kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

Transkript

1 Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Kvoten, till vilken vi använder beteckningen k, är i exemplet ovan k = därför att bland andra 1 = 4 = 3 16 = = De två sista talen finns med längre fram i talföljden än vad som här visas, eller? Vi använder, som tidigare, a med ett index (ordningsnummer) för att beteckna enskilda tal i följden a 1, a, a 3...a n 1, a n, a n+1,... Det är alltså kvoten mellan två på varandra följande tal som ger k k = a 3 a = a n+1 a n Kvoten k behöver inte vara ett heltal. Vilken är kvoten i denna talföljd? 1, 1 3, 1 9, 1 7, 1 81,... Jo den är k = a 1 3 = a 1 1 = 1 3 Samma resultat får vi då vi tar två andra tal k = a a 4 = = 7 81 = 1 3 Man kan konstruera en formel som direkt ger det n:e talet. Vi utgår i nästa exempel från talföljden:, 4 3, 8 9, 16 7, 3 81,... Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Först måste vi bestämma kvoten k k = 4 3 = 4 6 = 3 Det finns oändligt många geometriska talföljder med k =. Här är en annan: 3 1, 3, 4 9, 8 7, 16 81,... Alltså måste vi ha mer information i vår kommande formel för att få rätt talföljd. Speciellt är det första talet a 1 olika i de båda talföljderna. Om vi känner a 1 och k kan vi bestämma a = a 1 k. Känner vi a kan vi bestämma a 3 = a k. Det betyder att om vi är tålmodiga så kan vi ta reda på vilket tal som helst i talföljden med denna metod. Men observera att eftersom a 3 = a k och a = a 1 k, så måste a 3 = a 1 k k. Nu kan vi ställa upp formeln Vi testar på den senaste talföljden ovan och vill där ha reda på det 6:e talet. Vi får ( ) 6 1 a 6 = 1 = 3 3 = 3 43 Samma resultat som vi får, om vi utgår från a och multiplicerar med k Den här formeln lägger vi så på minnet: a 6 = a k = = 3 43 Nu över till summan av talen i en geometrisk talföljd. Vi återvänder till den inledande talföljden och vill bestämma summan Summan är bildad av ett ändligt antal tal. När vi beräknade aritmetiska summor var detta nödvändigt, men för geometriska summor är detta inte nödvändigt då k < 1. Mer om detta senare i ditt matematiska liv. Vi kan skriva om talen i denna summa till s a = Vi skapar nu en summa s b, där alla elementen multipliceras med kvoten k, som här är k =. Vi får s b = = Håkan Strömberg KTH Syd

3 Summan s b blir då k = gånger så stor som s a, s a = s b, som är samma sak som s a = s b s a. Detta betyder att om vi drar summan s a från summan s b så får vi s a. Till handling: s a = s b s a = ( ) ( ) = 6 0 = 64 1 = 63 Just därför att vi valde k = blev räkningarna speciellt enkla. Vi tar ett nytt exempel med k = Detta är en ganska kort men dock en geometrisk summa (serie). Vi konstaterar att Vi kallar summan s a och skriver om den k = 16 4 = 4 s a = Vi bildar en summa till, där varje term är k = 4 gånger större. s b = = Då s b = 4 s a, bildar vi summan genom 3s a = s b s a. 3s a = s b s a = ( ) = ( ) = = 6 4 = Vilket ger s a = = 84. Nu är det dags att presentera den generella formeln, som 3 man kan visa på motsvarande sätt s n = a 1(k n 1) k 1 1 Skriv de första talen till den geometriska talföljden. Vilken är den konstanta kvoten k? a n = 6 n 1 Vi sätter i tur och ordning in n = 1... och får 6, 1, 4, 48, 96 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Ange det 10:e talet i den geometriska talföljden där första talet är 00 och kvoten 1 3 Vi använder direkt formeln som ger 3 Beräkna summan a 10 = 00 ( ) = n k=0 för n = och upptäck ett mönster som alla programmerare måste känna till. De 4 summorna vi ska bestämma, klarar vi utan att använda, någon formel Det eftersökta mönstret är att k = = = = 63 n k = n+1 1 k=0 4 Beräkna summan av 10 tal i den geometriska talföljd, som startar med 1000 och där k = 1.07 Nu är det dags för formeln s 10 = 1000( ) = Nu är frågan: Vad har vi räknat ut? Finns det någon praktisk tolkning? s 10 = Varje nyårsafton, i 10 år, sätter jag in 1000 kr på banken. Efter den andra nyårsafton har jag 000 kr plus 7% ränta av de 1000 kr som stått inne i ett år, alltså 070 kr. Nästa nyårsafton har jag först och främst 3000, därtill kommer först räntan på de 1000 kr som varit innestående i ett år, det vill säga 70 kr och sedan räntan på beloppet 1000 kr som funnits på kontot i två år 1000, som är Totalt har jag vid den tredje nyårsaftonen = på banken. Eller varför inte se det så här: Den sista termen motsvarar den första 1000-lappen som jag satt in för 9 år seden och den första termen motsvarar den 1000-lapp som jag satt in idag (sista nyårsafton), som ännu inte hunnit ge någon ränta. Mer om detta i nästa föreläsning. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Du vet att första talet i en geometrisk talföljd är och att kvoten är 3. Ta reda på vilket ordningsnummer n, talet har i denna följd. Vi utgår från formeln och fyller i det vi känner till och får följande ekvation: = 3 n 1 3 n 1 = lg 3 n 1 = lg31441 (n 1) lg3 = lg31441 n = lg lg3 n = 13 Även om inte dosan får detta resultat exakt kan man ta reda på att (hur vet jag dock inte) = 3 1 Svar: n = 11 6 Beräkna den geometriska summan Vad betyder summan om vi vill ge den en ekonomisk betydelse? a 1 = 000, k = 1.1 och n = 8. Vi får med summaformelns hjälp s 8 = 000(1.18 1) = 87 Vi sätter in 000 kr på banken varje år till 10% ränta och har efter 7 år och 8 insättningar har vi 87 kr. 7 Vilka talföljder är geometriska a), 8, 11, 14, 17 b) 64, 48, 36, 7 c) 3, 40, 0, 6. d) 4,, 7, 10, 14 a), 8, 11, 14, 17 Nej b) 64, 48, 36, 7 Ja k = 3 4 c) 3, 40, 0, 6. Ja k = 4 d) 4,, 7, 10, 14 Nej Håkan Strömberg KTH Syd

6 8 I en geometrisk talföljd är kvoten k = 3 och a 4 = 79. Bestäm a 1 Vi använder formeln och får ekvationen ( ) = a 1 a 1 = ( ) a 1 = a 1 = 16 9 Bestäm första talet i en geometrisk talföljd där a 7 = 916 och a 11 = Om vi sätter b 1 = a 7 och b = a 11 och går vidare med talföljden b får vi med hjälp av formeln b n = b 1 k n 1 ekvationen = 916 k 1 k 4 = k 4 = 81 k = ± 4 81 k 1 = 3 (k = 3) Återstår att bestämma a 1. Vi har nu k = 3, a 7 = 916 och n = 7. Med formelns hjälp får vi 916 = a a 1 = a 1 = 4 Svar: a 1 = 4 10 Beräkna 100 n=0 Summorna som åsyftas är ( ) n 4 och n=0 ( ) ( ) n 4 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 och De bestäms med hjälp av s 101 = ( 1 ( ) 00 4 ( ) ) (1 4 ) och Resultatet blir s 01 = ( 1 ( ) ) 01 4 (1 4 ) s s Skriv de fem första talen i den geometriska talföljden, där första talet är 3 och kvoten. Skriv de fyra första talen i den geometriska talföljden, där första talet är 3 och kvoten 1. 3 Beräkna det 3:e talet i en geometrisk talföljd där a 1 = 104 och k = 1 4 I en geometrisk talföljd är det första talet 31 och det 10:e talet Beräkna kvoten i den geometriska talföljden. Bestäm summan av de 10 första talen i den geometriska talföljden 1, 3 4, 9 16, 7 64, Finns talet i den geometriska talföljden 7, 14, 8, 6, Genom att använda formeln gånger för n = 1... får vi 3, 1, 7, 37, 187 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Genom att använda formeln 4 gånger för n = får vi = 3 3, 16, 8, 4 ( ) n Med hjälp av formeln får vi ekvationen a 3 = 104 ( ) = = 31 k 10 1 k 10 1 = k 9 = 1 k = 9 1 k = Kvoten är lätt att finna, k = 3, n = 10 och a 4 1 = 1, denna information smäller vi in i formeln s 10 = 1(1 ( 3 10) 4) som ger s kan med lätthet avrundas till s 10 = 4 6 Med hjälp av formeln får vi ekvationen = 7 n 1 n 1 = 114 lg n 1 = lg114 (n 1) lg = lg114 n = lg lg n Svaret är NEJ, eftersom det krävs att ordningsnumret är ett heltal. Håkan Strömberg 8 KTH Syd