Algebra och talteori MMGL31. Repetition. Idag. Föreläsning 9 VT FLS och primtalstestning. Carmichaeltal. Rabin-Miller test.

Transkript

1 Algebra och talteori MMGL Föreläsning 9 VT 008 Samuel Bengmark Repetition FLS och primtalstestning Carmichaeltal Rabin-Miller test F-funktionen Idag Ordning av ett element i Z m Primitiv rot Index (diskret logaritm)

2 Ordning Definition Ordningen av ett element a Z m* är det minsta naturliga tal e för vilket a e m. Det betecknas e m (a). Exempel i Z 7 Z e 7 (a) e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e (a) e ()= e ()= e ()= e ()= e ()= Delgrupp Påstående Mängden av alla potenser av ett element a Z m*, {a,a,a,,a ep(a) } bildar multiplikativ delgrupp till Z m*. Elementen i denna delgrupp till Z m* betecknas <a>. Exempel (<>, ) = ({,,}, ) är en grupp modulo 7. Bevis Inlämningsuppgift Delgruppsstorlek OBS! e m (a) φ(m) enligt Eulers formel. Vi kan också ana att e m (a) alltid delar φ(m). Detta skall vi nu visa.

3 Ordningen delar φ(m) Sats Givet a Z m* då gäller att e m (a) φ(m). Bevis Låt G=SGD(e m (a),φ(m)) och finns u och v så att G= ue m (a)+vφ(m). Betrakta a G = a uem(a)+vφ(m) = (a em(a) ) u (a φ(m) ) v m u v m. Eftersom e m (a) skulle vara det minsta talet e s.a. a e m måste G=e m (a), dvs e m (a) delar φ(m). Antal av varje ordning? Exempel i Z 7 Z e 7 (a) e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e 7 ()= e (a) e ()= e ()= e ()= e ()= e ()= Antal av varje ordning! Sats Om d är en delare till φ(m) då finns precis φ(d) stycken element av ordning d i Z m*.

4 Bevis Låt ψ(d)={number of a Z m* with e m (a)=d} Låt φ(m)=nk. Får då x φ(m) =(x n ) k -=(x n -)((x n ) k- + +(x n ) + x n +) VL har exakt φ{m} rötter enligt Eulers formel (alla i Z m* ). HL båda polynom har högst n respektive n(k-) rötter var. För att stämma med VL är enda möjligheten att de har exakt n respektive n(k-) rötter var. Å andra sidan gäller att n= d n ψ(d) ty ekvationen x n - löses precis av alla element som har ordning som är delare till n. Slutsats n= d n ψ(d) fortsättning av beviset Minns att n=f(n)= d n φ(d) Skall nu se att ψ=φ genom induktion. Ser först att ψ() = = φ() Antag sant för alla n<n, dvs ψ(n)=φ(n) för n<n. Visa nu att ψ(n)=φ(n) där N har delarna d =, d, d k =N Vet att ψ() + ψ(d ) + + ψ(n) = n = φ() + φ(d ) + + φ(n) Enligt induktionsantagandet gäller likhet för varje term utom möjligtvis för den sista. Stryker termer och finner ψ(n) = φ(n). Nu går vi över till m=p, primtal Hittills har jag låtit m vara ett godtyckligt positivt tal, vilket är mer allmänt än i boken, Nu övergår vi dock till att låta m=p vara ett primtal.

5 Primitiv rot Definition a Z p* kallas en primitiv rot om e p (a) = φ(p)=p-, dvs om <a>=z p*. OBS en primitiv rot a genererar hela Z p*. Vi nu se att vi med hjälp av så kallade indextabeller kan använda primitiva rötter för att lösa ekvationer. Indextabell Exempel är en primitiv rot i Z 7 I I Får indextabell a I(a) Indextabell allmänt Ta fram primitiv rot g Lista g I för alla värden I p- Listan skall då innehålla varje a Z p* exakt en gång. Sortera om. I(a) är alltså den exponent I som ger g I p a, dvs uppfyller g I(a) p a.

6 Räkneregler Sats I(ab) = I(a)+I(b) mod p- I(a k ) = k I(a) mod p- Bevis Låt g vara den underliggande primitiva roten.. g I(ab) =ab=g I(a) g I(b) =g I(a)+I(b) g I(ab)-I(a)-I(b) p. Då måste I(ab)-I(a)-I(b) p- 0 då g primitiv rot.. Upprepad användning av. Index kallas också diskret logaritm Sats log g (ab) = Iog g (a)+iog g (b) mod p- log g (ak) = k log g (a) mod p- Lösa ekvationer mha index Uppgift Lös x 7. Lösning Väljer primitiv rot och a tar fram indextabell I (a)

7 Ibland saknas lösning Uppgift Lös x 7. Lösning Väljer primitiv rot och a tar fram indextabell I (a) ax k p bhar lösning ax k p b k I(x) p- I(b) har lösning SGD(k,p-) I(b) Vi behöver primitiva rötter Vi har alltså stor nytta av primitiva rötter. Finns det alltid sådana för för varje Z p? Ja, det finns precis φ(φ(p)) = φ(p-) stycken enligt satsen vi tittade på nyss. 7

8 Är a en primitiv rot i Z p? Hur vet jag vilka tal som är primitiva rötter? Hur vet jag för vilka p ett givet tal är en primitiv rot? Det är svåra problem. För att kolla om a är en primitiv rot får vi i denna kurs undersöka om a k m för något värde k < p-. Räcker kolla om a d p för någon delare d till p-. Artins förmodan Varje tal -, och som inte är en kvadrat, är primitiv rot modulo p för oändligt många olika värden på p. 8