Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Transkript

1 Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet 2.1 Talteori Delbarhet och primtal (sid 68-70) Delbarhet är intimt förknippat med primtal, som är dom "minsta" multiplikativa byggstenarna. Väsentligt (men inte alls självklart) är att varje heltal på ett entydigt sätt kan faktoriseras i primtal. Detta är så väsentligt att det kallas aritmetikens fundamentalsats och är så pass svårt att bevisa att det faller utanför kursens ramar. Delbarhetsreglerna på sida 69 snabbar upp en del räkningar. De för delbarhet med 3 och 9 är möjligen svårast att förstå. Efter avsnittet om moduloräkning kommer nog det att klarna. Lös samtliga a-uppgifter, 2111, 2112 och eventuellt Gemensamma och icke gemensamma faktorer (sid 71-73) Notera att ni har bestämt MGM (minsta gemensam multipel) många gånger förut. Att bestämma minsta gemensam nämnare till ett antal bråk är samma som att bestämma MGM till just talen i nämnarna. Boken presenterar en metod som bygger på primtalsfaktorisering. Det finns snabbare metoder SGF står för största gemensamma faktor och även denna kan man bestämma med primtalsfaktorisering. Ett användbart samband kan vara: SGF(a,b) * MGM(a,b)=aŊb. Uppgift 2125 går ut på att tänka ut varför det funkar. Lös 2119, 2123, 2124, 2125, 2127, 2128, Strunta i c-uppgifterna, som inte verkar så roliga. Kongruens och moduloräkning (sid 75-78) Som boken skriver kan man lite slarvigt kalla detta "klockaritmetik", då man likställer tal som skiljer på en multipel av 12. Det motsvarar ju bara att man snurrat ett antal varv på klockan så visaren pekar ändå på samma tal. Aritmetiken består alltså bara av talen 0,1, 10,11, fast talen har inte entydig framställning (och ibland är det praktiskt att välja en annan representat. T.ex. så är

2 2=14=26= 10 i klockaritmetiken. Ett annat sätt att skriva detta (introducerat av Gauss) är (mod12) som utläses "två är kongruent med fjorton modulo tolv" (i alla fall den första kongruensen). Jämför detta med bråk där också samma tal kan ha olika representanter. Det praktiska med moduloräkningen är att räknesätten +,,Ŋ beter sig "bra". Man kan byta representater när som helst i sina räkningar. Antag t.ex. att vi vill beräkna 31 * 45(mod12). Ett alternativ är att räkna ut produkten och sedan byta representant 29 * 45 = 1305 = 108Ŋ12+9 9(mod12) Ett annat (och smidigare) alternativ är att först byta till bättre representanter (nära 0). Vi får 29 * 45 5Ŋ( 3) = (mod12) som huvudräknas utan större ansträngning. Observera att vi undvikigt att tal om räknesättet division. Det visar sig lite mer komplicerat och utelämnas i kursen. Observera slutligen att man inte behöver räkna modulo just 12 utan modulo vilket positivt heltal som helst Lös 2136, 2137, 2139, 2140, 2141, 2143, 2145, 2146, 2148 och eventuellt 2152, 2153 och 2157 om man får tid över. Historik Talsystem i olika baser (sid 80-81) Vårt sätt att beteckna tal är ett positionssystem i basen 10. Det finns inget matematiskt skäl till detta beteckningssätt, utan är nog en konsekvens av att vi har tio fingrar. Det finns inget som hindrar att man räknar i andra talbaser, t.ex. så är det vanligt med binära (basen 2) och hexagesimala (basen 16) system i "datorsammanhang". Babylonierna räkande i basen 60, vilket lever kvar i våra enheter för tid (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme). Lös samtliga a-uppgifter, 2167, 2168, 2169 och eventuellt 2173.

3 2.2 Talföljder Inledning (sid 84-86) Med en talföljd menas en följd av tal, såväl ändlig som oändlig. Exempel: 1,65,43, 3,42, 4,7, 2,3, 9,0 1,3,5,7,9,11, Med menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret. Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen an uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd ovan kan skrivas a n = 2n 1 Lös 2203, 2204, 2206, 2207, 2209, 2211 och eventuellt 2214 (försök lös denna direkt kombinatoriskt också). Rekursionsformler (sid 88-89) En annan möjlighet att beskriva hur elementen genereras är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd ovan kan skrivas a n = a n-1 +2, a1=1 Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion. Ett intressant problem, som dock ligger utanför kursens ramar, är hur/om man kan översätta mellan rekursionsformler och slutna formler. Uppgift 2220 illustrerar några enkla fall. Lös 2216, 2217, 2219, 2220, 2223, 2225 och eventuellt Aritmetiska talföljder (sid 90-91) En aritmetisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39 som startar med 3 och där man successivt adderar 4. Vi vill beräkna talföljdens summa S = Som man lätt reder ut (se bok) får man

4 S = "första termen" + ""#$ "#$"%" * antalet termer = * n vilket i vårt fall ger S = " * 10 = 210. Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden 2,7,12,17,22,,272,277? Tydligen innehåller följden "" = 55 ''femsteg''. Alltså har följden = 56 termer (och INTE 55). Lös samtliga uppgifter, eller snarare efter behov. Geometriska talföljder (sid 92-94) En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är 4,12,36,108,324,972 som startar med 4 (=a 1 ) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k). Låt oss bestämma talföljdens summa S = på ett sätt som låter sig generaliseras. Om vi bildar 3S fås 3S = dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu 3S S= eller S = "#$ =1456 Om man tänker igenom det generella fallet med första tal a 1, faktor k och n element får man S = ( ) = ( ) Lös a-uppgifterna och 2246, 2247, 2248 och eventuellt 2253.

5 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar (sid ) Här finns lite blandade problem på talföljder. Det är ingen ny matematik och räcker att göra ett några stycken. Lös 2258, 2259, 2262, 2269, 2272 och eventuellt Historik 2.3 Induktionsbevis Det är en viktig "bevisteknik" som man kan/måste använda om man vill visa att ett påstående är sant för alla positiva heltal. Ofta handlar det om en likhet men i princip kan det vara fråga om vilket påstående som helst. Att verifiera påståendet för ett heltal i taget är ju omöjligt eftersom det finns oändligt många heltal. Stegen I induktionsbevis: 1. Visa att påståendet är sant för ett första tal, vanligen 0 eller 1. Säg n=1. 2. Antag att påståendet ät sant för ett fixerat men godtyckligt heltal n=p. 3. Visa nu att under förutsättningen från 2 så är påståendet korrekt för n=p+1, dvs för nästa heltal. Induktionprincipen ger nu att påståendet måste vara sant för alla heltal. Vi vet nämligen att det är sant för n=1. Eftersom det är sant för n=1 så måste det enligt 2 och 3 vara sant för n=2. Eftersom det nu är sant för n=2 måste det vara sant för n=3 etc. Att detta "stegande" innebär att påståendet är sant för alla positiva heltal är lätt att tro på intuitivt. Vill man vara mer formell så garanteras det av ett av axiomen för de hela talen (man har alltså bestämt att heltalen har den egenskapen att induktionsprincipen ska fungera). Boken ger flera konkreta exempel på hur man genomför induktionsbevis. I vissa fall kan man kanske undvika dem, men gör inte det här eftersom tanken är träning på just denna teknik. Lös samtliga a-uppgifter, därefter b- och c-uppgifter efter behov, så pass så att ni klarar en inlämningsuppgift.