Akilles och sköldpaddan - en introduktion till

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

2 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 1 (13) Introduktion De gamla grekerna hade ett problem: tvärt emot all erfarenhet borde rörelse vara en omöjlighet. För att gå en viss sträcka, måste du nämligen först gå halva sträckan, sedan hälften av återstoden. Därefter hälften av det som återstår för att sedan gå hälften... Man har alltså alltid en bit kvar, och kan därför aldrig komma fram. Tyckte Zenon från Elea (i Italien!) och andra greker, som ville tolka världen utifrån logiska resonemang, inte utifrån vad de verkligen observerade. I deras värld gav sinnena oss en illusion av världen, och den sanna kunskapen kunde bara fås genom logikens lagar. I det här kapitlet ska vi diskutera denna fråga matematiskt, liksom den närbesläktade frågan om varför Akilles verkligen hinner ifatt sköldpaddan som startar före honom. Det handlar om geometriska talföljder, geometriska summor och geometriska serier. Och så handlar det om varför vi behöver en ordentlig definition av gränsvärden. Däremot gör vi ingen mer ingående analys av gränsvärden utan håller huvuddelen av diskussion på en mer intuitiv nivå. Lite som matematiken var på 1700-talet. Geometriska talföljder I många sammanhang mäter man en storhet vid upprepade tillfällen. Om vi sätter in ett kapital på ett bankkonto med en viss årlig ränta, så är vi kanske intresserade av hur mycket pengar kontot innehåller efter ett år, efter två år, osv. Inom ekologin kan man vara intresserad av att inventera ett visst djurbestånd i ett område en gång om året under ett antal år, eller att mäta antalet bakterier i en kultur en gång dagligen för att se effekten av ett antibiotikum. Om vi betecknar det vi vill mäta med a (t.ex. antalet kronor på bankkontot, eller antalet djur i området), så är det naturligt att införa ett index för att specificera vid vilket tillfälle vi mätte storheten. Detta ger oss en talföljd a 1, a 2, a 3,..., a n,..., där a n betecknar mätresultatet i mätning nummer n. En sådan talföljd skriver vi ofta kortare {a n } 1, eller t.o.m. bara {a n } om det är givet vilka index som gäller. Ofta är det lämpligt att börja numreringen så att första talet i talföljden blir a 0, så att vi skriver den som {a n } 0. Man kan också börja på andra index i sviten; vi kan även tänka oss negativa tal som index.

3 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 2 (13) Exempel 1 Om vi sätter in kapitalet K kr på en bankbok med 100p procents ränta (detta betyder att t.ex. 12% ränta svarar mot p = 0.12), så har kapitalet vuxit med pk kr på ett år. Efter ett år har vi därför K + pk = (1 + p)k kr på kontot. Låt nu a n beteckna hur många kronor vi har på kontot efter n år. Här är det lämpligt att börja med a 0 = K. Nästa tal i serien, kapitalet efter ett år, ges av a 1 = (1 + p)k. Efter ytterligare ett år, två år efter insättningen, har detta kapital vuxit till a 2 = (1 + p)a 1 = (1 + p) 2 K. Upprepar vi detta finner vi till slut att efter n år har vi kronor på kontot. En talföljd {a n } som är sådan att a n = (1 + p)a n 1 =... = (1 + p) n K a n+1 = ra n för alla n, kallas en geometrisk talföld med kvoten r. Om vi startar med a 0 = a blir denna svit a, ar, ar 2, ar 3,... I exemplet ovan har vi alltså en geometrisk talföljd med kvoten r = 1 + p. Exempel 2 Att låna pengar är lite mer komplicerat än att låna banken pengar vad gäller ränteberäkningar. Banken har nämligen kommit på att man tjänar mer pengar om man lägger på räntan flera gånger per år. Man säger då att man kapitaliserar räntan vi de olika tillfällena. Om vi lånar K kronor till en årsränta av 12% [1] och vi antar att banken kapitaliserar fyra gånger om året, betyder det att de lägger till 12/4 = 3 procents ränta varje kvartal. Den totala räntan efter ett år som ska betalas är då inte 12% utan kapitalet har ökat med en faktor ( ) 4 = , alltså 12.55%. Man kallar de 12% för nominell ränta, medan 12.55% är den faktiska räntan. I verkligheten kapitaliseras dock lånet inte fyra gånger om året utan hela tiden. Om vi tänker oss att det kapitaliseras varje dag, som det finns 365 av, har lånet gått upp med en faktor ( )365 = , vilket svarar mot 12.75% ränta. Inga stora skillnader på kort tid, men många bäckar små.. Anmärkning Om vi verkligen vill lägga på räntan hela tiden, måste vi använda oss av exponentialfunktionen.

4 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 3 (13) Hur mycket effekten av en ökning av en dos av t.ex. en medicin blir, bestäms ofta av den relativa ökningen av denna. Om en dos på 10 mg ökas med 5 mg är det troligt att man märker en skillnad i effekt. Om en dos på 100 mg ökas med 5 mg kommer ökningen i effekt troligen att vara mycket mindre. I det förra fallet har vi en ökning på 50%, i det senare en på 5%. En konsekvens av detta är att när man testar olika doser av en medicin, är det naturligt att välja dessa så att de bildar en geometrisk serie. Exempel 3 Ett sätt att behandla vissa allergier är s.k. hyposensibilisering. Det innebär att det allergiframkallande ämnet (allergenet) ges i ständigt ökande doser under en längre tidsperiod. Man börjar med en låg dos och tanken är att individen ska kunna vänjas vid allergenet så att den allergiska reaktionen försvinner. En patient ska få 30 injektioner med en veckas mellanrum mellan varje injektion. Sista veckan ska han få enheter och man vill, av rädsla för en allergisk reaktion, ge en startdos på 5 enheter. Om man väljer att administrera doser som utgör en geometrisk serie, hur ska kvoten väljas? Villkoret är att 5r 29 = r = = Vi ska alltså öka dosen med 41% mellan varje administrering. Dosen den n:te injektionen blir n 1. Inom ekologin dyker geometriska talföljder upp i det som kallas Malthus modell för en population. Låt oss betrakta en insektspopulation som har åtskilda generationer och låt a n beteckna antalet individer i populationen i generation n. Malthus enkla modell är då att vi antar att a n+1 = ra n, där r utgör det genomsnittliga antalet ungar per individ i varje generation (som alltså antas vara konstant). Om r > 1 växer en sådan geometrisk talföljd över alla gränser, vilket vi skriver som a n då n. Det är lätt att förstå intuitivt: om varje individ i genomsnitt får mer än en unge, växer populationen över alla gränser. Om istället 0 < r < 1 har vi en geometrisk talföljd som går mot 0 då n går mot oändligheten: a n 0 då n. Även det är lätt att förstå intuitivt: om varje individ i medeltal får färre än en unge, kommer populationen att dö ut. Anmärkning Thomas Robert Malthus var en engelsk präst som kanske är mest känd för sin bok An Essay on the Principle of Populations som utkom I den framkastade han teorin att befolkningen typiskt växer geometriskt, medan födoresurserna endast kan tillväxa linjärt med tiden. Om därför inget görs politiskt för att ändra detta, t.ex. genom födelsekontroll, kommer befolkningen att växa fortare än maten, vilket leder till fattigdom och svält. Idén med födelsekontroll föll dock inte i gjord jord på den tiden!

5 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 4 (13) Geometriska summor Vi ska nu summera talen i en geometrisk talföljd. För att motivera varför börjar vi med ett exempel, som är en modifikation av vårt första exempel ovan. Exempel 4 Antag att vi sätter in kapitalet K till årsräntan 100p% varje år. Hur mycket har vi då på banken n år efter första insättningen? Vi har sett att första insättningen växer till (1 + p) n K kronor på n år. Den andra insättningen har på samma sätt vuxit till (1+p) n 1 K kronor osv. Det totala kapitalet på kontot är alltså K + (1 + p)k + (1 + p) 2 K (1 + p) n K kronor, alldeles efter den senaste insättningen. Ett alternativt sätt att resonera för att få samma resultat är att låta s n beteckna summan på kontot efter n år (där vi sätter s 0 = K). Då gäller att det som finns på kontot ett visst år är årets insättning plus det som fanns förra året, med tillagd ränta. Vi kan uttrycka detta som s n+1 = K + (1 + p)s n. Att det leder till summan ovan är lätt att se och lämnas åt läsaren. Den talföljd {s n } som definieras av den s.k. rekursionsformeln s n+1 = a + rs n, s 0 = a, kallas den geometriska summan. Utskriven blir den s n = a + ar + ar ar n = a Här använder vi summasymbolen för att kortare beteckna en summa: T.ex. har vi att a m + a m a n = r k. (1) a k. k=m 5 2 k = = = 62. k=1 Summan (1) kan vi beräkna med ett enkelt trick: multiplicera med r och jämför summorna (vi tar a = 1): s n = 1+ r + r 2 + r r n rs n = r + r 2 + r r n +r n+1 s n rs n = r n+1.

6 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 5 (13) Vi ser alltså att (1 r)s n = 1 r n+1, så om r 1, så kan vi dividera med (1 r) och få att s n = (1 r n+1 )/(1 r). Explicit har vi därför formeln för den geometriska summan: r k = 1 rn+1 1 r. När r = 1 blir summan naturligtvis lika med n + 1. Exempel 5 För kontot i exemplet ovan har vi alltså följande uttryck för hur mycket pengar där finns: 1 (1 + p)n+1 K 1 (1 + p) = K (1 + p)n+1 1 p kronor. Anmärkning Ett alternativt sätt att bevisa formeln för den geometriska summan bygger på så kallad induktion. Man visar då först formeln för n = 0. Därefter visar man att den är sann för n = k + 1 om den är sann för n = k. Eftersom den är sann för n = 0, blir den då sann för n = 1, och eftersom den är sann för n = 1, blir den sann för n = 2, o.s.v. Därmed kan vi dra slutsatsen att formeln är sann för alla n (genom att hänvisa till ett axiom, induktionsaxiomet, som tillåter oss att dra denna slutsats). I vårt fall är de två stegen i induktionsbeviset a) Den är sann för n = 0 därför att summan är då r 0 = 1 och högerledet är (1 r)/(1 r) = 1, b) Antag att formeln gäller för n = k. Då gäller att k+1 r i = i=0 k i=0 r i + r k+1 = 1 rk+1 1 r + r k+1 = 1 rk+2 1 r. Här använde vi induktionsantagandet i andra likheten. Resultatet är alltså att formeln är sann för n = k + 1. Därmed har vi visat att formeln gäller i allmänhet. Vi avslutar med en variation på lånetemat, nämligen så kallade annuitetslån. Exempel 6 Vi vill ta ett lån på 100 kr som ska betalas tillbaka på fem år med en årsränta på 9%. Kapitaliseringen sker månadsvis, så skulden s n efter n månader ges av s n = Kr n, K = 10 5, r = /12 = Eftersom den totala låneperioden är 60 månader betyder det att om vi betalar tillbaka skulden efter fem år ska vi betala s 60 = = kronor.

7 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 6 (13) Men vi vill inte betala tillbaka det på det sättet. Vi vill istället ta ett annuitetslån så konstruerat att vi varje månad betalar in ett belopp a så stort att när fem år gått är skulden betald. Om vi nu låter a n vara skulden efter n månader, så har vi alltså att a 0 = K (det är ju startskulden) och vi ska välja amorteringen a så att a 60 = 0. Om skulden efter n månader är a n, så kommer denna att stiga till ra n nästa månad. Men samtidigt kommer vi att betala in amorteringen. Vi har alltså att a n+1 = ra n a, a 0 = K. Detta är inte samma typ av ekvation som vi hade ovan. Men vi kan lösa den på motsvarande sätt: a n = ra n a = r(ra n 2 a) a = r 2 a n 3 (a + ar) = r 2 (ra n 3 a) (a + ar) = n 1 r 3 a n 3 a(1 + r + r 2 ) =... = r n a 0 a r k = Kr n a rn 1 r 1. Alternativt tar vi det från andra hållet: a 0 = K, a 1 = rk a, a 2 = r(rk a) a = r 2 K (a + ra), a 3 = r(r 2 K (a + ra)) a = r 3 K (a + ra + r 2 a), och så vidare. Detta leder till samma formel. Villkoret på a är nu att a 60 = 0, alltså att Kr 60 = a r60 1 r 1 a = K(r 1)r60. r 60 1 Med våra val av K och r innebär detta att a = kronor. Det är alltså den månatliga inbetalningen. Anmärkning Ett alternativt sätt att resonera är att man sätter in alla amorteringarna på ett speciellt konto med samma ränta som låneräntan. Det som finns på kontot är då en geometrisk summa, och den ska vara lika med den totala låneskulden efter 60 månader utan amorteringar. Det är samma räkningar som ovan. Den geometriska serien och Akilles lopp Det är tämligen uppenbart att r n då n om r > 1, men att r n 0 då n då 0 < r < 1. T.ex. gäller att 2 n då n, medan ( 1 2 )n = 1 0 då n. Det 2 n följer att r n = r n 0 då n om r < 1. Från diskussionen i föregående avsnitt vet vi dessutom att r k = 1 rn+1 1 r, r 1.

8 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 7 (13) Om vi därför låter n, så ser vi att r k = 1 1 r om r < 1. Denna oändliga summa kallas den geometriska serien [2]. Anmärkning Den geometriska serien gäller inte för andra r, vilket vi ska titta närmare på längre fram i detta kapitel. Man säger att serien konvergerar då r < 1 men divergerar annars. Exempel 7 Vi återvänder till Zenons problem som antyddes i inledningen, vilket var att vi alltid måste gå hälften av det som återstår innan vi kommer fram. Det betyder att sträckan vi gått efter n steg a n uppfyller rekursionsformeln med a 1 = 1/2. Det följer att a n+1 = a n (1 a n) = a n a n = (1 2 ) ( 1 2 )n = 1 1 ( 1 2 )n och då n ser vi att a n 1. Med andra ord: = 1 ( 1 2 )n som sig bör (1 2 ) ( 1 2 )n +... = 1, Anmärkning Man kan tycka att detta är självklart. Men tänk dig att det finns en lampa som kan vara tänd eller släckt. Den är släckt när du startar, men när du gått första delsträckan tänds den. Sedan släcks den efter nästa delsträcka, varefter den tänds igen efter den följande. Och så vidare, i det oändliga. När du kommit fram, är lampan då tänd eller släckt? Det finns olika sätt att förstå den geometriska serien. Ett illustreras i figuren nedan: C E F A 1 r D r r 2 r 2 r3 r 3 r 4 r 5 B

9 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 8 (13) Här ser vi att trianglarna ABC och ECF är likformiga, eftersom de har samma vinklar. Sidan AC, som har längden 1, förhåller sig därför till sidan EF, som har längden 1 r, på samma sätt som sidan AB förhåller sig till sidan CE. Sidan CE har längden ett, medan sidan AB har längden 1 + r + r 2 + r = r k. Med andra ord r k = 1 1 r. Relaterat till detta är den klassiska paradoxen med Akilles och sköldpaddan. Exempel 8 Hjälten från Iliaden, den snabbfotade Akilles, ska springa ikapp med en sköldpadda. Akilles springer med en hastighet v A km/h, som är större än den sköldpaddan hastighet v S rör sig med. Sköldpaddan får därför ett försprång på 1 km. Kommer Akilles någonsin att hinna ifatt sköldpaddan? Om han gör det, när sker det? Antikens greker hade som sagt problem med detta det borde aldrig hända! Varje gång Akilles kommit dit sköldpaddan var sist, har denne hunnit lite vidare, så han måste hela tiden ligga lite före. Mer precist, det tar Akilles 1/v A timmar att springa 1 km, alltså komma till sköldpaddans startplats. Under den tiden har sköldpaddan hunnit springa v S /v A = a < 1 km. Det tar nu Akilles a/v A timmar att springa den sträckan, och under tiden har a sköldpaddan hunnit v S v A = a 2 km. Den totala sträckan som Akilles behöver springa för att komma ifatt sköldpaddan är alltså s = 1 + a + a = a k km. (Men kommer han då någonsin ifatt sköldpaddan?) Men vi kan också resonera på ett annat sätt. Låt τ vara tidpunkten då Akilles hinner ifatt sköldpaddan. Då ska det gälla att 1 + v S τ = v A τ τ = 1 v A (1 a).

10 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 9 (13) På den tiden har Akilles sprungit s = v A τ = 1 1 a kilometer. Jämför vi de två lösningarna, ser vi att om 0 < a < 1. a k = 1 1 a Detta exempel ger ett sätt att förstå den geometriska serien, men förklarar den de gamla grekernas problem? Det lämnas åt läsaren att ta ställning till själv [3]. Vi avslutar så med ett annat sorts exempel. Exempel 9 Vid rysk roulette används en revolver med ett roterbart magasin som rymmer sex skott. Revolvern laddas med ett enda skott. Förste man, här kallad A, roterar magasinet, riktar revolvern mot sitt huvud och trycker av. Om han därefter fortfarande är i livet, räcker han revolvern till den andre duellanten, som vi kallar B, som nu gör samma sak som A. Om han också överlever lämnar han tillbaka pistolen till A som får sitt andra försök. På detta sätt skjuter A och B växelvis tills ett skott går av. Hur stor är sannolikheten att A förlorar livet? Det finns olika sätt A kan förlora livet på: a) Han kan dö efter första skottet. Sannolikheten för det är 1/6. b) Han kan dö i sitt andra skott. För att det ska hända måste han först ha skjutit blankt, vilket chansen är 5/6 för. Sedan måste även B ha skjutit blankt, vilket också har sannolikheten 5/6. Därefter ska han skjuta skarpt, vilket sker med sannolikheten 1/6. Sannolikheten för att precis detta ska hända är = 1 6 (5 6 )2. c) Han kan dö i sitt tredje skott. Då måste det ha avfyrats fyra blankskott innan det blir ett skarpt, och sannolikheten för det är d) osv 1 6 (5 6 )4. Vi ser nu att sannolikheten att A ska dö kan beskrivas av den oändliga summan 1 6 (5 6 )2k = 1 6 ( )k = = Sannolikheten att B förlorar livet är därför 1 6 = 5, dvs andre man har som väntat en något större chans än förste man att överleva.

11 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 10 (13) Anmärkning En mindre morbid version av detta spel är att ha sex glas, av vilka 5 innehåller vatten och ett innehåller vodka. Spelarna turas om att ta ett glas och dricker upp innehållet. Den som får vodkan vinner (i motsats till i det klassiska spelet, där hen förlorar). Om gränsvärden och oändliga serier Vi såg ovan att om r < 1 så gäller att r k = 1 1 r. I början när den är formeln användes glömde man ofta bort villkoret att r < 1 och skrev t.ex. saker som att n +... = = 1 2, vilket uppenbarligen är nonsens. I våra dagar har en motsvarande formel cirkulerat som ett internetvirus, nämligen att summan av alla positiva heltal är 1/12 [4]. Grunden till att sådant kan hävdas är att man gör som ibland hände på 1700-talet: man använder formler för oändliga serier när de inte får användas. Men för att verkligen få klart för oss när vi kan använda en sådan formel och när vi inte kan göra det, behöver vi en en ordentlig definition av vad det betyder att a n a då n. Problemet illustreras av talföljden 1, 1, 1, 1,..., ( 1) k,... Har den ett gränsvärde? Varannan gång är den 1 och varannan gång 1, så genomsnitt är den 0. Är det gränsvärde? På samma sätt skulle vi kunna argumentera för att eftersom varannan av partialsummorna 1 + ( 1) ( 1) ( 1) k +... = 1 2 s n = ( 1) k är 0 och varannan är 1. Faktum är att om det vore på det sättet skulle vi kunna bevisa att summan av de positiva heltalen är 1/12 på följande sätt. Exempel 10 Om vi sätter s 1 = , så ser vi att { s 1 = = = 1 2.

12 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 11 (13) Sista likheten enligt diskussionen ovan. Alltså gäller att s 1 = 1/4. Låt nu s = = k k=1 vara summan av alla de positiva heltalen. Då har vi att s s 1 = ( ) = = 4( ) = 4s. Men då följer att 3s = s 1 = 1/4 och alltså att s = 1/12! Eftersom exemplet uppenbarligen ger ett absurt resultat, ser vi att vi måste vara mer noggranna. En sådan noggrannhet börjar med att vi gör en ordentlig definition av vad vi menar med att a n a då n. Vårt sätt att tänka på ett sådant gränsvärde antyder en dynamisk definition av begreppet gränsvärde som en sorts rörelse: när vi rör oss genom heltalen 1, 2, 3,... och observerar uppförandet av talföljden a n, så vill vi kunna observera händelsen a n respektive händelsen a n 0. Detta är emellertid svårt att formulera matematiskt, och för att få en fungerande definition har man valt att vända på turordningen: vi tittar inte först på n och sedan på a n, utan baserar definitionen på vad vi måste göra för att visa gränsövergången. A a n N n Definition 1 Att a n då n. betyder att oavsett hur stort A vi än väljer, finns det alltid ett N (som beror på A) så stort att a n A om n N. Vi skriver detta alternativt som lim a n =. n Anmärkning Notera att det är viktigt att a n A för alla n sådana att n N. Exempel 11 För att visa att r n då n om r > 1 gör vi som följer: r n > A n ln r > ln A n > ln A ln r = N. Vi har också en definition på vad som menas med att en talföljd går mot noll.

13 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 12 (13) Definition 2 Att a n 0 då n. betyder att oavsett vilket (litet) ɛ > 0 vi än väljer, går det alltid att finna ett heltal N (som beror på ɛ) sådant att Som alternativ beteckning används här a n < ɛ om n N. lim a n = 0. n Den kanske viktigaste tillämpningen är följande exempel. Exempel 12 För att visa att r n 0 då n om r < 1 gör vi som följer: r n < ɛ n ln r < ln ɛ n > ln ɛ ln r = N. Notera att N beror av vilket ɛ vi valde! Eftersom ln r < 0 så gäller att när vi dividerar med ln r ändras olikheten! Notera också att ln ɛ < 0 om 0 < ɛ < 1. Det vi måste göra för att visa gränsövergången är alltså följande. Vi bildar först ett smalt band kring 0, varefter vi försäkrar oss om att a n ligger i detta band om n är större än ett visst tal N som beror av hur brett bandet är. Detta ska gå oavsett hur smalt vi valde det ursprungliga bandet. a n Slutligen säger vi att lim a n = a n ǫ ǫ N n om det gäller att lim (a n a) = 0. n Att visa att en oändlig serie är konvergent innebär att vi visar att talföljden av partialsummor, s n = a k, k=1 konvergerar mot ett tal s, alltså att lim n s n = s.

14 Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden 13 (13) Exempel 13 Att den geometriska serien konvergerar då r < 1 men inte annars visar vi genom att vi använder vad vi har visat ovan. Partialsummorna kan vi beräkna till, om r 1, och dessutom vet vi att medan s n = r k = 1 rn+1 1 r, r n 0 då n om r < 1, r n då n om r > 1. För att bevisa att den geometriska summan är s = 1/(1 r) ska vi nu betrakta skillnaden s n s = r k 1 1 r = 1 r n+1 1 { 1 r 1 r = r n+1 1 r 0 om r < 1. om r > 1 Om r = 1 vet vi att summan blir oändlig, partialsummorna är ju n + 1, medan om r = 1 är partialsummorna omväxlade 1 och 0, och kan därför inte konvergera. Noteringar 1. Detta är en absurd ränta när detta skrivs, år Men matematiska exempel måste inte vara realistiska deras uppgift är att förmedla en teknik som sedan kan användas vid analys av verkliga problem. 2. En oändlig summa kallas en serie av något för författaren oklart skäl. 3. Resonemanget bygger på att Akilles verkligen hinner upp sköldpaddan. Kan vi verkligen bara anta det? 4. Ska man vara riktigt ärlig finns det ett korn av sanning i påståendet. Men inte på den form det står! Vi kan definiera en funktion ζ(z) = k=1 k z då z > 1. Sedan kan man fortsätta den som en s.k. analytisk funktion till att vara definierad även för negativa z. Den så uppkomna funktionen får värdet 1/12 då z = 1, vilket svarar mot summan.