Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Transkript

1 Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du hjälpa mig? Det gäller dessa uppgifter: 4.2: T4.4-T4.7, 4.3, : T4.13-T4.14 L: När det gäller T4.4 (Visa att 4 är en delare till 28x-72y för alla heltal x och y) så försöker man bryta ut en 4:a. Det går om 4 delar både 28 och 72. Samma tankegång för uppgift 4.3 När det gäller övriga visa uppgifter så skriver man om heltalet med hjälp av den information man får. T. ex. i T4.5 så är n=5k (k är ett heltal), i T4.6a är a-3=2k eller a=2k+3 och i T4.7 så är n=9k. Med hjälp av denna information så skall det inte vara så svårt att kunna visa det som efterfrågas. Som exempel tar jag T4.6 b (Visa att 3 (a+1)=>9 (a²-a+7)): a+1=3k a=3k-1. a²-a+7= (3k-1)²-(3k-1)+7= 9k²-9k+9= 9(k²-k+1). Saken är klar eftersom k²-k+1 är ett heltal. k är ju ett heltal. T.4.13 Här är det moduloräkning som gäller. 19 är kongruent -1 modulo 5 och 11 är kongruent 1 modulo 5 och 12 kongruent 2 modulo 5. Man kan också skriva 19=5*4-1 och 11=5*2+1 och använda binomialteoremet (se kapitel 6). Gör man det så kommer alla termer utom (-1) 19 och 1 11 att vara delbara med 5. Det som återstår är att studera 2+(-1) T4.14. n=4k+r där r=0,1,2,3. Man får gå igenom de fyra fallen. Alternativt när vi studerat kapitel 8: Polynomet kan skrivas som n(n-1)(n-2)(n-3). Två av dessa faktorer måste vara jämna, oberoende av om n är jämnt eller udda. 4=2*2 så där får vi vår eftersökta fyra. Kan du visa att polynomet är t.o.m. är delbart med 8? T4.10c Bestäm kvot och rest då -103 divideras med -7

2 S: Har fastnat på tal T4.10, hur ska jag tänka på c-uppgiften? Jag svarade kvot 14 och rest 5 men boken säger kvot 15 och rest 2. Kan du hjälpa mig hur jag ska tänka här så att det blir rätt. Jag hade problem även på a-uppgiften, sitter fast i kortdivisionen, tror jag. L: Definitionen på sidan 150 säger att resten skall vara ett icke-negativt tal. Så man får hoppa förbi -103, alltså 15*-7=-105, för att sedan hoppa 2 steg till höger på tallinjen tills man kommer till T4.12 Bestäm resten då 7¹¹+13¹⁷-19 divideras med 5. S: Jag igen:) Kan du förklara uppg. T4.12 för mig. L: 7 kongruent med 2 mod 5, 13 kongruent med 3 mod 5, 19 kongruent med -1 mod 5 så 7¹¹ + 13¹⁷-19 är kongruent med 2¹¹ + 3¹⁷-(-1) mod 5 men 3 är kongruent med -2 mod 5 så vi kan studera 2¹¹+(-2)¹⁷+1 mod 5. Uttrycket kan skrivas som 2¹¹-2¹⁷+1 eftersom 17 är ett udda tal. Nu kan du skriva upp femmans multiplikationstabell (mod 5) och se mönstret då man multiplicerar tvåor. Då framgår att 2¹¹-2¹⁷+1 är kongruent med 3-2+1=2 mod 5 Ett snabbare alternativ är här att hitta potenser av 7 och 13 som ligger nära en multipel av 5 7² = 49 = 50-1 och 13² = 169 = så 7¹¹+13¹⁷-19 är kongruent med 7(-1)⁵ + 13 (-1)⁸ - (-1)= = 7 som är kongruent med 2 mod 5. T4.20a,b Student: Nu har jag hållit på hela helgen med diofantiska ekvationer och just nu känns det hopplöst...

3 Jag har lyssnat på din förläsning flera gånger försökt med hjälp av dina lösningar förstå vad det är som händer efter att jag har fått fram sgd. Det lyckas jag med men sen är det stopp! Jag håller på med T4.20 a & b. 2X+3Y=11 & 3X-9Y=6 Kan du hjälpa mig med dessa ekvationer och lösa dem med alla steg så jag kan följa och förstå vad det är jag ska göra? Just nu känner jag mig hjälplös att jag inte ser vad som sker. Vore oerhört tacksam om du vill hjälpa mig att knäcka koden på dessa tal. Har du andra tips och råd hur jag ska göra? L: Tror det är klokt att släppa något man inte förstår och sedan komma tillbaks till det senare. Då brukar man se det med nya ögon. T4.20 a 3=2+1 2=2*1 Här behövde vi ingen algoritm för att se att sgd(3,2)=1 Sedan skall vi uttrycka 1 med hjälp av 3 och 2. Från första ekvationen ovan får vi direkt att 3-2=1. (I allmänhet tar det några steg när vi går algoritmen baklänges). Så vi har 3-2=1, ekvationen är 2x+3y=11. Kan du se vad nu 3-2=1 skall multipliceras med för att vi skall kunna identifiera en lösning till ekvationen? I b är sgd(3,9)=3. 3 delar 6 så lösning finns. Bra idé att dividera ekvationen med 3: x-3y=2. 3-1=2 så x=-1 y=-1 är en lösning. För så här små tal blir det väldigt få steg i algoritmen. Kanske det som förbryllar dig? T4.21, 4.34 S: Jag har läst i boken, föreläsningsanteckningar, lyssnat på föreläsningen och övat. Men lyckas ändå inte lösa T4.21. Jag behöver en hel lösning på den uppgiften. Jag förstår inte tecknen framför k resp. n 4.34) 5x+4y=24, sgd(5,4)=1, sen kommer jag inte längre L: Du finner min lösning av T4.21 här Tillvägagångssättet för ekvationen ax+by=c är 1) Bestäm sgd(a,b)

4 2) Kolla om sgd(a,b) delar c. Om den inte gör det så saknas lösning. 3) Utnyttja nu Euklides algoritm från 1) men gå baklänges. Uttryck sgd(a,b) med hjälp av a och b. 4) Multiplicera sedan resultatet i 3 så att du får den diofantiska ekvationen. 5) Du kan nu läsa av en lösning x=x0, y=y0. 6) Men det finns fler! x=x0-(k*b/sgd(a,b)) och y=y0+(k*a/sgd(a,b)) utgör samtliga lösningar. k är ett heltal. Om man har sgd(a,b)=1 så slipper man dividera. Vi kunde dividerat hela ekvationen med sgd(a,b) på ett tidigt stadium om vi velat. 7) Det resultat du fått fram kanske inte ser ut att stämma med facit men det beror på annat val av parametern Kom ihåg att k är ett heltal, kan vara både positivt och negativt. För ax+by=c skall det vara +k för den ena och.-k för den andra. Man kan ju alltid stoppa in den allmänna lösningen i ekvationen och då skall k-delarna ta ut varandra. I uppgift T.21 c) gav jag svaret på x= n; y= n, på föreläsningen men boken anger x=6+15n; y=-13n. Förklaringen är att n-> n+36 för att gå från den ena till den andra lösningen. När det gäller 4.34 så skriv 1=5-4 och hoppa in vid punkt 4 ovan. Vad skall ekvationen multipliceras med? S: Jag skulle behöva lite extra hjälp med diofantiska ekvationer. När jag kommit fram till sgd och ska räkna åt andra hållet så tappar jag "tråden". Tyckte jag förstod dina exempel i lektion 4 och lyckades lösa exemplet där som vi skulle lösa. Om du har lust att skicka ett exempel som innehåller flera steg där du förklarar de olika stegen så klarnar det nog förhoppningsvis. L: När man vill göra ett RSA-krypto med de löjligt små primtalen p=3607 och q=3803 blir man tvungen att lösa den diofantiska ekvationen (*) 19x y=1 så låt oss titta på den! Först skall vi hitta sgd( ,19) = (721579)* (1) 19 = (2) 11 = (3) 8 = 2*3 +2 (4) 3 = (5) 2 = 2*1 Så sgd( ,19)=1 och därmed finns en lösning för 1 delar 1. Kan vi utnyttja Euklides algoritm (EA) för lösa vår diofantiska ekvation? Ja det kan vi! Börja med ekvation (5) skriv den som 1 = = 1 (6)

5 Nu är högerleden i (6) och (*) lika! (Allmänt så startar man med den näst sista ekvationen i EA för där dyker sgd upp) Målet är nu att skriva om (6) som 19* (..) (..) = 1 Då kan vi identifiera de 2 parenteserna som x respektive y. Vi når dit genom att gå EA baklänges. Genom ekvation (4) kan vi uttrycka 2 med hjälp av 8 och 3. 3 (8 2*3) = 3*3 8 = 1 Nu utnyttjar vi (3) och uttrycker 3 med hjälp av 11 och 8. 3 * (11-8) 8 = 3*11-4*8 = 1 Nu är vi nästan framme! Med hjälp av (2) uttrycker vi 8 som *11 4*(19-11) = 7*11 4*19 = 1 Till sist (1) ger att (721579)*19 = 11 så 7*( (721579)*19) 4*19 = 19 * ( ) * (7) =1 Vi har hittat en lösning x = y = 7 Finns det en lösning så finns det oändligt många: x = k* y = 7 - k*19 k är ett heltal. För RSA-kryptot så behöver man hitta den lösningen som har det minsta positiva x:et. Då väljer man k=1 och x= a För vilka heltal a finns det heltal x sådant att ax 1 (mod 6) S: Jag satt i helgen och räknade uppgifterna till talteori (v 9-10) och jag klarade alla utom Skulle du kunna visa mig hur man löser denna uppgift?

6 L: Om vi tar a som exempel så kan kongruensen formuleras som ax=1+k6, k ett heltal. Eller som en diofantisk ekvation ax-k6=1. För ett givet a finns heltalslösningar x, k till ekvationen då och endast då sgd(a,6) delar 1. Alltså får a och 6 inte ha någon gemensam delare. a måste vara kongruent 1 eller 5 mod 6. Enklast är dock att skriva upp sexans tabell (obs kongruensräkning!) och ser var ettorna dyker upp , S: Har kört fast på uppg. 4.23/ /38, har du någon ledtråd? L: Varje heltal kan skrivas som 4k+r där k är ett heltal och r=0,1,2 eller 3. (4k+r) 4 =4*( )+r 4 så frågan är för vilka r som r 4 och r ger samma rest vid division med 4. Fyra fall att kolla =2*8-1, 7=8-1. Så 15 n =8*( )+(-1) n osv Varje heltal har sin unika primtalsfaktorisering. Om p a 7 så betyder det även att p a därför att faktorn p kan inte skapas när man multiplicerar a med sig självt ett antal gånger. Om p inte delar a, t.ex. för p=5 och a=2*7*13, så medför det att p inte heller delar a 7 heller (5 delar inte ) Fokusera på primtalen 2 och 3. Kom ihåg att i primtalsfaktoriseringen av en kvadrat n 2 är exponenterna alltid jämna tal.

7