig permutation av elementen i en lista använder man RandomSample. RandomSample[Range[10]] {8,7,2,3,6,4,5,9,10,1} När man anropar funktionerna ovan kan man inte förutsäga vilket resultat som kommer att erhållas. Ibland när man utvecklar simuleringsprogram, som inte riktigt fungerar som de ska, kan det vara frustrerande att vid varje körning få olika serier av slumptal. Vill man använda samma serie kan man ordna det med hjälp av SeedRandom. Se exemplet nedan. SeedRandom[111129] RandomSample[Range[10]] {3, 6, 4, 2, 1, 8, 10, 7, 9, 5} SeedRandom[111129] RandomSample[Range[10]] {3, 6, 4, 2, 1, 8, 10, 7, 9, 5} Vi skapar en kortlek och blandar den farg = {"S", "H", "D", "C"}; valor = Join[Range[2, 10], {"J", "Q", "K", "A"}]; lek = Flatten[Table[{farg[[i]], valor[[j]]}, {i, 4}, {j, 13}], 1]; lek = RandomSample[lek] Här en del av utskriften {{D, 4}, {D, 10}, {H, 8}, {S, 8}, {C, J}, {H, 5}, {H, J}, {H, 3}, {D, 7}, {C, 5}, {S, 6}, {D, 3}, {S, A}, {D, 9}, {D, Q}, {S, Q}, {C, 2}... Så gör man i C Satsen a=rand()%100 tilldelar a ett slumpmässigt heltal i intervallet Ett tärningskast t erhålles till exempel genom t=rand()%6+1. I några av uppgifterna är det mera lämpligt att arbeta med slumptal s, 0 s < 1. Dessa kan till exempel skapas genom satsen a=(float)rand()/32768; Talet är valt så därför att i de flesta C-miljöer är det största slumptal man kan få genom rand(). För att olika körningar av ditt program ska ha chansen att ge olika resultat kan du använda funktionen srand(time(0)), som du ska se till att den exekveras endast en gång under körningen. Placera den lämpligen som första sats i programmet. Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Blandning av vektor i C I några av uppgifterna behöver man blanda talen i en array. För detta lämnar vi här en funktion som sköter jobbet. Genom att först placera talen 1 till 52 i arrayen lek och sedan anropa blanda har en blandning av kortleken åstadkommits. 1 #include <stdio.h> 2 #include <conio.h> 3 void blanda(int a[ ],int n){ 4 int k,tmp,plats; 5 for(k=0;k<n;k++){ 6 plats=rand()%(n k)+k; 7 tmp=a[k]; 8 a[k]=a[plats]; 9 a[plats]=tmp; 10 } 11 } Ett par exempel Problem: Hur många kort måste man vända upp från en välblandad kortlek innan all 13 -korten har visat sig? Utför experimentet gånger och svara med ett medelvärde hos dessa försök f[] := Block[{forsok, L, i, n, B, tot = 0}, L = Range[52]; For[forsok = 1, forsok <= 10000, forsok++, i = 1; n = 0; B = RandomSample[L]; While[n < 13, If[B[[i]] <= 13, n++; ] i++; ]; tot = tot + i; ]; tot/10000 // N ] L innehåller en oblandad kortlek talen helt enkelt. Vi säger att korten är. B innehåller en blandad kortlek. Vi räknar -kort i while-loopen. När n = 13 har vi hittat alla. Det värde i stannar på anger hur många kort vi vänt. Några körningar Ingen speciellt effektiv simulering, som snarare vill visa hur en simulering kan gå till. En gissning är att man i genomsnitt måste vända 50 kort. Håkan Strömberg 10 KTH STH

11 Problem: Till ditt förfogande finns ett obegränsat antal vanliga tärningar. Ditt mål är att uppnå en bestämd summa s. Vilket antal tärningar n bör du välja att kasta samtidigt, för att ha största chansen att nå denna totala summa av ögon? Skriv ett program som frågar efter önskad summa s och som beräknar och skriver ut antalet tärningar n, som ger bästa chansen för att uppnå summa. f[n_] := Block[{F, i, sum, a}, F = Table[0, {i, 1, 31}]; For[i = 1, i <= 10000, i++, sum = 0; a = 0; While[sum < n, sum = sum + Random[Integer,{1,6}]; a++; ]; If[sum == n, F[[a]]++, F[[n+1]]++; ] ]; F ] Först nollställer vi frekvenstabellen F. Detta program klarar av summor upp till 30. Vi ska nu göra försök. I stället för att kasta alla tärningar på en gång kastar vi en i taget och får den ackumulerade summan i sum. a håller reda på hur många kast vi gjort i pågående serie. När sum n avbryts loopen. Vi ökar nu elementet i F med index sum. Om vi inte lyckades få önskad summa registrerar vi det i F[n +1]. Vi konverterar arrayen till en lista som vi returnerar. Ett körningsexempel för summan 28 f[28] {0,0,0,0,16,235,644,857,644,331,127,41,9,1,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,7095,0,0} Detta betyder att om jag kastar 8 tärningar får jag summan 28 med sannolikheten Håkan Strömberg 11 KTH STH

12 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Teoriuppgifter Problem 1 Ett kort dras ur en kortlek, och man antecknar kortets färg. Detta försöks utfallsrum kan skrivas: {,,, } Beskriv i ord följande händelser: a { } b {, } c {,, } Problem 2 Vi kastar en tärning. Skriv upp de händelser som består i att man får a 3 poäng b inte 3 poäng c minst 3 poäng d högst 3 poäng Problem 3 Man kastar tre häftstift a Skriv upp detta försöks utfallsrum med användande av beteckningarna U och N b Skriv upp den händelse som består i att alla tre stiften lägger sig på samma sätt. c Skriv upp den händelse som består i att två stift lägger sig med spetsen uppåt och ett med spetsen nedåt. Problem 4 Att tippa en fotbollsmatch på en stryktipskupong är ett slumpmässigt försök vars utfallsrum kan skrivas {1,X,2}. Skriv på lämpligt sätt upp utfallsrummet till försöket att tippa två av matcherna på kupongen. Håkan Strömberg 12 KTH STH

13 Problem 5 Att gissa fyra gåtor är ett slumpmässigt försök som exempelvis har utfallet FRRF, det vill säga man gissar fel på första gåtan, rätt på den andra och så vidare a Hur många utfall har detta försök? b Skriv upp händelsen att man gissar rätt på precis tre av gåtorna. Problem 6 Att välja ut två kort ur en väl blandad kortlek är ett slumpmässigt försök. a Hur många utfall har detta försök? b I hur många av utfallen är båda korten äss? c I hur många av utfallen är det ena kortet ett äss men inte det andra? Problem 7 Antag att elementarsannolikheterna vid kast med en inte alldeles symmetrisk tärning är följande: Utfall Sannolikhet Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a A = {5,6}, antingen en femma eller en sexa b B = {1,2,3} högst poängtalet 3 c C = {1,2,3,4,5} inte en sexa Problem 8 En hand i bridge består av 13 kort. Att räkna antalet äss i en sådan hand är ett försök med följande utfall och elementarsannolikheter Utfall Sannolikhet Beräkna sannolikheten för att en slumpvis given hand har a åtminstone ett äss, det vill säga 1,2,3 eller 4 äss b minst 2 äss c mer än 2 äss. Håkan Strömberg 13 KTH STH

14 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Problem 9 Antag att en person spelar bridge en kväll varje vecka och i genomsnitt 15 partier per kväll. Ungefär hur många gånger under ett år bör det inträffa att han får en hand med a 4 äss b minst 3 äss c inget äss Bestäm först sannolikheterna för dessa händelser med hjälp av elementarsannolikheterna i föregående uppgift. Problem 10 Antalet trafikolyckor under en vecka på en viss väg kan betraktas som utfall av ett slumpmässigt försök. Antag att man efter en längre tids studium av olycksfrekvensen på vägen kommit fram till följande sannolikheter: Antal olyckor Sannolikhet Beräkna sannolikheten för att det under en vecka inträffar: a högst en olycka b åtminstone en olycka c högst två olyckor d mer än två olyckor Problem 11 Bland bokstäverna a,b,c och d utväljs slumpmässigt först en bokstav och sedan en av de tre återstående. Detta försök har 12 utfall som alla antas ha elementarsannolikheten 1/12. a Skriv upp utfallen b Bestäm sannolikheten för att a kommer med bland de två valda bokstäverna Problem 12 Följande tabell ger frekvenser för antalet mål i de 528 allsvenska fotbollsmatcherna under åren : Antal mål Frekvens Håkan Strömberg 14 KTH STH

15 Använd dessa frekvenser till att bestämma sannolikheter för de olika antalen mål. Ange sannolikheterna med två decimaler. Bestäm sedan sannolikheten för att det i en allsvensk fotbolls-match skall bli: a 0-0 b högst tre mål c minst sju mål Problem 13 Man kastar en symmetrisk tärning. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a en sexa b en femma eller en sexa c inte en sexa d ett jämnt poängtal Problem 14 Ett kort dras ur en vanlig kortlek. Vilken är sannolikheten att man får a ett äss b ett c ett klätt kort, det vill säga kung, dam eller knekt Problem 15 Försöket att kasta ett mynt har två utfall, som vi kan beteckna k krona och g gubbe. Skriv upp utfallsrummet för det försök som består i att myntet kastas a två gånger b tre gånger. Problem 16 Ett symmetriskt mynt kastas två gånger. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a krona båda gångerna b krona en gång och gubbe en gång Håkan Strömberg 15 KTH STH

16 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Problem 17 Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a krona alla tre gångerna b krona två gånger och gubbe en gång Problem 18 Beräkna antalet utfall i det försök som består i att en tärning kastas a två gånger b tre gånger. Använd multiplikationsprincipen Problem 19 En symmetrisk tärning kastas två gånger. Beräkna sannolikheten för följande händelser: a två sexor b en sexa och en femma c poängsumman 10 d minst poängsumman 10 Problem 20 Ur en kortlek dras på måfå två kort. Vilken är sannolikheten att båda blir? Problem 21 En burk innehåller 5 kulor, av vilka 2 är röda och 3 gröna. Man tar på måfå två kulor ur burken. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a två röda kulor b två gröna kulor c en kula av varje färg Håkan Strömberg 16 KTH STH

17 Problem 22 a Vad är det för fel i följande resonemang? Om två symmetriska tärningar kastas, så kan poängsumman bli något av talen 2,3,4,...,12. Antalet möjliga utfall är alltså 11, och sannolikheten för poängsumman 12 är alltså 1/11. b Vilken är den rätta sannolikheten för poängsumman 12? Problem 23 Två kort dras på måfå ur en kortlek. Vilken är sannolikheten för att ett av korten är äss? Problem 24 En bilhandlare har 10 bilar i lager. Av dessa är 6 felfria och 4 behäftade med mindre fel. En firma köper två av bilarna (utan att närmare undersöka dem). Vilken är sannolikheten att båda bilarna är felfria? Problem 25 På en parkeringsplats finns 7 platser. Tre bilar ställer sig på slumpmässigt valda platser. Beräkna sannolikheten för att alla bilarna kommer intill varandra, om de sju parkeringsplatserna ligger a i rad b i ring. Problem 26 En symmetrisk tärning kastas tre gånger. Vilken är sannolikheten för att man får mer än 15 poäng sammanlagt? Problem 27 Ett bokverk består av delarna De fyra böckerna ställs slumpvis upp efter varandra på en hylla. Vilken är sannolikheten för att a böckerna kommer i rätt ordning b ingen bok kommer på sin rätta plats? Problem 28 I en mörk garderob ligger tre par skor buller om buller. Man tar på måfå ut tre skor. Vilken är sannolikheten för att två av dessa skor tillhör samma par? Håkan Strömberg 17 KTH STH

18 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Problem 29 En symmetrisk tärning kastas två gånger. a Vilken är sannolikheten för händelsen båda kasten ger samma poängtal? b Ange komplementhändelsen och dess sannolikhet. Problem 30 En symmetrisk tärning kastas tre gånger. Vilken är sannolikheten för att åtminstone två av kasten ger samma poängtal? (Komplementhändelsen är alla tre kasten ger olika poängtal. Visa med multiplikationsprincipen att antalet gynnsamma utfall för denna händelse är Problem 31 I en burk finns 5 röda och 4 gröna kulor. Man väljer på måfå ut 3 av kulorna. Beräkna sannolikheten för att man får åtminstone en grön kula. (Beräkna först sannolikheten för komplementhändelsen alla tre kulorna är röda. På hur många sätt kan de 3 kulorna väljas bland de 9 kulorna respektive bland de 5 röda kulorna?) Problem 32 Man väljer slumpmässigt ut en elev i en viss årskurs och tittar på betygen i matematik och fysik. Vi antar att händelsen femma i matematik (A) har sannolikheten 0.07 femma i fysik (B) har sannolikheten 0.06, femma i båda ämnena (A B) har sannolikheten Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a Åtminstone en femma i de båda ämnena (A B). b Ingen femma. (Komplementhändelse till föregående händelse.) c Femma i det ena men inte i det andra ämnet. Problem 33 På en viss tillverkad enhet kan två olika fel uppträda. Sannolikheten för att en slumpvis utvald enhet har det ena, det andra eller båda dessa fel är 0.008, respektive Beräkna sannolikheten för: a minst ett fel b inget fel c exakt ett fel. Håkan Strömberg 18 KTH STH

19 Problem 34 Ur en väl blandad kortlek dras slumpvis 13 kort. Vilken är sannolikheten att bland dessa 13 kort finns a hjärter äss b spader äss c båda dessa äss d åtminstone ett av dessa två äss e inget av de två ässen f det ena av de två ässen men inte det andra? Problem 35 I en klass finns 20 elever, av vilka 5 är flickor. Vid ett förhör får 4 slumpvis utvalda elever redovisa sina kunskaper. Vilken är sannolikheten att bland dessa fyra finns a ingen flicka b åtminstone en flicka? Problem 36 En vanlig kortlek består som bekant av fyra färger med 13 kort i varje färg. Om man slumpvis väljer ut fyra kort ur leken, vilken är då sannolikheten att man får åtminstone två kort av samma färg? (Beräkna först sannolikheten för komplementhändelsen, det vill säga att man får ett kort av varje färg.) Problem 37 Ur en vanlig kortlek utväljs slumpvis 13 kort (en hand i bridge). Vilken är sannolikheten att man får åtminstone ett äss? Problem 38 I ett lotteri med 100 lotter utlottas 3 vinster. Vilken är sannolikheten att en person, som köpt 5 lotter, får åtminstone en vinst? Håkan Strömberg 19 KTH STH

20 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Problem 39 När man kastar en viss tändsticksask är sannolikheten att den lägger sig på plånsida 0.2. Två sådana askar kastas samtidigt. Vilken är sannolikheten att a båda b ingen c exakt en lägger sig på en plånsida Problem 40 Man kastar tre häftstift. För varje stift är sannolikheten att det lägger sig med spetsen uppåt 0.6. Beräkna sannolikheten för att alla tre stiften lägger sig a med spetsen uppåt b med spetsen nedåt c på samma sätt Problem 41 Ur en kortlek väljer man på måfå ut två kort. a Vilken är sannolikheten att båda är hjärterkort? b Vilken är sannolikheten att båda korten har samma färg? Problem 42 Antag att sannolikheten att ett paket med skruvar innehåller åtminstone en felaktig skruv är Vilken är sannolikheten att det i fyra sådana paket inte, finns någon enda felaktig skruv? (Räkna först ut sannolikheten för att ett paket är felfritt) Problem 43 Två skyttar skjuter var sitt skott mot ett mål. Antag att deras träffsannolikheter är 0.3 och 0.6. Vilken är sannolikheten att minst en av dem träffar målet? (Beräkna först sannolikheten för komplementhändelsen, det vill säga att båda skjuter bom) Problem 44 Utanför en affär finns det 5 parkeringsplatser för kunder. Var och en av platserna är under affärstid ledig i genomsnitt 3 minuter per timme. Uppskatta sannolikheten att man vid ett tillämpat besök i affären finner åtminstone en av de fem parkeringsplatserna ledig. (Sannolikheten att en viss plats är ledig är 3/60. Beräkna först sannolikheten för att alla fem platserna är upptagna) Håkan Strömberg 20 KTH STH

21 Problem 45 En apparat är sammansatt av tre komponenter och fungerar endast om samtliga tre komponenter är felfria. Vilken är sannolikheten för att apparaten inte fungerar, om sannolikheterna för fel i de tre komponenterna är 2.0%, 3.5% och 4.2%? Felen antas vara oberoende av varandra. Problem 46 En symmetrisk tärning kastas fyra gånger. Vilken är sannolikheten att alla fyra kasten ger olika poängtal? Problem 47 Beräkna sannolikheten att man får minst en dubbelsexa vid 24 kast med två tärningar. Problem 48 Hur många gånger behöver man kasta en symmetrisk tärning för att ha en sannolikhet på minst 0.99 för att få åtminstone en sexa? Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 a) Man får ett hjärter b) Man får ett rött kort c) Man får inte ett hjärter Lösning Teoriuppgift 2 a) {3} b) {1,2,4,5,6} c) {3,4,5,6} d) {1,2,3} Lösning Teoriuppgift 3 a) {UUU, NUU, UNU, UUN, UNN, NUN, NNU, NNN} b) {UUU, NNN} c) {NUU, UNU, UUN} Lösning Teoriuppgift 4 {11,1x,12,x1,xx,x2,21,2x,22} Lösning Teoriuppgift 5 a) 2 4 = 16 b) {FRRR,RFRR,RRFR,RRRF} Lösning Teoriuppgift 6 a) ( 52 ( 2) = 1326 b) 4 2) = 6 c) 192 Ässet kan väljas på 4 sätt och det andra kortet på 48 sätt. Lösning Teoriuppgift 7 a) 0.36 b) 0.47 c) 0.82 Håkan Strömberg 21 KTH STH

22 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Lösning Teoriuppgift 8 a) b) c) Lösning Teoriuppgift 9 a) 2 b) 34 c) 237 Sannolikheterna är 0.003, och Multiplicera dessa med antalet partier, det vill säga med Lösning Teoriuppgift 10 a) 0.60 b) 0.75 c) 0.84 d) 0.16 Lösning Teoriuppgift 11 a) ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc b) 1/2 Lösning Teoriuppgift 12 Sannolikheterna är 0.04, 0.11, 0.19, 0.20, 0.15, 0.11, 0.10, 0.05, 0.03 a) 0.04 b) 0.54 c) 0.10 Lösning Teoriuppgift 13 a) 1 b) 1 c) d) 1 2 Lösning Teoriuppgift 14 a) 4 52 = 1 b) = 1 4 c) = 3 13 Lösning Teoriuppgift 15 a) {kk,kg,gk,gg} b) {kkk,gkk,kgk,kkg,kgg,gkg,ggk,ggg} Lösning Teoriuppgift 16 a) 1 4 b) 1 2 Lösning Teoriuppgift 17 a) 1 8 b) 3 8 Lösning Teoriuppgift 18 a) 6 2 = 36 b) 6 3 = 216 Lösning Teoriuppgift 19 a) 1 b) = 1 18 d) 6 36 = 1 6 c) 3 36 = 1, gynnsamma utfall:(6+4,5+5,4+6) 12 Håkan Strömberg 22 KTH STH

23 Lösning Teoriuppgift 20 ( 13 2) ( 52 2) = 1 17 Lösning Teoriuppgift ( a) ( 5 = 0.1 b) ( 2) 5 ) = 0.3 c) 2) 2 3 ( 5 = ) Lösning Teoriuppgift 22 a) Utfallen är inte lika sannolika b) 1 36 Lösning Teoriuppgift ( 52 2) = 2 26 Lösning Teoriuppgift 24 ( 6 2) ( 10 2) = 1 3 Lösning Teoriuppgift 25 5 a) ( 7 ) = 1 7 b) ( 7 7 = 3 3) 1 5 Lösning Teoriuppgift = Gynnsamma utfall : (6+6+6), (5+6+6),(6+5+6),(6+6+5),(4+6+6),(6+4+6),(6+6+4), (5+5+6),(5+6+5),(6+5+5) Lösning Teoriuppgift 27 a) 1 4! = 1 24 b) 9 4! = 3 8 Lösning Teoriuppgift ( 6 3) = 0.6. Ett par kan tas ut på 3 sätt, och den tredje skon kan sedan väljas på 4 sätt Lösning Teoriuppgift 29 a) 6 36 = 1 b) Kasten ger olika poängtal, sannolikheten är Lösning Teoriuppgift = 4 9 Lösning Teoriuppgift 31 Håkan Strömberg 23 KTH STH

24 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA ( 5 1 ( 3) 9 ) = Lösning Teoriuppgift 32 a) = 0.09 b) = 0.91 c) = 0.05 Lösning Teoriuppgift 33 a) b) c) Lösning Teoriuppgift 34 a) 1 4 c) ( ( b) 1 ) 4 ) = 1 17, 13 kort kan väljas på ( 52 13) sätt. Om hjärter äss och spader äss är med, så kan de övriga 11 korten väljas på ( 50 11) sätt d) = 15 e) f) Lösning ( Teoriuppgift ) 4 a) ( 20 ) = b) ( ) ( ) = Lösning Teoriuppgift ) 0.89 ( 52 4 Lösning ) Teoriuppgift 37 1 ( ( ) 0.70 Lösning ( Teoriuppgift ) 1 ( 100 ) Lösning Teoriuppgift 39 a) = 0.04 b) = 0.64 c) = 0.32 Lösning Teoriuppgift 40 a) = b) = c) = 0.28 Lösning Teoriuppgift 41 a) = 1 b) Håkan Strömberg 24 KTH STH

25 Lösning Teoriuppgift Lösning Teoriuppgift = 0.72 Lösning Teoriuppgift 44 ( ) Lösning Teoriuppgift eller 9.4% Lösning Teoriuppgift = 5 18 Lösning Teoriuppgift 47 ( ) Lösning ( ) Teoriuppgift 48 5 n ger n 26 6 Håkan Strömberg 25 KTH STH

26 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Laboration Laborationsuppgift 1. Kularrangemang (2) I figur 8.3 ser vi ett rektangulärt arrangemang med blå och gula kulor, där de gula kulorna Figur 8.3: är inramade av en, en kula bred, ram av blå kulor. I exemplet är höjden h = 5 och bredden b = 7. Konstruera två formler, som för givna h och b, bestämmer antalet blå respektive gula kulor. Använd sedan formlerna för att bestämma de arrangemang där antalet blå respektive gula kulor är lika. Laborationsuppgift 2. Vilket tal? (2) Figur 8.4: Det är punkterna som hamnar i kvartscirkeln som räknas som lyckade försök Utför följande gånger Ta fram ett reellt slumptal 0 x < 1. Ta fram ett reellt slumptal 0 y < 1. Öka en räknare med 1 varje gång ett lyckat försök inträffar. Ett försök är lyckat då x 2 +y 2 < 1. Beräkna och skriv ut 4 antalet lyckade försök. Vilket är detta tal ett närmevärde på? Håkan Strömberg 26 KTH STH

27 Laborationsuppgift 3. Promenaden över bron (2) En något överförfriskad person är på väg hem efter en fest. På vägen måste han passera Figur 8.5: Här ser vi en typisk vandring med en bro som har bredden 7. Promenaden tog slut efter 20 steg. en bro. Hans vingliga färd innebär att han i varje steg antingen vinglar åt höger eller åt vänster, helt slumpmässigt. Frågan är nu hur många steg han hinner ta innan han kommer så snett att han faller i vattnet. Du ska simulera vandringar, i varje försök bestämma antalet steg innan han kommer utanför kanten och till sist presentera ett medelvärde av promenadernas längd från försöken. Indata till programmet är brons bredd, ett udda heltal, där vandringen startar mitt i gångbanan. Och utdata, alltså ett medelvärde på antalet steg vandringen varade. Figuren förklarar det hela. Testa ditt program för de tre bredderna 7, 9 och 13. Laborationsuppgift 4. Getterna och bilen (2) Detta, för många paradoxala, problem ska du simulera med hjälp av ett program som besvarar frågan med vilken sannolikhet man vinner en bil. Under en TV-show förklarar programledaren reglerna för en tävling: Här ser du tre dörrar. Bakom två av dörrarna finns en get och bakom den tredje finns en spritt ny bil. Du ska först välja ut en av dörrarna. Innan jag öppnar den kommer jag att öppna en av de andra, bakom vilken jag vet att det finns en get. Du får sedan möjlighet att ångra dig och i stället ta den andra oöppnade dörren. När du gjort ditt val kommer din valda dörr att öppnas och finns det en bil bakom den, så har du vunnit!. Vilken strategi ska spelaren följa? Ska han hålla kvar vid sitt val eller ska han byta dörr? Ditt program ska göra simuleringar, där först bilens placering slumpas fram och sedan den dörr spelaren väljer. Resultatet ska presenteras som en sannolikhet för att vinna bilen med den strategi du väljer att programmet ska arbeta efter. Laborationsuppgift 5. Födelsedagsparadoxen (2) Även detta problem kallas för en paradox, därför att den ger ett resultat som överraskar. Du ska med ett program ta reda på, hur många människor n det lägst behöver finnas i en grupp, för att sannolikheten p, för att två av dem ska ha födelsedag på samma datum, ska vara större än p > 1/2. Håkan Strömberg 27 KTH STH

28 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Laborationsuppgift 6. Röda och svarta kort (2) I hatten finns tre kort, ett är rött på båda sidorna, ett är svart på båda sidorna och det sista är rött på ena sidan och svart på andra. Du drar ett kort från hatten och ser att den ena sidan av kortet är rött. Hur stor är sannolikheten att även andra sidan är rött? Skriv ett program som simulerar försök, sådana att första steget i försöket ger ett kort med röd sida och sedan tittar på kortets andra sida. Är den andra sidan också röd anses försöket lyckat. Den sökta sannolikheten p erhålles sedan genom p = l/10000, där l är antalet lyckade försök. Laborationsuppgift 7. Triangeln (2) Från början har vi en 1 meter lång stav, som vi bryter på två slumpmässigt valda ställen. Figur 8.6: När staven bryts på detta sätt är det möjligt att sammanfoga bitarna till en triangel Hur stor är sannolikheten att vi med de tre bitarna, som bildas, kan skapa en triangel? Skriv ett program som simulerar försök och som räknar antalet lyckade försök. Med hjälp av detta tal kan du sedan bestämma sannolikheten för att en triangel kan skapas av de tre bitarna. De två slumptalen, s 1 och s 2, som du behöver för att ta reda på var staven bryts bör vara reella 0 s 1, s 2 < 1, se ovan. Laborationsuppgift 8. Hattar och Gubbar (2) Efter en fest, när de n gubbarna skulle gå hem tog de bara slumpmässigt en hatt i garderoben. Hur många fick rätt hatt? Skriv ett program som gånger genomför försöket. Efter varje försök bokför programmet hur många av gubbarna som fick rätt hatt. När alla försöken är simulerade skrivs en tabell med antalet träffar och hur många gånger det inträffat ut. Detta är svaret på problemet Antalet hattar och gubbar, n, kan ges som en global konstant i programmet. Testa ditt program med n = 20. Laborationsuppgift 9. Ess i leken (2) Som bekant finns i en vanlig kortlek 4 ess bland de 52 korten. Sannolikheten för att, när man drar fyra kort, alla är ess kan enkelt bestämmas. Problemet är nu att man vill ta bort kort från leken, så många att sannolikheten för att de fyra essen ska dras först är nära Håkan Strömberg 28 KTH STH

29 1/1000. Frågan är nu hur många kort leken ska bestå av, inklusive de fyra essen, så att målet är så nära uppfyllt som möjligt. Skriv ett program, som genom att testa för olika antal kort, kommer fram till rätta svaret. Laborationsuppgift 10. Tärningsspelet (2) I figuren ser du spelplanen till ett vanligt tärningsspel. Som spelare får du satsa på vilket Figur 8.7: Spelplanen för tärningsspelet eller vilka nummer du vill. Därefter kastar spelledaren tre tärningar. Om alla tärningarna visar samma antal ögon och du har satsat på detta nummer får du förutom insatsen tillbaka, tre gånger det belopp du satsat i vinst. Visar två tärningar det antal ögon du satsat på får du insatsen och två gånger pengarna tillbaka. Då en tärning visar samma antal ögon som ditt nummer får du insatsen plus lika mycket tillbaka. Hur går detta spel i långa loppet? Har spelaren eller banken övertaget? Besvara dessa frågor genom att simulera spel med ett C-program där du satsar 1 kr i varje spel. Programmet ska presentera hur stor vinsten eller förlusten blev. Laborationsuppgift 11. Största talet (2) I en hatt finns 100 kort på vilka det står ett positivt heltal, alla olika. Man vet inte vilket tal som är störst eller något annat om talen. Uppgiften består nu i att plocka kort från hatten, ett i taget, tills man blir nöjd, då man kan kvittera ut lika många kronor som talet på kortet. Problemet är att man inte kan ångra sig man kan aldrig gå tillbaka till ett kort som man tagit tidigare man kan bara stanna eller ta ett nytt kort! Vilken strategi, ska man använda sig av för att ha största chansen att få kortet med största beloppet? En möjlighet, det är den strategin vi ska följa här, kan vara att via ett stort antal försök ta reda på hur många gånger rekordet slås när man drar alla de 100 korten. Att rekordet slås betyder att man just drar ett kort, vars tal, är större än alla tidigare dragna korts tal. När man vet hur många gånger rekordet oftast slås under ett försök, är det bara att följa denna strategi och man bör ha en hyfsad chans att nå ett högt belopp. Skriv nu ett program som gör försök och efter varje försök noterar antalet gånger rekordet slogs. När alla försöken är genomförda ska programmet skriva ut en tabell med antal rekord och antalet gånger detta inträffade. Ur denna tabell är det sedan tänkt att man ska välja det antal rekord som har den största frekvensen. Håkan Strömberg 29 KTH STH

30 8.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Laborationsuppgift 12. Lottorader (2) När man spelar på Lotto gäller det att för en rad välja 7 olika tal bland talen 1 till 35. Under en tid har jag märkt att det är ganska vanligt att åtminstone två tal i veckans rätta rad ligger i sekvens, till exempel både talen 13 och 14 finns med. Nu är frågan hur stor är sannolikheten att veckans rad innehåller minst två tal i sekvens. För att kunna besvara den frågan måste du också kunna ta reda på hur många olika lottorader det finns totalt. Skriv ett program som beräknar den eftersökta sannolikheten. Laborationsuppgift 13. Gambler (2) Kalle har i sin ägo 10 kr. Han singlar slant, och varje gång myntet visar krona vinner han 1 kr, men om myntet visar klave förlorar han 1 kr. Spelet slutar när Kalle har 100 kr eller när han inte har några pengar alls kvar. Simulera sådana spel och ange hur stor sannolikheten är att Kalle blir bankrutt. Simulera därefter sådana spel, där Kalle istället slutar när han har 50 kr. Hur beror ruinsannolikheten på startkapitalet s och slutmålet m? Laborationsuppgift 14. Leksakerna (2) På McDonalds kan man köpa Happy Meal och då får man med en rolig leksak. Det finns tio olika leksaker. En sak som irriterar många föräldrar är att man ofta måste köpa fler än tio Happy Meal för att få minst en leksak av varje slag. Simulera sådana inköpsserier och bestäm väntevärdet av antalet Happy Meal som måste köpas för att man skall få minst en leksak av varje slag. Laborationsuppgift 15. Noblesse (2) En kartong Noblesse håller runda chokladplattor fördelade i fyra fack om vardera åtta plattor. Du väljer ett fack på måfå och äter upp översta plattan; detta upprepas tills något fack är tomt. Hur många chokladplattor har i genomsnitt ätits? Besvara frågan genom att simulera denna process gånger. Laborationsuppgift 16. Flygplanet (2) En gammal tant köper en flygbiljett för att åka och hälsa på sin son. Hon kliver på planet först av alla. Eftersom hon ser dåligt kan hon inte läsa stolsnumret på sin biljett, utan sätter sig på måfå någonstans. Resten av passagerarna sätter sig på sin egen plats, om inte denna är upptagen för då väljer de slumpmässigt någon ledig stol. Vad är sannolikheten att den sista passageraren sitter på rätt plats? Antag att antalet passagerare är 100, och simulera scenariot gånger. Håkan Strömberg 30 KTH STH