Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4

Transkript

1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel Vi visar först att A 2n 3 2 n 2 med ett induktionsbevis. Basfall: n 0 Vi har att A 0, och alltså gäller likheten för n 0. Induktionssteget: Antag nu att det gäller för ett xt jämnt naturligt tal 2n. Visa att då gäller det också för 2n + ). Vi får A 2n+2 2A 2 2A 2n + ) 23 2 n 2 + ) 3 2 2, och alltså gäller likheten också för 2n + ). Enligt induktionsprincipen gäller därmed likheten för alla jämna naturliga tal. För de udda talen observerar vi bara att A 2 A 2n enligt ovan. 4.8 Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: n 0 Då gäller att 0 F 2i ) 0 F 2 0), och alltså gäller likheten för n 0. Induktionssteget: Antag nu att det gäller för ett xt naturligt tal n. Visa att då gäller det också för n +. Vi får F 2i ) n F 2i ) + F 2n + ) ) F 2n) + F 2n + ) F 2n + 2) F 2n + )) 9

2 och alltså gäller likheten också för n +. Enligt induktionsprincipen gäller därmed likheten för alla naturliga tal. 4.9 Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: Vi får i fallet n 4 att < 24 4! så påståendet är sant för n 4. Induktionssteg: Antag att påståendet är sant för något n med n 4. Vi ska visa att då är det också sant för n +. Genom att utnyttja induktionsantagandet och att n + ) > 4 > 2 så får vi n + )! n + )n! > n + )2 n > 2 2 n 2, vilket är precis påståendet för n +. Därmed följer det av induktionsprincipen att påståendet är sant för alla naturliga tal n > Sätt fn) n ) i2 i och gn) 2 2n. Då ska vi bevisa att fn) gn) för alla naturliga tal n >. Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: n 2. Då har vi f2) 2 i ) 2 i2 så påståendet är sant för n g2), Induktionssteg: Antag att det är sant för n och visa att då är det också sant för n +. Genom att utnyttja induktionsantagandet så får vi fn + ) i2 i ) 2 n i2 i ) ) 2 n + ) 2 fn) n + )2 n + ) 2 gn) n2 + 2n n + ) 2 n + 2n n2 + 2n n + ) 2 nn + 2) 2nn + ) n + 2 gn + ). 2n + ) 0

3 Enligt induktionsprincipen är påståendet därmed sant för alla heltal n >. 4. a) Genom att utnyttja rekursionen så får vi F x) x ) + x 2 F 2 x) x 2 + x )x ) + x 2 x 3 + x 2 2x + F 3 x) x 3 + x 2 2x + )x ) + x 2 x 4 2x 2 + 3x b) Vi sätter fn) F n 0) och gn) ) n och ska alltså visa att fn) gn) för alla n N. Vi gör ett induktionsbevis: Basfall: n 0. Vi har f0) per denition och g0) ) 0 så det stämmer för n 0. Induktionssteg: Antag att fn) gn) för något xt tal n 0. Vi ska visa att i så fall är fn + ) gn + ). Om vi utnyttjar rekursionen fn + ) fn)0 ) + 0 fn) och induktionsantagandet så får vi fn + ) fn) gn) ) n ) gn + ). Nu följer det av induktionsaxiomet att fn) gn) för alla naturliga tal n. 4.3 Basfall: n 0. Vi har att båda leden är lika med. Alltså stämmer det för n 0. Induktionssteg: Antag att påståendet är sant för n. Vi ska visa att då är det också sant för n +. Genom att använda induktionsantagandet så får vi a i n a a a i + a a a + a a ) a vilket är lika med högerledet för n +. + a an+2 a,

4 Alltså är påståendet sant för n + om man antar att det är sant för n och därmed följer det av induktionsaxiomet att det är sant för alla naturliga tal n. 4.6 Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: n Då gäller att V L k 2 k 2 0 och HL ) 2 +, k och alltså gäller likheten för n. Induktionssteget: Antag nu att det gäller för ett xt positivt heltal n. Visa att då gäller det också för n +. Vi får k 2 k k n k 2 k + n + ) 2 n k n ) 2 n + + n + ) 2 n 2n 2 n + n + ) ) 2 +, och alltså gäller likheten också för n +. Enligt induktionsprincipen gäller därmed likheten för alla positiva heltal. 4.7 Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: Vi behöver två fall n 3 och n 4. Vi har och L3) L2) + L) b + a bf 3 ) + af 3 2) b + a L4) L3) + L2) b + a) + b 2b + a bf 4 ) + af 4 2) b 2 + a 2b + a så båda basfallen stämmer. 2

5 Induktionssteg: Antag att det är sant för alla k sådana att k n där n 4 och visa att då är det också sant för n +. Genom att utnyttja induktionsantagandet och rekursionen för Fibonacci-talen så får vi Ln + ) Ln) + Ln ) bf n ) + af n 2) + bf n ) + af n 2) bf n ) + F n 2)) + af n 2) + F n 3)) bf n) + af n ) vilket var precis vad vi skulle visa. Enligt induktionsprincipen är påståendet därmed sant för alla positiva heltal n > Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: n 0. Vi har att båda leden är lika med 0. Alltså stämmer det för n 0. Induktionssteg: Antag att påståendet är sant för n. Vi ska visa att då är det också sant för n +. Genom att använda induktionsantagandet så får vi i i! n i i! + n + )n + )! n + )! ) + n + )n + )! + n + )n + )! n + 2)n + )! n + 2)!, vilket är lika med högerledet för n +. Alltså är påståendet sant för n + om man antar att det är sant för n och därmed följer det av induktionsaxiomet att det är sant för alla naturliga tal n. 4.9 Deniera först fn) n k k 2 och gn) 2 n. 3

6 Vi ska då visa att fn) < gn), eller ekvivalent att fn) gn) < 0, för alla heltal n >. Vi gör ett induktionsbevis. Basfall: Om n 2 så får vi f2) g2) 2 k Alltså stämmer det för n 2. k 2 2 ) < 0. Induktionssteg: Antag att fp) < gp) för något p >. Visa att i så fall är fp + ) < gp + ). Vi tittar på dierensen och får om vi i andra steget utnyttjar induktionsantagandet att fp) + ) gp + ) fp + ) gp + ) p + ) 2 < gp) + gp + ) p + ) 2 2 ) + p p + ) 2 p + p + ) 2 + p + p + )2 + p + pp + ) pp + ) 2 p2 2p + p + p 2 + p pp + ) 2 pp + ) 2 < 0. 2 p + Enligt indukionsprinipen gäller därmed, med stöd av basfall och induktionssteg, att fn) < gn) för alla heltal n > Deniera först ) fn) 2n k ) k+ k och gn) 2n k k. Vi ska då visa att fn) gn) för alla heltal n. Vi gör ett induktionsbevis. 4

7 Basfall: Om n så får vi f) g) 2 ) k+ k 2 2, k 2 k2 k 2. Alltså stämmer det för n. Induktionssteg: Antag att fp) gp) för något p. Visa att i så fall är fp + ) gp + ). Vi startar med fp + ) och får om vi i fjärde steget utnyttjar induktionsantagandet att fp + ) 2p+) k ) k+ 2p k ) k+ k + 2p + k fp) + 2p + gp) + 2p + 2p kp+ 2p+) kp+)+ k + 2p + k + p + 2p + + 2p + gp + ) + p + 2 gp + ). Enligt indukionsprinipen gäller därmed, med stöd av basfall och induktionssteg, att fn) gn) för alla heltal n. 5