inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men"

Transkript

1 MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder, allra först följden (a n ) 0 =, 2, 4,... där a n ges av den explicita formeln a n = 2 n. Vi skulle ha kunnat börja indiceringen med istället för 0 och skrivit (a n ), d.v.s. a, a 2, a,.... Den explicita formlen för a n blir då en annnan. Tänk själv efter hur formeln ser ut. Om man kallar första talet för a 0 eller a eller kanske något tredje, är alltså av betydelse. Betrakta nu följden (a n ) 0 =,,,,,.... Eftersom mönstret är så uppenbart kan vi utan risk för missförstånd skriva.... Det är den enda naturliga tolkningen som gäller. Men observera att t.ex.,,,,, 2,, 4, 5,... också är en talföljd. En talföljd behöver inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men finns det någon explicit formel för a n i följden (a n ) 0 =,,,,,...? Visst, det är helt OK att skriva { an = då n är jämnt a n = då n är udda () Det bestämmer talföljden fullständigt och ingen tvekan råder längre. Men om nu detta skall kallas en explicit formel är en smaksak. Kanske skulle vi kalla det för två formler, en som gäller för jämna värden på n och en som gäller för udda värden på n. Men det finns ett alternativ: a n = ( ) n (2) som du själv noga kontrollerar. Uttrycket ( ) n har man ofta nytta av. Betrakta t.ex. följden (b n ) 0 = 2, 0, 2, 0, 2,.... Kan du finna en explicit formel för denna? Jämför b n med a n. Skillnaden är uppenbar: b n a n = för alla n. Alltså b n = + ( ) n. I resten av detta avsnitt skall vi arbeta med talföljden (c n ) 0 =, 5, 7,.... Men här finns nog ingen naturligaste tolkning. Flera möjligheter är lika naturliga:, 5, 7,, 5, 7,, 5, 7,... eller, 5, 7, 7, 5,,, 5, 7,.... En precisering behövs. I själva verket fortsätter den talföljd, jag tänker på, på följande sätt (c n ) 0 =, 5, 7, 7,,... () men helt klart hur jag tänker mig fortsättningen är det inte. Jag måste precisera mig ytterligare: Min följd följer principen att varje tal är summan av närmast föregående tal och 2 gånger näst närmast föregående tal. Är det klart vad jag menar? Kanske några exempel behövs: 7 = 5 + 2, 7 = och = Nästa tal i följden är

2 c 5 = = 65. Det är lite tungt att uttrycka principen i ord. Men i symboler går det lätt: c n+2 = c n+ + 2c n gäller för alla n 0 (4) Varje tal symboliseras här av c n+2, närmast föregående tal symboliseras av c n+ och näst närmast föregående tal symboliseras av c n. Formeln (4) är ett exempel på en så kallad rekursionsformel. Det finns oändligt många talföljder som uppfyller rekursionsformeln (4), t.ex. 2,, 7,,... eller, 4, 6, 4, 26,.... Men det finns bara en talföljd som uppfyller (4) och börjar med c 0 =, c = 5. För att talföljden skall vara entydigt bestämd måste vi både ange rekursionformel och startvärden. Så här c 0 =, c = 5, och c n+2 = c n+ + 2c n för n 0 (5) Kan du beräkna c 00? Visst. Det är bara att successivt beräkna c 6, c 7, c 8,..., c 00. Men nog vore det bekvämt med en explicit formel för c n. Kanske kan man gissa sig till en formel; ett explicit uttryck som till att börja med är hypotetiskt. Jämför vi med följden, 2, 4, 8, 6, 2,... av 2-potenser, ser vi ett mönster: c n är omväxlande ett större och ett mindre än en 2-potens, åtminstone så här långt. Vi har c 0 = 2, c = 2 2 +, c 2 = 2. En inte helt orimlig hypotes är att detta gäller generellt. Det kan vi uttrycka på följande sätt: c n = { 2 n+ + om n udda 2 n+ om n jämnt eller enklare c n = 2 n+ + ( ) n+ (6) Tänk igenom detta noga. Detta är än så länge bara en hypotes. Låt oss försöka bevisa hypotesen med induktion och kalla högerledet för h n. Vi har alltså h n = 2 n+ + ( ) n+ och skall visa att c n = h n för n = 0,, 2,.... Induktionsbevis utgörs av induktionsbas och induktionssteg. Vi har c 0 = och h 0 = 2 + ( ) =. Som vi redan konstaterat tidigare är alltså c 0 = h 0. Låt oss tills vidare kalla detta för induktionsbasen. Induktionssteget uttryckte vi förra gången lite informellt på följande sätt. Visa att om k är ett lyckligt tal så är också k + ett lyckligt tal. Att k är lyckligt betyder i detta fall att c k = h k, d.v.s. att c k = 2 k+ + ( ) k+ och att k + är lyckligt betyder att c k+ = h k+, d.v.s. att c k+ = 2 k+2 + ( ) k+2. Finns det något samband mellan c k och c k+ som gör att lyckan hos k sprider sig och gör k + lyckligt? Vi har ett samband, nämligen formel (5), som uttrycker det enda vi säkert vet om talföljden. Med n = k kan vi skriva rekursionsformeln som c k+2 = c k+ + 2c k. Men denna rekursionsformel innehåller tre tal i följd och hjälper oss inte att uttala oss om ett tal bara genom att känna närmast föregående. Vi måste känna de två föregående talen. Vi försöker oss istället på följande variant av induktionssteg. 2

3 Visa att om k och k + är lyckliga så är k + 2 lyckligt (7) Att k och k + är lyckliga betyder att c k = 2 k+ + ( ) k+ och c k+ = 2 k+2 + ( ) k+2 (8) Vi skall visa, med detta som utgångspunkt, att även k + 2 är lyckligt: c k+2 = 2 k+ + ( ) k+ (9) Vi använder förstås rekursionsformeln (5) och får c k+2 = c k+ + 2c k = [enligt (8)] 2 k+2 + ( ) k (2 k+ + ( ) k+ ) = 2 k k+ + ( ) k ( ) k+ = 2 k k+2 + ( )( ) k+ + 2 ( ) k+ = 2 2 k+2 + ( ) k+ ( + 2) = 2 k+ + ( ) k+ ty ( ) k+ = ( ) k+ och vi har visat (9). Induktionssteget, i vår alternativa form, är nu klart och vi vet att om två på varandra följande tal (k och k + ) är lyckliga så är även nästa tal (k + 2) lyckligt. Induktionssteget skall tillämpas på induktionsbasen. Men som induktionsbas nöjde vi oss ovan med c 0 = h 0, som visar att 0 är lyckligt. Men det räcker inte. För att induktionssteget skall kunna tillämpas behöver vi två lyckliga tal efter varandra. Lyckligtvis har vi redan tidigare konstaterat att c = h och ytterligare några likheter. Men att 0 och är lyckliga räcker. Induktionssteget, tillämpat med k = 0 visar då att även 2 är lyckligt. Att och 2 är lyckliga ger omedelbart att är lyckligt. Och så vidare. Lyckan sprider sig till alla naturliga tal. Därmed har vi visat allmänt att c n = 2 n+ + ( ) n+ för n = 0,, 2,.... Detta exempel visar att induktionssteget kan behöva varieras jämfört med våra exempel från Dag. Det viktiga är att induktionsbas och induktionssteg är anpassade till varandra. Induktionssteget måste ha möjlighet att så att säga gripa tag i induktionsbasen. 2. En abstrakt analys. I våra första induktionsbevis var induktionssteget av följande typ: vi visar att om k är ett lyckligt tal så är k + lyckligt. I exemplet i förra avsnittet behövde vi en variant av induktionssteg: vi visar att om k och k+ är lyckliga så är k+2 lyckligt. Induktionsbasen måste anpassas efter induktionssteget, så att induktionssteget kan gripa tag i induktionsbasen och föra oss framåt. Många varianter finns. T.ex. kan ett induktionssteg vara av följande typ: vi visar att om k, k + och k + 2 är lyckliga så är k + lyckligt. För att induktionssteget skall kunna

4 användas måste vi finna tre tal i följd som är lyckliga. Induktionsbasen måste omfatta tre på varandra följande tal. Ovanstående är en abstrakt beskrivning av vad vi har ägnat oss åt hittills, men jag har utelämnat en detalj. Att k är lyckligt har hela tiden i våra exempel inneburit att en likhet av typen v k = h k är uppfylld. Gemensamt för alla våra exempel har varit att vi bevisat en likhet. Men om vi igen läser igenom den abstrakta beskrivningen ovan av induktionsbevis, ser vi att resonemanget naturligtvis håller även om lyckan är av annat slag än just en likhet. Betrakta följande påstående (n ) 2 < n för n = 2,,... (0) där det utan missförstånd bör kunna underförstås vad prickarna står för. Med summasymbol kan vi skriva olikheten som n i 2 < n. Observera att vänsterledet saknar mening i= om n < 2. Att n är lyckligt innebär att n uppfyller olikheten i (0). Vi kan även här kalla vänster- och högerled för v n respektive h n. Vi får v 2 = 2 =, v = = 5 och h 2 = 8, h = 9, vilket visar att v 2 < h 2 och v < h. Talen 2 och är alltså lyckliga i den meningen att olikheten (0) gäller för dem. Induktionssteget bör se ut så här: vi visar att om k 2 är lyckligt så är k + lyckligt. Men först några allmänna allvarsord. Det är en konst, en nyttig övning och mycket viktigt att formulera sådana här resonemang så att de är läsbara och logiskt uppbyggda. Det vanligaste nybörjarfelet är att inte göra det tillräckligt tydligt om det sagda är något redan känt, något vi just visar eller fortfarande en fråga eller ett påstående. Man anger inte uttalandets status. Jämför följande: (i) v 8 = h 8 (ii) som vi just visat är v 8 = h 8 (iii) det följer nu att v 8 = h 8 (iv) är v 8 = h 8? (v) jag påstår att v 8 = h 8 (ii)-(v) är alla godtagbara formuleringar. Läsarna lämnas inte i tvivel om vilken status det sagda har. Däremot är (i) ensamt inte en acceptabel formulering. Den är alldeles för otydlig. Vi går tillbaka nu till vårt induktionsbevis av olikheten (0). Vi har redan visat att v 2 = h 2 och v = h. Med det induktionssteg vi satsar på räcker v 2 = h 2 som induktionsbas. Läs nu det följande resonemanget noga, speciellt kursiverade ord som vi kan se som statusmarkörer. 4

5 Låt oss nu äntligen ge oss i kast med induktionssteget att visa att om k 2 är lyckligt så är k + lyckligt. Låt alltså k vara ett lyckligt tal 2, d.v.s. antag k 2 och (k ) 2 < k () Vi skall visa att k + är lyckligt, d.v.s. att (k ) 2 + k 2 < (k + ) (2) Vi får (k ) 2 + k 2 < k + k2 direkt ur induktionsantagandet (). Om vi lyckas visa att k + k2 < (k + ) () så följer också (k ) 2 + k 2 < (k+) och då har vi visat (2). Olikheten () är ekvivalent med k + k2 < k +k 2 +k+, som vi får genom att utveckla högerledet. Det räcker alltså att visa denna olikhet. Jag påstår att den är sann. Lite förenklat påstår jag alltså att k + k2 < k + k2 + k +, eller efter ytterligare förenkling att 0 < k +. Så ser påståendet ut i sin mest förenklade form. Men k 2, så 0 < k + är uppenbart sant. Därmed är mitt påstående visat och eftersom det räckte för att visa (2) så är induktionssteget klart. Därmed är hela induktionsbeviset klart ty induktionssteget kan gripa tag i induktionsbasen. 2 är lyckligt, alltså är lyckligt, alltså är 4 lyckligt och så vidare.. Ännu ett exempel. Betrakta nu följande hypotes Det finns ett positivt heltal N sådant att n! > (n + )2 n gäller för alla n N (4) Som du väl minns står n!, som utläses n fakultet, för produkten av alla heltal från upp till n, m.a.o. n! = 2 (n ) n. Vi kan också definiera n! med en rekursionsformel:! = och (n + )! = (n + ) n! för n. Låt oss kalla vänster- och högerled för v n respektive h n som vanligt. Vi har då v =, v 2 = 2, v = 6, och h = 4, h 2 = 2 och h = 2. För n =, 2, gäller alltså inte olikheten i (4), men vi har anledning tro att olikheten så småningom gäller ty vänsterledet multipliceras med allt större tal när n växer medan högerledet inte ökar lika snabbt. Låt oss vänta ett tag med ytterligare experiment och istället försöka oss på ett induktionssteg: Visa att om k är ett lyckligt tal så är k + lyckligt. Antag alltså att k är lyckligt (hittills har vi inte träffat på något lyckligt tal). Vi antar alltså 5

6 k! > (k + )2 k (5) och vill visa (k + )! > (k + 2)2 k+ (6) Använder vi (5) så får vi (k + )! = (k + )k! > (k + )(k + )2 k = (k + ) 2 2 k. Om vi lyckas visa att (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+, så är vi klara ty då följer (k + )! > (k + 2)2 k+. Men observera att det skulle kunna tänkas att (k + )! > (k + 2)2 k+ även om (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+ inte gäller. Hur som helst låt oss satsa på att visa (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+ (7) vilket är ekvivalent med (k + ) 2 > (k + 2) 2, som i sin tur kan skrivas k 2 + 2k + > 2k + 4 eller ännu enklare som k 2 >. Detta är givetvis sant om k 2. Induktionssteget fungerar alltså så snart k 2, men vi kan inte använda induktionssteget på k = 2 eftersom ju 2 inte är lyckligt. Formeln i (4) gäller ju inte för n = 2. Induktionsbasen måste vi alltså söka högre upp. Vi fortsätter och får v 4 = 24, h 4 = 80, v 5 = 20, h 5 = 92, v 6 = 720, h 6 = 448. Talet 6 är alltså det första lyckliga talet. Induktionssteget kan här gripa tag i 6 och vi sluter oss till att n! > (n + )2 n för n 6. Påståendet (4) är alltså sant, med N = Om världens bästa lärare. Det verkar kanske förmätet, men nu skall jag bevisa att jag är bäst i hela världen, eller med andra ord att så snart jag är med i en församling om säg n personer, så är jag den bäste. Om du betvivlar detta så uppmanas du att hitta felet i detta bevis. Vi börjar med induktionsbasen n =. Om jag är med i en församling av bara person, så är jag förstås bäst, så induktionsbasen innebär inga problem. Antag nu att påståendet är sant för n = k, d.v.s. att så snart jag är med i en församling av k personer så är jag bäst. Vi skall visa att detsamma gäller om jag är med i en församling av k + personer. Så låt p, p 2, p,..., p k, p k+ vara k + personer, där jag är p. Om vi utesluter p 2 så har vi k personer, nämligen p, p, p 4,..., p k, p k+. Enligt induktionsantagandet är jag bäst av dessa. Jag är alltså bättre än p, p 4,..., p k, p k+. Men är jag bättre än p 2? Visst, om vi istället utesluter p har vi k personer, nämligen p, p 2, p 4, p 5,... p k, p k+, där jag är den bäste. Jag är alltså också bättre än p 2. Kort sagt jag är bäst av p, p 2, p,..., p k, p k+, och därmed är induktionssteget också klart. Och vi drar slutsaten att jag alltid är bäst i alla församlingar. 5. Övningar. 6

7 Övning. Bestäm alla naturliga tal n som uppfyller olikheten n > 4n 2. Övning 2. Finn felet i Avsnitt 4. Övning. (dåligt induktionsbevis) Nu följer att induktionsbevis, som är uselt formulerat. Min allvarligaste invändning är att det inte finns någon text som talar om ifall en utsaga (t.ex. en likhet eller olikhet) är a) en förutsättning b) en slutsats eller c) ett ännu obevisat påstående. Med en del kompletteringar av text samt någon omstrukturering skulle beviset dock gå att rädda. I sin nuvarande form är det oläsligt. Det är din uppgift att rädda beviset. Du kan börja med att markera varje utsaga med a), b) eller c) enligt ovan. Problem. Bevisa olikheten Lösning n 2n n +, n Induktionsbas. n = 2 + = 4 = 2. Stämmer. Induktionssteg. Antag n = k k 2k k + Alltså n = k k 2(k + ) 2k 2(k + ) = k 2k + 2k 2k + 2 = (k + ) + 7 k + 4

8 2k + k + 2k + 2 k + 4 k + 4 (2k + ) k + (2k + 2) (k + 4)(4k 2 + 4k + ) (k + )(4k 2 + 8k + 4) 2k + 2k 2 + k + 6k 2 + 6k + 4 = 2k + 28k 2 + 9k + 4 2k + 24k 2 + 2k + 4k 2 + 8k + 4 = 2k + 28k k k Alltså n = k +. V.S.B. Övning 4. Granska ditt eget bevis i Övning, liksom dina bevis i övningarna till Dag, lika kritiskt och förbättra dem om så behövs. Övning 5. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 = 2, a = och a n+2 = a n+ 2a n. Beräkna a 2, a, a 4 och a 5. Gissa en allmän formel för a n. Bevisa denna formel. Övning 6. En talföljd definieras rekursivt av a 0 = 2, a = 2 och a n+2 = 2a n+ + a n. Beräkna a 2, a och a 4. Bevisa sedan att a n = n + ( ) n för n = 0,, 2,.... Övning 7. Bevisa med induktion att n > + 2n n för n = 2,, 4,... Övning 8. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 = 2, a n+ = 2 + a n. Bevisa att a n < 4 för n = 0,, 2,.... 4n 8

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor

Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?

Läs mer

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel.

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel. Logik och bevis II 3. föring Detta avsnitt handlar om olika metoder för att bevisa påståenden, och hur man kan konstruera ett bevis. I varje avsnitt finns en allmän beskrivning av metoden, varför den fungerar

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4 4.7 Vi visar först att A 2n 3 2 n 2 med ett induktionsbevis. Basfall: n 0 Vi har att 3 2 0 2 A 0, och alltså gäller likheten för n 0. Induktionssteget: Antag

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis

Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats:

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken Explorativ övning LMA100 ht 2002 MATEMATIS INDUTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Delbarhet och primtal

Delbarhet och primtal Talet 35 är delbart med 7 eftersom 35 = 5 7 Delbarhet och primtal 7 är en faktor i 35 kan skrivas 7 35 7 är en delare (divisor) till 35 35 är en multipel av 7 De hela talen kan delas in i jämna och udda

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,

Läs mer

Om plana och planära grafer

Om plana och planära grafer KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Hela tal LCB 1999/2000

Hela tal LCB 1999/2000 Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när

Läs mer

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas

Läs mer

Hur man skriver matematik

Hur man skriver matematik Hur man skriver matematik Niels Chr. Overgaard 2018-10-01 N. Chr. Overgaard Skriva matematik 2018-10-01 1 / 12 Information: Opposition och kompisgranskning En del av inlämningsuppgift går ut på att man

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken ) Explorativ övning MA00 vt 00 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober

Läs mer

2 Matematisk grammatik

2 Matematisk grammatik MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk

Läs mer

Kappa 2014, lösningsförslag på problem 5

Kappa 2014, lösningsförslag på problem 5 Kappa 2014, lösningsförslag på problem 5 Lag Spyken Roger Bengtsson, Sten Hemmingsson, Magnus Jakobsson, Susanne Tegler Problemet I det här problemet betraktas m n stora rektangulära rutnät, där m avser

Läs mer

Hur man skriver matematik

Hur man skriver matematik Hur man skriver matematik Niels Chr. Overgaard 2015-09-28 1 / 8 Opposition och kompisgranskning En del av inlämningsuppgift går ut på att man granskar och opponerar på en annan kursdeltagares lösning.

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

Om plana och planära grafer

Om plana och planära grafer Matematik, KTH Bengt Ek november 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta 1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 08.00 13.00. Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2018-10-23, lösningsförslag 1 1. (a) Sanningstabell för uttrycken p q r p q p r r q r p q 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

Kvalificeringstävling den 30 september 2014 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,

Läs mer

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga

Läs mer

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen

Läs mer

Lite Kommentarer om Gränsvärden

Lite Kommentarer om Gränsvärden Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll

Läs mer

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa

Läs mer

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att... uppfattas av manga studenter Kimmo Eriksson 12 december 1995 Matematiska institutionen, SU Att genomfora och formulera ett bevis Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter som svart. Ofta ar det

Läs mer

Programkonstruktion och Datastrukturer, lektion 7

Programkonstruktion och Datastrukturer, lektion 7 Programkonstruktion och Datastrukturer, lektion 7 Johannes Åman Pohjola & William Sjöstedt, Uppsala Universitet 9 Dec 2010 Vad har följande funktion för tidskomplexitet? fun pow2 0 = 1 pow2 n = pow2(n

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

Svar till vissa uppgifter från första veckan.

Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som 616 Talföljder på laborativt vis Vikt papper Vik ett A-4 ark mitt itu så att du får två stycken A-5 ark. Vik det en gång till på samma sätt. Hur stora och hur många är dina ark? Vad händer om du fortsätter?

Läs mer

Grafteori med inriktning på färgläggning

Grafteori med inriktning på färgläggning Stockholms Matematiska Cirkel Grafteori med inriktning på färgläggning Joar Bagge Lisa Nicklasson Institutionen för matematik KTH och Matematiska institutionen Stockholms universitet 2018 2019 Innehåll

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

Exempeltenta 3 Introduktionskurs i Matematik H1009 (1.5 hp) Datum: xxxxxx

Exempeltenta 3 Introduktionskurs i Matematik H1009 (1.5 hp) Datum: xxxxxx Eempeltenta Introduktionskurs i Matematik H1009 (15 hp) Datum: Tentamen ger maimalt 1p För godkänd tentamen krävs 6p Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar! Inga hjälpmedel tillåtna Skriv

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

Några satser ur talteorin

Några satser ur talteorin Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan

Läs mer

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2 Tentamen TMV20 Inledande Diskret Matematik, D/DI2 208-0-27 kl. 4.00 8.00 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anton Johansson, telefon: 5325 (alt. Peter Hegarty 070-5705475)

Läs mer

lösningar! ger 0 poäng.) i partiella bråk. och deras typ.

lösningar! ger 0 poäng.) i partiella bråk. och deras typ. TENTAMEN Introduktionskurs i Matematik H1009 Datum: augg 018 Tid: 8:15-10 (1.5 hp) Tentamen ger maimalt 1p. För godkändd tentamen krävs 6p. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar! Inga hjälpmedel

Läs mer

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar

Läs mer

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom 46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan

Läs mer

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Matematiska bevis Beskrivning av olika bevismetoder och hur de används av Åsa Wall Månsson 2005 - No 2 MATEMATISKA INSTITUTIONEN,

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Rekursion och induktion

Rekursion och induktion Rekursion och induktion Vi börjar med ett exempel. EXEMPEL 1 I slutet av 1800-talet presenterade den franske matematikern Edouard Lucas ett slags matematiskt pussel ( recréation mathématiques ) vars mål

Läs mer

Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.

Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0. Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet

Läs mer

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10 Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska)

Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) MITTHÖGSKOLAN TFM Tentamen 2004 MAAA98 Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 3 juni 2004 Denna tentamen omfattar 10 frågor, där varje fråga kan ge 12 poäng. Delfrågornas poäng

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Anpassning av problem

Anpassning av problem Modul: Problemlösning Del 7: Anpassning av problem Anpassning av problem Kerstin Hagland och Eva Taflin Detta är en något omarbetad text från boken: Hagland, K., Hedrén R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska

Läs mer

Matematisk problemlösning

Matematisk problemlösning Matematisk problemlösning För utveckling av personliga och professionella förmågor Linda Mattsson och Robert Nyqvist Blekinge tekniska högskola Institutionen för matematik och naturvetenskap 16 augusti

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = = Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET

Läs mer

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och

Läs mer

Om konvergens av serier

Om konvergens av serier Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana

Läs mer

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Vardagssituationer och algebraiska formler

Vardagssituationer och algebraiska formler Modul: Algebra Del 7: Kommunikation i algebraklassrummet Vardagssituationer och algebraiska formler Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Jörgen Fors, Linnéuniversitetet En viktig del av algebran

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF131 och SF130, den 10 januari 2011 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.

Läs mer

Föreläsning 6: Induktion

Föreläsning 6: Induktion Föreläsning 6: Induktion Induktion är en speciell inferensregel. En mängd är välordnad om varje delmängd har ett minsta element Exempel: N är välordnad (under ) Låt P(x) vara ett predikat över en välordnad

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer